二重积分的计算下

1、1/26._),(,1, 0,),(),(),(. 12 yxfxxyyddudvvufxyyxfyxfd则则围围成成由由其其中中满满足足若若连连续续函函数数._),(:. 2ln01 xedyyxfdx交换积分次序交换积分次序2/26._),(,1, 0,),(),(),(. 12 yxfxxyyddudvvufxyyxfyxfd则则围围成成由由其其中中满满足足若若连连续续函函数数:,),(积分得积分得设设kdudvvufd ddddxdykxydxdydxdyyxf),( dddxdykxydxdyk 2010 xdxydydxxydxdy而而2xy 1dxyo1 1002221dxxyx

2、 10521dxx121121106 x3/26._),(,1, 0,),(),(),(. 12 yxfxxyyddudvvufxyyxfyxfd则则围围成成由由其其中中满满足足若若连连续续函函数数 2010 xddydxdxdy 102dxx3131103 xkk31121 2xy 1dxyo181 k81),( xyyxf81 xy4/26._),(:. 2ln01 xedyyxfdx交交换换积积分分次次序序 xyexdln01: exeyy10 eexeydxyxfdydyyxfdx),(),(10ln01积分区域如图积分区域如图, ,可化为可化为: :xy ln 1dxyo1e)(ye

3、x eeydxyxfdy),(10 calculation of double integral 微微积积分分电电子子教教案案一、利用直角坐标计算二重积分一、利用直角坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分三、二重积分的应用三、二重积分的应用6/26（一）（一）极坐标系极坐标系直角坐标系的建立直角坐标系的建立,是用是用两组坐标线构造网络两组坐标线构造网络xyo极坐标系的建立极坐标系的建立,是用是用一组同心圆一组同心圆,一组射线一组射线构造网络构造网络),( rmroo极点极点 or极轴极轴 极角极角 r极径极径1 1、极坐标系的建立极坐标系的建立7/262、极坐标与

4、直角坐标的关系：极坐标与直角坐标的关系：x=rcos y=rsin 从从(x,y)到到(r, )变换公式为变换公式为: :r2=x2+y2从从(r, )到到(x,y)变换公式为变换公式为: :xy tanr(r, )xyp(x,y).xyo8/263 3、平面曲线的极坐标表示法、平面曲线的极坐标表示法圆的方程圆的方程 x2+y2 =a2(a是常数是常数)即即x2+y2 =2ax 即即圆心圆心(a,0), 半径半径a圆心圆心(0,0), 半径半径a. .xyo raxyo r2a(a,0)x2+y2 =2ay 即即圆心圆心(0,a)，半径，半径axyo r2a(0,a)ar cos2ar sin

5、2ar 9/264 4、极坐标的应用、极坐标的应用例例1 1 阿基米德螺线阿基米德螺线 很长的木棍上有一只蚂蚁很长的木棍上有一只蚂蚁,当木棍当木棍以匀角速度以匀角速度 0的转动时的转动时,蚂蚁以蚂蚁以v0匀速向外爬行匀速向外爬行,求蚂蚁爬行的轨迹求蚂蚁爬行的轨迹.),( rmr选一点选一点 :蚂蚁爬行的路程蚂蚁爬行的路程.:木棍转过的角度木棍转过的角度.xyo r),( rmtvsr0 0000vv ar 阿基米德螺线阿基米德螺线10/26例例2 2 作图作图 化为极坐标：化为极坐标：的极坐标之差与视为 sinarar ,0时时 ,2时时 0 r)0(2222 ayxaayyxararr si

6、n2)sin1(sin aaarar ,时时 ar (心型线心型线),23时 ar2 axyo11/26(1)极坐标下的面积元素极坐标下的面积元素直角坐标系直角坐标系: :极坐标系：极坐标系：dxdyd )(iiiirr irr iirrr ,0时时d rdrdd (2)极坐标下的被积函数极坐标下的被积函数)sin,cos(),( rrfyxf (3)极坐标下的积分次序极坐标下的积分次序通常先通常先 后后 ?)sin,cos(),(rdrrrfddxdyyxfd aodi i ii （二）二重积分的计算公式（二）二重积分的计算公式12/26.)sin,cos()()(21 rrrdrrrfd

7、ado)(1 rr )(2 rr drdrdrrf )sin,cos(区域特征如图区域特征如图, ).()(21 rrr 极点在区域极点在区域d外外(4)极坐标下区域极坐标下区域d的不等式表示的不等式表示13/26区域特征如图区域特征如图, ).()(21 rrr .)sin,cos()()(21 rrrdrrrfd drdrdrrf )sin,cos(aod)(1 rr )(2 rr 14/26aod)( rr .)sin,cos()(0 rrdrrrfd区域特征如图区域特征如图, ).(0 rr drdrdrrf )sin,cos(极点在区域极点在区域d边界上边界上 15/26 drdrd

8、rrf )sin,cos(.)sin,cos()(020 rrdrrrfd区域特征如图区域特征如图).(0 rr doa,2 0)( rr 极点在区域极点在区域d内部内部16/26 drdrdrrf )sin,cos(.)sin,cos()()(2021 rrrdrrrfd区域特征如图区域特征如图).()(21 rrr doa,2 0)(2 rr )(1 rr 极点被区域极点被区域d所包围所包围17/26二重积分在极坐标下的计算公式二重积分在极坐标下的计算公式 drdrdrrf )sin,cos(.)sin,cos()()(21 rrrdrrrfd.)sin,cos()(0 rrdrrrfd.

9、)sin,cos()(020 rrdrrrfd (极点在区域外极点在区域外)(极点在区域边界极点在区域边界)(极点在区域内极点在区域内).)sin,cos()()(2021 rrrdrrrfd(极点被区域包围极点被区域包围)18/26（三）极坐标的应用范围（三）极坐标的应用范围极坐标系下区域的面积极坐标系下区域的面积. drdrd 目标目标: : 积分区域为圆域、圆环域或它们的一部分，积分区域为圆域、圆环域或它们的一部分，被积函数为被积函数为含含x2+y2、x/y或或y/x时时, , 常用极坐标进常用极坐标进行计算行计算. .19/26解解 1020:rd 10220221111rdrrddx

10、dyyxd 1022)1(11212rdr 例例1 1计算计算积分区域如图积分区域如图: :1: 112222 yxddxdyyxd122 yx1dxyo102)1ln(r 2ln 和和 无关无关 20/26解解: sin2020:rd sin2020cos rdrrdxdxdyd 20sin20331cos dr例例2 2计算计算积分区域如图积分区域如图: : dxdxdy.02:22围成的第一象限部分围成的第一象限部分与与 xyyxdyyx222 dxyo12 sin2 r 203sin38cos d 203sinsin38 d204sin32 32 21/26解解: ard020: ar

11、ayxyxrdreddxdye020222222 are02)21(2 例例3 3 计算计算积分区域如图积分区域如图: : 22222ayxyxdxdye)1(2ae 222ayx adxyo22/26解：解：例例4 4 计算泊松积分计算泊松积分 dxex2 dxeix2令令 dyey2 dyedxeiyx222 dyedxyx22 dyxdxdye22 rd020: 23/26 dyxdxdyei222 0202rdredr arardred0202lim )1(lim2aae dxeix2泊松积分泊松积分第六章中第六章中(p239) 222)21(02dxex24/26解解32 61 si

12、n4 r sin2 ryyx422 yyx222 03 yx03 xy例例5 5 计算计算 ，其中，其中d为由圆为由圆 ， 及直线及直线 ， 所围成的平面闭区域所围成的平面闭区域. .yyx222 yyx422 03 yx03 xy ddxdyyx)(22yyx222 yyx422 dyx3 xyo224xy3 3 6 sin4sin236:rd25/26 ddxdyyx)(22 sin4sin2236rdrrd 36sin4sin2441 dr 364sin60 d 362)2cos1(15 d 362)2cos2cos21(15 d 36)24cos12cos21(15 d26/26).834(15 ddxdyyx)(22 sin4sin2236rdrrd 36)4cos212cos223(15 d36)4sin812sin23(15 27/26作业：作业：习题习题9-2 (p366) 11（2），），12（2，3