二重积分概念

1、多元函数积分学重积分曲线积分曲面积分 重 积 分 三、二重积分的性质三、二重积分的性质 一、引例一、引例 二、二重积分的定义与可积性二、二重积分的定义与可积性 四、曲顶柱体体积的计算四、曲顶柱体体积的计算 二重积分的概念与性质 解法解法: 类似定积分解决问题的思想:一、引例一、引例1.曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积 给定曲顶柱体:0),(yxfz底：底： xoy 面上的闭区域 d顶顶: 连续曲面侧面：侧面：以 d 的边界为准线 , 母线平行于 z 轴的柱面求其体积.“大化小, 常代变, 近似和, 求 极限” d),(yxfz d),(yxfz 1)“大化小”用任意曲线网分d为 n 个区域n,21

2、以它们为底把曲顶柱体分为 n 个2)“常代变”在每个k, ),(kk3)“近似和”nkkvv1nkkkkf1),(),(kkf),2, 1(),(nkfvkkkk则中任取一点小曲顶柱体k),(kk4)“取极限”的直径为定义kkk,pppp2121max)(令)(max1knknkkkkfv10),(lim),(yxfz ),(kkfk),(kk2. 平面薄片的质量平面薄片的质量 有一个平面薄片, 在 xoy 平面上占有区域 d ,),(cyx计算该薄片的质量 m .度为),(),(常数若yx设d 的面积为 , 则m若),(yx非常数 , 仍可用其面密 “大化小, 常代变,近似和, 求 极限”

3、解决.1)“大化小”用任意曲线网分d 为 n 个小区域,21n相应把薄片也分为小区域 .dyx2)“常代变”中任取一点k在每个),(kk3)“近似和”nkkmm1nkkkk1),(4)“取极限”)(max1knk令nkkkkm10),(limk),(kk),2, 1(),(nkmkkkk则第 k 小块的质量yx两个问题的共性共性：(1) 解决问题的步骤相同(2) 所求量的结构式相同“大化小, 常代变, 近似和,取极限”nkkkkfv10),(limnkkkkm10),(lim曲顶柱体体积: 平面薄片的质量: 二、二重积分的定义及可积性二、二重积分的定义及可积性定义定义:),(yxf设将区域 d

4、 任意分成 n 个小区域),2,1(nkk任取一点,),(kkk若存在一个常数 i , 使nkkkkfi10),(limdyxfd),(称为积分变量yx,dyxfd),(记作是定义在有界区域 d上的有界函数 , 在d上的二重积分二重积分.可积可积 , ),(yxfi为称),(yxf则称积分和积分区域被积函数面积元素积分表达式dyxfvd),(引例1中曲顶柱体体积:dyxmd),(引例2中平面薄板的质量:如果 在d上可积,),(yxf也常d,ddyx二重积分记作.dd),(dyxyxf,kkkyx 这时分区域d , 因此面积元素可用平行坐标轴的直线来划 记作dyxyxfdd),(dyxyxdd)

5、,(二重积分存在定理二重积分存在定理:若函数),(yxf),(yxf定理2.),(yxf上可在则dyxf),(证明略)定理1.在d上可积可积.限个点或有限个光滑曲线外都连续 ,积.在有界闭区域 d上连续, 则若有界函数在有界闭区域 d 上除去有 例如例如, yxyxyxf22),(在d :10 x10 y上二重积分存在 ;yxyxf1),(但在d 上 y1xo1d二重积分不存在 . 三、二重积分的性质三、二重积分的性质dyxfkd),(. 1( k 为常数)dyxgyxfd),(),(. 221d),(d),(d),(. 3dddyxfyxfyxf, 1),(. 4yxfd上若在dddd1 为

6、d 的面积, 则 ),(2121无公共内点ddddddyxfkd),(ddyxgyxfd),(d),(特别, 由于),(),(),(yxfyxfyxfdyxfd),(则dyxfd),(dyxd),(5. 若在d上),(yxf, ),(yxdyxfd),(6. 设),(min),(maxyxfmyxfmddd 的面积为 ,myxfmdd),(则有7.(二重积分的中值定理),(yxf设函数,),(d),(),(fdyxfd证证: 由性质6 可知,myxfmdd),(1由连续函数介值定理, 至少有一点d),(dyxffd),(1),(),(d),(fyxfd在闭区域d上 为d 的面积 ,则至少存在一

7、点使使连续,因此例例1. 比较下列积分的大小:d)(,d)(32ddyxyx其中2) 1()2( :22yxd解解: 积分域 d 的边界为圆周1 yx332)()(yxyx2) 1()2(22yx它与 x 轴交于点 (1,0) ,.1相切与直线 yx而域 d 位, 1 yx从而d)(d)(32ddyxyx于直线的上方, 故在 d 上 1y2xo1d例例2. 判断积分yxyxyxdd1432222的正负号.解解: 分积分域为,321ddd则原式 =yxyxddd11322yxyxddd12322yxyxddd133221dddyxyxddd1333)34(2323d32d11dyxo0)21 (

8、3猜想结果为负 但不好估计 .舍去此项例例3. 估计下列积分之值10:coscos100ddi22yxdyxyxd解解: d 的面积为200)210(2由于yx22coscos1001积分性质5100200i102200即: 1.96 i 210101010d10011021xyoxyod8. 设函数),(yxfd 位于 x 轴上方的部分为d1 , ),(),() 1 (yxfyxf),(),()2(yxfyxfd),(dyxf0d),(dyxf当区域关于 y 轴对称, 函数关于变量 x 有奇偶性时, 仍1d在 d 上d),(21dyxf在闭区域上连续, 域d 关于x 轴对称,则则有类似结果.

9、在第一象限部分, 则有1:,221 yxdd 为圆域如dyxyxdd)(22dyxyxdd)(1dd)(422dyxyx0 xbad 四、曲顶柱体体积的计算四、曲顶柱体体积的计算设曲顶柱的底为bxaxyxyxd)()(),(21任取, ,0bax 平面0 xx 故曲顶柱体体积为dyxfvd),(yyxfxaxxd),()()()(000201截面积为yyxfxxd),()()(21baxxad )(截柱体的)(2xy)(1xyzxyoab0 xdydcxo)(2yx)(1yxyydcd dycyxyyxd),()(),(21同样, 曲顶柱的底为则其体积可按如下两次积分计算dyxfvd),(xy

10、xfyyd),()()(21xyxfyyd),()()(21dcyd例例4. 求两个底圆半径为r 的直角圆柱面所围的体积.xyzrro解解: 设两个直圆柱方程为,222ryx利用对称性, 考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为则所求体积为yxxrvddd822220dxryxxrrd)(80223316r222rzx22xrz 00:),(22rxxrydyxxxrrd8022222ryx222rzxd内容小结内容小结1. 二重积分的定义dyxfd),(iiinif),(lim10)dd(dyx2. 二重积分的性质 (与定积分性质相似)3. 曲顶柱体体积的计算二次积分法被积函数相同, 且非负, 思

11、考与练习思考与练习yxyxiyxdd1122yxyxiyxdd12yxyxidd11113解解: 321,iii由它们的积分域范围可知312iii11xyo1. 比较下列积分值的大小关系:2. 设d 是第二象限的一个有界闭域 , 且 0 y 1, 则,d31dxyi,d322dxyidxyid3213的大小顺序为 ( ).)(;)(;)(;)(213123312321iiidiiiciiibiiia提示: 因 0 y 1, 故;212yyyd故在d上有, 03x又因323321xyxyxyyox1d3. 计算.dd)(sin2200yxyxi解解:)cos(yx 0220yd20dcossin

12、yyyyysincos2xyxyid)(sind2200024. 证明:, 2d)cossin(122dyx其中d 为.10, 10yx解解: 利用题中 x , y 位置的对称性, 有d)cossin(22dyxd)cossin(d)cossin(222221ddxyyxd)cossin(d)cossin(222221ddyyxxd)cossin(22dxxd)sin(242dx,1)sin(,1042212xx又 d 的面积为 1 , 故结论成立 .yox1d10.40.5i备用题备用题1. 估计 的值, 其中 d 为22d216dixyxy01, 0. 2xy解解: 被积函数21( , )(