二阶常系数非齐次线性微分方程62242

1、1第十节第十节 二阶常系数二阶常系数非齐次非齐次 线性微分方程线性微分方程xxpexflx cos)()( 型型)()(xpexfmx 型型sin)(xxpn 第十二章第十二章 微分方程微分方程2方程方程对应对应齐次齐次方程方程0 qyypy通解结构通解结构),(xpm,)(xmexp yy)(xf难点难点方法方法二阶二阶常系数常系数非齐次非齐次线性线性的的类类型型)(xf y yy次次多多项项式式是是mxpm)( qyypy二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程型型一、一、)()(xpexfmx 如何求如何求非齐次非齐次方程特解？方程特解？待定系数法待定系数法.3设非齐方程

2、特解为设非齐方程特解为)(xqy 求导代入原方程求导代入原方程)()()()()2()(2xpxqqpxqpxqm 不是特征方程的根不是特征方程的根若若 )1(可可设设是特征方程的单根是特征方程的单根若若 )2( )(xq可可设设xmexxqy )( xmexqy )( xe )(xqm)(xq )(xqmx)(xqxmexpqyypy )( m0 )()()()()2()(2xpxqqpxqpxqm 0 0 二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程4是特征方程的重根是特征方程的重根若若 )3( )(xq可可设设综上讨论综上讨论, )(xqexymxk 设设 kxmexqxy

3、)(2 注注)(xqm2x)(xpeqyypymx )()()()()2()(2xpxqqpxqpxqm 1020 0 上述结论可推广到上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性阶常系数非齐次线性微分方程微分方程(k是重根次数是重根次数).不是根不是根是单根是单根是重根是重根二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程5.232的通解的通解求方程求方程xexyyy 解解对应对应齐次齐次方程通解方程通解特征方程特征方程0232 rr特征根特征根2121 rr，xxececy221 是单根，是单根，2 y设设例例(1) 求对应求对应齐次齐次方程的通解方程的通解(2) 求求非齐次非齐次方程的特

4、解方程的特解此题此题.)()(2型型属属于于xmxexpxexf 其中其中, 1 m2 )(bax 1xxe2?二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程6代入方程代入方程, 得得xabax 22,121 baxexxy2)121( 于是于是原方程通解为原方程通解为 xxecec221.232的通解的通解求方程求方程xxeyyy xebaxxy2)( yyy,将将 yyyxexx2)121( 对应对应齐次齐次方程通解方程通解xxececy221 二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程7,223)(xeyyyxyy 满足微分方程满足微分方程设函数设函数在在处的切线

5、与曲线处的切线与曲线其图形在点其图形在点1)1 , 0(2 xxy,该该点点处处的的切切线线重重合合.的的解解析析表表达达式式求求函函数数y解解对应对应齐次齐次方程通解方程通解特征方程特征方程, 0232 rr特征根特征根，2121 rrxxececy221 (1) 求对应求对应齐次齐次方程的通解方程的通解此题此题.)(2)(型型属属于于xmxexpexf )1, 0( m例例1988年考研数学一年考研数学一, 8分分二阶常系数线性非齐次方程二阶常系数线性非齐次方程二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程8)1(是是单单根根 y设设(2) 求求非齐次非齐次方程的特解方程的特解a

6、xex1解得解得2 a所以所以xxey2 xxececy221 (3) 求求原方程原方程的特解的特解得得由由, 12 xxy, 1)0( y得得的的坐坐标标代代入入通通解解将将点点,)1 , 0(211cc 即即11 r1 特征根特征根原方程通解为原方程通解为(求函数求函数y的解析表达式的解析表达式),223)(xeyyyxyy 满足微分方程满足微分方程设函数设函数在在处的切线与曲线处的切线与曲线其图形在点其图形在点1)1 , 0(2 xxy,该该点点处处的的切切线线重重合合.的的解解析析表表达达式式求求函函数数y且且xxe2 二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程, 12

7、xy9得得求导求导将通解将通解,2221xxxxeececy xxxxxeeececy222221 由题意由题意,得得 )0(y即即1221 cc联立联立 1212121cccc 0121cc将之代入通解得将之代入通解得xxxeey2 xexy)21( 211cc 1)0( y 2221cc1 所以所以,函数函数y的解析表达式为的解析表达式为二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程10是二阶常系数微分方程是二阶常系数微分方程满足初始条件满足初始条件的特解的特解,0时时则当则当x函数函数)()1ln(2xyx 的极限的极限(a) 不存在不存在.(b) 等于等于1.(c) 等于等于

8、2.(d) 等于等于3.2002年考研数学二年考研数学二, 3分分解解 )()1ln(lim20 xyxx 00 )(lim20 xyxx)(2lim0 xyxx 00)(2lim0 xyx 01 1)0( y2 二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程)(xyy 设设xeqyypy3 0)0()0( yyxeqyypy3)0()0()0( 110( )() ( )d ,xxf xext f tt ,为连续函数为连续函数其中其中f解解 )(xfxe 0( )dxxef tt 两端再对两端再对x求导求导,得得 )(xf).(xf求求积分方程积分方程 微分方程微分方程0( )()

9、( )dxxf xext f tt x积分方程积分方程xe xtttf0d)( x()(xxf xttf0d)()(xxf ) xttfx0d)(即即( )( )xfxf xe 即即xyye 这是二阶常系数非齐次线性方程这是二阶常系数非齐次线性方程( )xef x 二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程.设设121989年考研数学一年考研数学一, 3分分baeax .baxebx .bxaecx .bxaxedx .提示提示根椐线性微分方程的性质根椐线性微分方程的性质, 可先求方程可先求方程xeyy 和和1 yy的特解的特解,两个解的和就是原方程的特解两个解的和就是原方程的特

10、解.bxxaey 1by 2特解特解. .二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程的一个的一个是微分方程是微分方程1)( xeyy13 2000级北方交大考题级北方交大考题, 选择选择(3分分)微分方程微分方程 的特解的特解 y的形式为的形式为 ).( yxxebaea)( . xcebaxc )( .xcxebaxd )( .xxxebaeb)( . d解解特征方程特征方程0232 rr特征根特征根对应的对应的齐次齐次微分方程微分方程2, 1 rrbaxy 1xcxey 2二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程xexyyy2323 023 yyyxyyy32

11、3 xeyyy223 14 2002年研究生考题年研究生考题, 计算计算(7分分)(1) 验证函数验证函数 )()!3(! 9! 6! 31)(3963 xnxxxxxyn满足微分方程满足微分方程 (2) 利用利用(1)的结果求幂级数的结果求幂级数 .)!3(03的和函数的和函数 nnnx解解 (1) 因为因为 )!3(! 9! 6! 31)(3963nxxxxxyn )!13(! 8! 5! 2)(13852nxxxxxyn )!23(!7! 4)(2374nxxxxxynxe 二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程;xeyyy 15(1) 验证函数验证函数 )()!3(!

12、 9! 6! 31)(3963 xnxxxxxyn满足微分方程满足微分方程 (2) 利用利用(1)的结果求幂级数的结果求幂级数 .)!3(03的和函数的和函数 nnnx解解 (2)相应的相应的齐次齐次微分方程为微分方程为特征方程特征方程012 rr特征根特征根,23212, 1ir 对应对应齐次齐次方程通解为方程通解为23sin23cos212xcxceyx 二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程;xeyyy xeyyy 与与, 0 yyy16特征根特征根ir23212, 1 非齐次非齐次方程的特解为方程的特解为 yxae代入方程代入方程, yyy,将将得得,31 axey3

13、1 方程通解为方程通解为 yyy23sin23cos212xcxcex xe31 ,0时时当当 x 1)0( y0)0( y311 c31232121 cc 03221cc二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程xeyyy 17于是幂级数于是幂级数 的和函数为的和函数为 03)!3(nnnxxxexexy3123cos32)(2 )( x二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程18.323的通解的通解求方程求方程xeyyy 解解对应对应齐次齐次方程通解方程通解特征方程特征方程0322 rr特征根特征根1321 rr，xxececy231 (1) 求对应求对应齐次

14、齐次方程的通解方程的通解此题此题.)()(3型型属属于于xmxexpexf 其中其中, 0 m. 3 )3(是是单单根根 (2) 求求非齐次非齐次方程的特解方程的特解 y设设1992年考研数学一年考研数学一, 6分分xxae3 二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程19代入方程代入方程, yyy,将将.323的的通通解解求求方方程程xeyyy ,41 axxey341 原方程通解为原方程通解为 yyyxxecec231 xxe341 xxaey3 设设对应对应齐次齐次方程通解方程通解xxececy231 得得二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程20型型二、

15、二、sin)(cos)()(xxpxxpexfnlx sincos)(xpxpexfnlx 2xixilxeepe xinleipp)()22( xiexp)()( ,)()(xiexpqyypy 设设ximkeqxy)(1 欧拉公式欧拉公式2ieepxixin xinleipp)()22( xiexp)()( 二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程21是单根是单根 i ,)()(xiexpqyypy 设设ximkeqxy)(2 ysin)(cos)()2()1(xxrxxrexmmxk 是是其其中中)(),()2()1(xrxrmm nlm,max kximximxkeqe

16、qex 欧拉公式欧拉公式 )sin(cosxixqexmxk )sin(cosxixqm 型型sin)(cos)()(xxpxxpexfnlx 不不是是根根 i 01,次次多多项项式式m二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程22.sin4的通解的通解求方程求方程xyy 解解xcxcysincos21 例例(1) 求求对应对应齐次齐次方程方程 0 yy012 r特征根特征根ir 其通解其通解这是二阶常系数非齐次线性方程这是二阶常系数非齐次线性方程.且且 .sin)(cos)()(型型属于属于xxpxxpexfnlx , 0( 其中其中特征方程特征方程, 1 , 0)( xpl)

17、4)( xpn0 014的通解的通解二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程23xcxcysincos21 (2) 求求非非齐次齐次方程方程 xyysin4 i故设故设代入方程代入方程,比较系数比较系数.得得xxycos2 这里这里i 0asin x?1 yxxxcos2 , 0 1 特征根特征根ir 非齐次方程特解为非齐次方程特解为是特征根是特征根.原方程通解为原方程通解为b xcos 的特解的特解.二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程24二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程解解例例强迫振动与共振问题强迫振动与共振问题设一质量为设一质量

18、为m的电动振荡器安装在弹性梁的电动振荡器安装在弹性梁l的的a点处点处,pth sin的干扰力的干扰力(h, p均为常数均为常数, h 称为称为干扰幅度干扰幅度, , p 称为称为干扰频率干扰频率),使得横梁发生振动使得横梁发生振动. .如图所示如图所示, ,取取 x轴过轴过a点点, 方向铅直向下方向铅直向下,轴的原点轴的原点. 如果不计阻力和如果不计阻力和a点处点处横梁的重量横梁的重量, ,试求试求a点在点在干扰力作用下的运动规律干扰力作用下的运动规律. .laox cx pth sin如果不计阻力如果不计阻力,则则a点在点在振动时受到两个力的作用振动时受到两个力的作用, ,一个是弹性恢复力一

19、个是弹性恢复力,cx 另一个是干扰力另一个是干扰力,sin pth,sindd22pthcxtxm 牛顿第二定牛顿第二定律律振荡器开动时对横梁产生一个垂直方向振荡器开动时对横梁产生一个垂直方向并设平衡时并设平衡时a点在点在 x25二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程,sindd22pthcxtxm 记记hmhkmc ,2上式化为上式化为,sindd222pthxktx 初值条件初值条件. 0)0(, 0)0( xx二阶常系数非齐次线性微分方程的初值问题二阶常系数非齐次线性微分方程的初值问题. . ,sincos21kxckxcx (1) 求求对应对应齐次齐次方程方程 02

20、xkx022 kr特征根特征根kir 齐次齐次方程方程的通解的通解, 0( 其中其中特征方程特征方程, p , 0)( tpl)(htpn 的通解的通解且且f (t).sin)(cos)(型型属于属于ttpttpenlt 26(2) 求求非齐次非齐次方程的特解方程的特解.sincosptbptax 二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程,sindd222pthxktx . 0)0(, 0)0( xx二阶常系数非齐次线性二阶常系数非齐次线性微分方程的初值问题微分方程的初值问题. . ,sincos21kxckxcx 齐次齐次方程方程的通解的通解其中其中mck 是弹性梁的固有频率

21、是弹性梁的固有频率. .记记2kmc 根据固有频率根据固有频率k与与干扰频率干扰频率p的关系的关系, 情况情况讨论讨论:如果如果,kp 那么那么特征根特征根kir pii 不是特征根不是特征根,故可设故可设代入代入非齐次非齐次方程中方程中,求得求得, 022pkhba 下面分下面分两种两种27二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程,sindd222pthxktx . 0)0(, 0)0( xx二阶常系数非齐次线性二阶常系数非齐次线性微分方程的初值问题微分方程的初值问题. . 于是得于是得非齐次非齐次方程的特解方程的特解.sincosptbptax , 022pkhba .si

22、n22ptpkhx 从而当从而当,时时kp 方程的通解为方程的通解为 x.sin22ptpkh 由初值条件由初值条件从而从而a点的运动规律为点的运动规律为.sinsin)(2222ptpkhktkpkhpx kxckxcsincos21可定出可定出c1与与c2,sincos21kxckxcx 齐次齐次方程方程的通解的通解28二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程.sinsin)(2222ptpkhktkpkhpx 上式表示上式表示,物体的运动由两部分合成物体的运动由两部分合成.这两部分都这两部分都是简谐振动是简谐振动.自由振动自由振动强迫振动强迫振动强迫振动由干扰力引起强迫振

23、动由干扰力引起,它的角频率它的角频率就是干扰力的角频率就是干扰力的角频率p, 当干扰力的角频率当干扰力的角频率p与振与振动系统的固有频率动系统的固有频率k相差很小时相差很小时,它的振幅它的振幅22pkh 可以很大可以很大.).sincos(ktbktatx 如果如果,kp 那么那么pii 是特征根是特征根,故可设故可设代入代入非齐次非齐次方程中方程中,. 0,2 bkha特征根特征根kir a点的运点的运动规律动规律,sindd222pthxktx . 0)0(, 0)0( xx二阶常系数非齐次线性二阶常系数非齐次线性微分方程的初值问题微分方程的初值问题. . 求得求得29二阶常系数非齐次线性

24、微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程,sindd222pthxktx . 0)0(, 0)0( xx二阶常系数非齐次线性二阶常系数非齐次线性微分方程的初值问题微分方程的初值问题. . 于是得于是得非齐次非齐次方程的特解方程的特解.cos2kttkhx ).sincos(ktbktatx . 0,2 bkha从而当从而当,时时kp 方程的通解为方程的通解为 x由初值条件由初值条件从而从而a点的运动规律为点的运动规律为.cos2sin22kttkhktkhx kxckxcsincos21 可定出可定出c1与与c2,.cos2kttkh ,sincos21kxckxcx 齐次齐次方程方程的通解的通解

25、30二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程a点的运动规律为点的运动规律为.cos2sin22kttkhktkhx 上式右端第二项表明上式右端第二项表明,强迫振动的振幅强迫振动的振幅tkh2随时随时间间 t 的增大而无限增大的增大而无限增大. 这时就发生这时就发生共振会对共振会对弹性梁产生严重的破坏弹性梁产生严重的破坏. .共振现象共振现象. .美国的塔科马海峡铁桥美国的塔科马海峡铁桥(位于华盛顿州位于华盛顿州),据记载据记载, ,1940年年因风力因风力的周期性作用的周期性作用,发生发生共振而至破坏共振而至破坏. 由以上的结果可知由以上的结果可知,为了避免为了避免共振现象共振

26、现象,应使应使干扰力的角频率干扰力的角频率p不要靠近不要靠近振动系统的固有频率振动系统的固有频率k.反之反之, ,如果要利用如果要利用共振现象共振现象,那么应使那么应使 p= k 或使或使 p与与k尽量尽量靠近靠近.31 1989年考研数学二年考研数学二, 7分分 xttftxxxf0,d)()(sin)(设设解解 )(xf xcos xttfx0d)(cos两端再对两端再对x求导求导,得得 )(xf积分方程积分方程 微分方程微分方程 xttftxxxf0d)()(sin)( x积分方程积分方程 xcos xtttf0d)( x()(xxf xttf0d)()(xxf ) xttfx0d)(即

27、即xxfxfsin)()( 即即xyysin 这是二阶常系数非齐次线性方程这是二阶常系数非齐次线性方程.)(sinxfx 二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程其中其中 f 为连续函数为连续函数,求求f (x).32即即xxfxfsin)()( 即即xyysin .)(为为未未知知函函数数其其中中xfy 初始条件初始条件, 0)0( f得得又由又由,d)(cos)(0 xttfxxf初始条件初始条件, 1)0( f .sin)(cos)(型型自由项属于自由项属于xxpxxpenlx , 0( 其中其中, 1 , 0)( xpl)1)( xpn001 11000; 0)0( y

28、即即000. 1)0( y即即 xttftxxxf0,d)()(sin)(设设,为连续函数为连续函数其中其中f).(xf求求二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程得得由由 xttftxxxf0,d)()(sin)(33.sincos21xcxcy 其通解其通解(1)对应对应齐次齐次方程方程0 yy012 r特征方程特征方程特征根特征根ir xyysin ii 0(2)设原方程的特解为设原方程的特解为 xacossin xb yx0,21 ba 解得解得xxycos21 则则方程的通解为方程的通解为xcxcysincos21 xxcos21 由初始条件由初始条件,得得21, 021 cc所以所以, 0( , 1 , 0)( xpl)1)( xpn初始条件初始条件, 0)0( y. 1)0( y二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程是特征根是特征根.cos2sin21)(xxxxfy 34三、小结三、小结)()()1(xpexfmx )(xqexymxk sin)(cos)()()2(xxpxxpexfnlx sin)(cos)(