【人教A版】高中数学必修三作业与测评综合质量评估

1、起综合质量评估(第一至第三章)(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.某工厂的一、二、三车间在12月份共生产了3600双皮靴，在出厂前要检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽取，若从一、二、三车间抽取的产品数分别为a，b，c，且2b=a+c，则二车间生产的产品数为()a.800b.1000c.1200d.1500【解析】选c.因为2b=a+c，所以二车间抽取的产品数占抽取产品总数的三分之一，根据分层抽样的性质可知，二车间生产的产品数占总数的三分之一，即为3600×13=1200.2.奥

2、林匹克会旗中央有5个互相套连的圆环，颜色自左至右，上方依次为蓝、黑、红，下方依次为黄、绿，象征着五大洲.在手工课上，老师将这5个环分发给甲、乙、丙、丁、戊五位同学制作，每人分得1个，则事件“甲分得红色”与“乙分得红色”是()a.对立事件b.不可能事件c.互斥但不对立事件d.不是互斥事件【解析】选c.甲、乙不能同时得到红色，因而这两个事件是互斥事件；又甲、乙可能都得不到红色，即“甲或乙分得红色”的事件不是必然事件，故这两个事件不是对立事件.3.(2014·北京高考)执行如图所示的程序框图，输出的s值为()a.1b.3c.7d.15【解析】选c.k=0，s=0；s=0+20=1，k=1；

3、s=1+21=3，k=2；s=3+22=7，k=3.退出循环，输出的s值为7.【补偿训练】如图所示程序运行的结果为.t=1i=2whilei<=5t=tii=i+1wendprinttend【解析】本程序计算的是t=1×2×3×4×5=120.答案：1204.从某校高三年级随机抽取一个班，对该班50名学生的高校招生体检表中视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如图所示：若某高校a专业对视力的要求在0.9以上，则该班学生中能报a专业的人数为()a.10b.20c.8d.16【解析】选b.视力在0.9以上的频率为(1+0.75+0.25)×

4、0.2=0.4，故能报a专业的人数为0.4×50=20.5.(2014·浙江高考)在3张奖券中有一、二等奖各1张，另一张无奖，甲、乙两人各抽取1张，两人都中奖的概率是()a.16b.13c.12d.23【解析】选b.设三张券分别用a，b，c代替，a一等奖；b二等奖；c无奖，甲、乙各抽一张共包括(a，b)，(a，c)，(b，a)，(b，c)，(c，a)，(c，b)6种基本事件，其中甲、乙都中奖包括两种，p=26=13，故选b.6.从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100人成绩的标准差为()分数54321人数2010303010a.3b.3c.2105d.8

5、5【解析】选c.这组数据的平均数是：5×20+4×10+3×30+2×30+1×10100=3，方差=110020×(5-3)2+10×(4-3)2+30×(2-3)2+10×(1-3)2=85，则这100人成绩的标准差为85=2105.7.某校为了了解学生的身体素质情况，对初三(2)班的50名学生进行了立定跳远、铅球、100米三个项目的测试，每个项目满分为10分.如图是将该班学生所得的三项成绩(成绩均为整数)之和进行整理后，分成5组画出的条形图，已知从左至右前4个小组的频率分别为0.02，0.1，0.1

6、2，0.46.下列说法中：学生的成绩27分的共有15人；学生成绩的众数在第四小组(22.526.5)内；学生成绩的中位数在第四小组(22.526.5)范围内.其中正确的说法有()a.0个b.1个c.2个d.3个【解析】选c.5个小组的频率之和为1，且前四个分别为0.02，0.1，0.12，0.46，故第五组的频率是1-(0.02+0.1+0.12+0.46)=0.3，学生的成绩27分的在第五组，总共有50名学生，故第五组共有50×0.3=15(人)，故正确；观察直方图：第四组人数最多，但学生成绩的众数不一定在第四小组(22.526.5)内，故不正确；学生成绩的中位数是第25个数和第2

7、6个数的平均数，应该落在第四组，故正确.8.扇形aob的半径为1，圆心角为90°.点c，d，e将弧ab等分成四份.连接oc，od，oe，从图中所有的扇形中随机取出一个，面积恰为8的概率是()a.310b.15c.25d.12【解题指南】本题考查扇形面积公式及古典概型概率.解题关键是求出面积为8的扇形所对圆心角的度数.【解析】选a.据题意若扇形面积为8，据扇形面积公式8=12××1=4，即只需扇形圆心角为4即可，列举可得这种情况共有3种，而整个基本事件个数共有10种，故其概率为310.9.设a0，10)且a1，则函数f(x)=logax在(0，+)内为增函数且g(x

8、)=a-2x在(0，+)内也为增函数的概率为()a.13b.110c.35d.34【解析】选b.由条件知，a的所有可能取值为a0，10)且a1，使函数f(x)，g(x)在(0，+)内都为增函数的a的取值为a>1,a-2<0,所以1<a<2.由几何概型的概率公式知，p=2-110-0=110.10.从某高中随机选取5名高三男生，其身高和体重的数据如下表所示：身高x/cm160165170175180体重y/kg6366707274根据上表可得回归方程=0.56x+，据此模型预报身高为172cm的高三男生的体重为()a.70.09b.70.12c.70.55d.71.05【

9、解析】选b.由表中数据得x-=160+165+170+175+1805=170，y-=63+66+70+72+745=69.将(x-，y-)代入=0.56x+，所以69=0.56×170+，所以=-26.2，所以=0.56x-26.2.所以当x=172时，y=70.12.【补偿训练】已知x与y之间的几组数据如下表：x123456y021334假设根据上表数据所得回归方程为=x+，若某同学根据上表中的前两组数据(1，0)和(2，2)求得的直线方程为y=bx+a，则以下结论正确的是()a.>b，>ab.>b，<ac.<b，>ad.<b，<a

10、【解析】选c.画出散点图如图所示，根据散点图大致画出回归直线，再画出过(1，0)和(2，2)的直线，比较可知选c.11.如图所示，在半径为1的半圆内，放置一个边长为12的正方形abcd，向半圆内任投一点，则该点落在正方形内的概率是()a.2b.5c.4d.12【解析】选d.由题设可知，该事件符合几何概型.正方形的面积为(12)2=14，半圆的面积为12×=2，故点落在正方形内的概率是142=12.12.如图所示是用模拟方法估计圆周率的程序框图，p表示估计结果，则图中空白框内应填入()a.p=n1 000b.p=4n1 000c.p=m1 000d.p=4m1 000【解题指南】首先读

11、懂程序框图的意义，其中读懂xi2+yi21是关键，然后转化为几何概型确定圆周率的表达式，最后得出p的表达式.【解析】选d.采用几何概型法.因为xi，yi为01之间的随机数，构成以1为边长的正方形面，当xi2+yi21时，点(xi，yi)均落在以原点为圆心，以1为半径且在第一象限的14圆内，当xi2+yi2>1时对应点落在阴影部分中(如图所示).所以有nm=1-44，n=4m-m，(m+n)=4m，=4m1 000.二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上)13.将参加数学竞赛的1000名学生编号如下：0001，0002，1000，打算从中抽取一个容量为5

12、0的样本，按系统抽样的方法分成50个部分，从第一部分随机抽取一个号码为0015，则第40个号码为.【解题指南】本题考查系统抽样方法的应用.根据系统抽样方法的定义求解【解析】根据系统抽样方法的定义，得第40个号码对应15+39×20=795，即得第40个号码为0795.答案：079514.有一根长为1米的细绳子，随机从中间将细绳剪断，则使两截的长度都大于18米的概率为.【解析】如图，将细绳八等分，c，d分别是第一个和最后一个等分点，则在线段cd的任意位置剪断此绳得到的两截细绳长度都大于18米.由几何概型的概率计算公式可得，两截的长度都大于18米的概率为p=681=34.答案：34【举一

13、反三】题目中把“使两截的长度都大于18米”改为“使两截之差的绝对值大于12米”，那么概率应为多少?【解析】设其中一截为x米，则另一截为(1-x)米，则|x-(1-x)|=|2x-1|>12，解得x>34或x<14，把1米的绳子四等分，则在ab或de的任意位置剪断，都会使两截之差的绝对值大于12米，故所求概率为14+141=12.15.盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7的七个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是(结果用最简分数表示).【解析】从中任意取出两个的所有基本事件有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(6，7)共21个

14、.而这两个球编号之积为偶数的有(1，2)，(1，4)，(1，6)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(2，7)，(3，4)，(3，6)，(4，5)，(4，6)，(4，7)，(5，6)，(6，7)共15个.故所求的概率p=1521=57.答案：57【一题多解】在21个基本事件中，两个球的编号之积为奇数的有(1，3)，(1，5)，(1，7)，(3，5)，(3，7)，(5，7)共6个.所以p(编号之积为奇数)=621=27，根据对立事件的概率可求得编号之积为偶数的概率为1-27=57.答案：5716.甲、乙两个人玩一转盘游戏(转盘如图，“c为弧ab的中点”)，任意转动转盘一次，指针指向

15、圆弧ac时甲胜，指向圆弧bc时乙胜.后来转盘损坏如图，甲提议连接ad，取ad中点e，若任意转动转盘一次，指针指向线段ae时甲胜，指向线段ed时乙胜.然后继续游戏，你觉得此时游戏还公平吗?答案：，因为p甲p乙(填<，>或=).【解析】连接oe，在直角三角形aod中，aoe=6，doe=3，若任意转动转盘一次，指针指向线段ae的概率是：6÷2=13，指针指向线段ed的概率是：3÷2=23，所以乙胜的概率大，即这个游戏不公平.答案：不公平<三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)某电脑公司现有a，b

16、，c三种型号的甲品牌电脑和d，e两种型号的乙品牌电脑.希望中学要从甲、乙两种品牌电脑中各随机选购一种型号的电脑，有关报价信息如图.(1)写出所有选购方案.(2)如果(1)中各种选购方案被选中的可能性相同，那么a型号电脑被选中的概率是多少?(直接写出结果即可)【解题指南】利用树状图确定所有选购方案，然后利用古典概型的概率公式进行求解.【解析】(1)画出树状图如图：则选购方案为：(a，d)，(a，e)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e).(2)a型号电脑被选中的情形为(a，d)，(a，e)，即基本事件为2种，所以a型号电脑被选中的概率为p=26=13.18.(12分)随机抽取某中学甲、

17、乙两班各10名同学，测量他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如图所示.(1)计算甲班的样本方差.(2)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173 cm的同学，求身高为176 cm的同学被抽中的概率.【解题指南】(1)先求出平均数，再代入方差公式即可；(2)写出所有基本事件，再统计基本事件的总数和所求事件包含的基本事件的个数，利用古典概型计算概率.【解析】(1)甲班的平均身高为x-=110(158+162+163+168+168+170+171+179+179+182)=170，甲班的样本方差为s2=110(158-170)2+(162-170)2+(163-170)2+(16

18、8-170)2+(168-170)2+(170-170)2+(171-170)2+(179-170)2+(179-170)2+(182-170)2=57.2.(2)设“身高为176cm的同学被抽中”的事件为a，用(x，y)表示从乙班10名同学中抽取两名身高不低于173cm的同学的身高，则所有的基本事件有(181，173)，(181，176)，(181，178)，(181，179)，(179，173)，(179，176)，(179，178)，(178，173)，(178，176)，(176，173)，共10个基本事件，而事件a含有(181，176)，(179，176)，(178，176)，(17

19、6，173)，共4个基本事件，故p(a)=410=25.19.(12分)(2014·山东高考)海关对同时从a，b，c三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如表所示，工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.地区abc数量50150100(1)求这6件样品中来自a，b，c各地区样品的数量.(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率.【解题指南】(1)本题考查了分层抽样，利用比例求出这6件样品中来自a，b，c各地区样品的数量.(2)本题考查了古典概型，先将基本事件全部列出，再求这2件

20、商品来自相同地区的概率.【解析】(1)因为工作人员是按分层抽样抽取样品，所以各地区抽取样品比例为：abc=50150100=132，所以各地区抽取样品数为：a：6×16=1，b：6×36=3，c：6×26=2.(2)设各地区样品分别为：a，b1，b2，b3，c1，c2，设m=“这2件商品来自相同的地区”，基本事件空间为：(a，b1)，(a，b2)，(a，b3)，(a，c1)，(a，c2)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b1，c1)，(b1，c2)，(b2，b3)，(b2，c1)，(b2，c2)，(b3，c1)，(b3，c2)，(c1，c2)，共15个.样本事件

21、空间为：(b1，b2)，(b1，b3)，(b2，b3)，(c1，c2)所以这两件样品来自同一地区的概率为：p(m)=415.20.(12分)(2015·全国卷)某公司为了解用户对其产品的满意度，从a，b两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分得到a地区用户满意度评分的频率分布直方图和b地区用户满意度评分的频数分布表.a地区用户满意度评分的频率分布直方图b地区用户满意度评分的频数分布表满意度评分分组50，60)60，70)70，80)80，90)90，100频数2814106(1)作出b地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过此图比较两地区满意度评分的平均值及分散程

22、度.(不要求计算出具体值，给出结论即可)(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度评分分为三个等级：满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意估计哪个地区的用户的满意度等级为不满意的概率大，说明理由.【解析】(1)通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，b地区用户满意度评分的平均值高于a地区用户满意度评分的平均值；b地区用户满意度评分比较集中，而a地区用户满意度评分比较分散.(2)a地区用户的满意度等级为不满意的概率大.记ca表示事件：“a地区用户的满意度等级为不满意”；cb表示事件：“b地区用户的满意度等级为不满意”.由直方图得p(ca)的估计值为(0

23、.01+0.02+0.03)×10=0.6，p(cb)的估计值为(0.005+0.02)×10=0.25.所以a地区用户的满意度等级为不满意的概率大.21.(12分)(2015·全国卷)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i=1，2，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.xywi=18(xi-x)2i=18(wi-w)2i=18(xi-x)(yi-y)i=18(wi-w)(yi-y)46.65636.8289.81.6

24、1 469108.8表中wi=xi，w=18i=18wi.(1)根据散点图判断，y=a+bx与y=c+dx哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型?(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程.(3)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z=0.2y-x根据(2)的结果回答下列问题：年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少?年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大?附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，(un，vn)，其回归线v=+u的斜率和截距的最小二乘估计分别为：=i=1n(ui-u)(vi-v)i=1n(ui-u)2，=v-u.【解析】(1)由散点图的变化趋势可以判断，y=c+dx适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型.(2)令w=x，先建立y关于w的线性回归方程.由于=i=18(wi-