向量定义分类线性组合线性表示及秩的判断定理和推

1、线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性1教学目的掌握向量的概念，掌握向量组线性表示向量掌握向量的概念，掌握向量组线性表示向量（组）的判定方法，会用初等变换求解向量（组）的判定方法，会用初等变换求解向量的线性表达式。掌握线性相关性的概念和基的线性表达式。掌握线性相关性的概念和基本判定方法。本判定方法。作业重点向量组的线性表示、相关性及判定方法向量组的线性表示、相关性及判定方法练习册练习册难点向量组线性表示方法向量组线性表示方法讲授方法讲授讲授讲授内容讲授内容主线主线向量定义向量定义- -分类分类线性组合线性组合线性表示及秩的线性表示及秩的判断定理和推论判断定理和推论

2、练习练习向量组线性表示及向量组线性表示及等价和秩的判断方法等价和秩的判断方法向量组线性相关定义向量组线性相关定义判定方法判定方法时间安排向量向量组的线性表示通过解析成矩阵方程向量向量组的线性表示通过解析成矩阵方程组组, ,可用秩的判定方法来判定和求解线性表示可用秩的判定方法来判定和求解线性表示系数。线性相关性则是通过等价定义的齐次系数。线性相关性则是通过等价定义的齐次方程组来判定方程组来判定. .班级： 星期 ： 节 年 月 日第八讲：向量组的线性表示与线性相关性第八讲：向量组的线性表示与线性相关性线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性2友情提示友情提示 本次课讲

3、第四章第一二节：向量组的线性表本次课讲第四章第一二节：向量组的线性表示与线性相关性；示与线性相关性； 下一次课讲第四章第二节（续）与第三节：下一次课讲第四章第二节（续）与第三节：相关性与向量组的秩；相关性与向量组的秩； 下次上课时下次上课时交作业交作业p25p25p26p26线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性3 的的变变量量个个数数为为注注意意：有有无无穷穷多多解解。有有唯唯一一解解；有有解解无无解解；有有非非零零解解。有有唯唯一一零零解解；xnrbarbararbararbarxanarna narnar0x),(),(,arnmnmb bbaxbbbxxx

4、abaxmm 即：即：数方程组数方程组的结论推广到多个同系的结论推广到多个同系将将复习方程组秩的解法：复习方程组秩的解法：),(),(2121第八讲：向量组的线性表示与线性相关性第八讲：向量组的线性表示与线性相关性线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性4一、向量组及其相关概念一、向量组及其相关概念1.向量向量:(1)向量的定义向量的定义个个分分量量是是第第因因此此个个数数称称为为向向量量的的分分量量维维向向量量所所组组成成的的数数组组称称为为个个有有次次序序的的数数iannaaanin,;,21 (2)向量与矩阵向量与矩阵 n 维向量可写成一行维向量可写成一行行向

5、量行向量；也称行矩阵；也可写；也称行矩阵；也可写成一列成一列列向量，也称列矩阵列向量，也称列矩阵总总被被看看成成是是不不同同的的向向量量维维列列向向量量与与维维行行向向量量并并且且 nnaaanaaan2,121),(因此规定：因此规定：行向量和列向量都按矩阵的规则进行运算行向量和列向量都按矩阵的规则进行运算（3）向量的记法：）向量的记法： 1）列向量用用字母）列向量用用字母 表示；表示； 、ba行向量用行向量用、ttba表示表示.tt 、第八讲：向量组的线性表示与线性相关性第八讲：向量组的线性表示与线性相关性线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性52.向量组的概

6、念向量组的概念（1）向量组的定义）向量组的定义：若干个若干个同维数同维数的列向量（或同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合：的行向量）所组成的集合：mnmmnnaaaaaaaaa212222111211a如矩阵：如矩阵：有有 n 个个 m 维列向量维列向量,21 mjjjaaa nj,2, 1 ja（2）所讨论的向量在没有指明是行向量还是列向量时，）所讨论的向量在没有指明是行向量还是列向量时，都当作列向量都当作列向量 t120112013如如：量量的的转转置置的的形形式式，也也将将列列向向量量写写成成行行向向）经经常常地地，为为书书写写方方便便（ 第八讲：向量组的线性表示与线性相关性第

7、八讲：向量组的线性表示与线性相关性线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性6（2）矩阵与向量组：）矩阵与向量组：由由 m 个个 n 维行向量所组成的向量组维行向量所组成的向量组 构成一个构成一个 mn矩阵矩阵tmtt ,21.21tmttb 因此，矩阵与它所对应的行（列）向量组有一一对应的关因此，矩阵与它所对应的行（列）向量组有一一对应的关系，向量组称矩阵的向量组，矩阵称向量组的矩阵系，向量组称矩阵的向量组，矩阵称向量组的矩阵的的行行向向量量组组称称为为矩矩阵阵的的行行向向量量组组同同理理，组组成成矩矩阵阵aatmtt ,21naaa,21矩阵矩阵a组成的向量组组成

8、的向量组称为称为矩阵矩阵 a 的列向量组的列向量组；反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵. 由由 m 个个 n 维列向量所组成的向量组维列向量所组成的向量组 构成构成一个一个nm矩阵矩阵maaa,21;,21maaaa第八讲：向量组的线性表示与线性相关性第八讲：向量组的线性表示与线性相关性线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性73.线性组合的概念线性组合的概念：定义定义2 2给定向量组给定向量组 a ： ，maaa,21对于任何一组实数对于任何一组实数,21mkkk向量向量mmakakak 2211 称为

9、向量组称为向量组 a 的一个的一个线性组合线性组合，mkkk,21称为这个称为这个线性组合的系数线性组合的系数.4.线性表示的概念：线性表示的概念：给定向量组给定向量组 a ： 和向量和向量 ，maaa,21b如果存在一组数如果存在一组数,21m使使,2211mmaaab则向量则向量 是向量组是向量组 a 的线性组合，的线性组合，b这时称这时称向量向量 能由向量组能由向量组 a 线性表示线性表示。b线性表示的关键是线性表示系数的存在与求解线性表示的关键是线性表示系数的存在与求解第八讲：向量组的线性表示与线性相关性第八讲：向量组的线性表示与线性相关性线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相

10、关性向量组的线性相关性8,01020011021即向量 能由向量组 线性表示.021010001,例如：例如：5.向量组由向量组线性表示概念向量组由向量组线性表示概念定义定义3 3设有两个向量组设有两个向量组 a： 及及 b： ，maaa,2112,lb bb则称则称向量组向量组 b 能由向能由向量组量组 a 线性表示线性表示。6.向量组的等价：向量组的等价：向量组向量组 a 与向量组与向量组 b 能相互线性表示，能相互线性表示，则称这两个则称这两个向量组等价。向量组等价。 这是第二次遇到等价概念：一个是矩阵间互相初等这是第二次遇到等价概念：一个是矩阵间互相初等变换的等价；这里是向量组间间互相

11、线性表示的等价变换的等价；这里是向量组间间互相线性表示的等价若若 b 组中的每个向量都能由向量组组中的每个向量都能由向量组 a 线性表示，线性表示，b第八讲：向量组的线性表示与线性相关性第八讲：向量组的线性表示与线性相关性线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性97.向量组的线性相关概念向量组的线性相关概念(1)(1)定义定义给定向量组给定向量组 a ： ，maaa,21如果如果存在不全为零的数存在不全为零的数,21mkkk使使021maaa mkkk 21则称向量组则称向量组 a 是是线性相关线性相关的，否则称它的，否则称它线性无关线性无关“否则否则”只有当只有当

12、0 21mkkk时，时，式才成立。式才成立。或若向量组或若向量组 a ： ，maaa,21线性无关，线性无关，且且式成立，式成立，则必有则必有. 0 21 mkkk第八讲：向量组的线性表示与线性相关性第八讲：向量组的线性表示与线性相关性线性相关。线性相关。，证明向量组证明向量组：设：设例例43212112112112113,)1(p31t 0144332214321 ）（）（）（）（证明：由定义，证明：由定义， 线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性10二、用方程组判断和求解向量组的线性表示的系数二、用方程组判断和求解向量组的线性表示的系数 ),(,);()(21

13、21baaaraaarbrarmm 或或即：即： 的的秩秩的的秩秩等等于于是是件件线线性性表表示示的的充充分分必必要要条条能能由由向向量量组组向向量量定定理理：baaabaaaaaaaabmmm,),(,:. 1212121 向量向量 能由向量组能由向量组 a 线性表示，线性表示，b也就是方程组有解也就是方程组有解baaam 21mxxx 21证：证： maaa,21 mxxx21b 将方程组变形为：将方程组变形为：第八讲：向量组的线性表示与线性相关性第八讲：向量组的线性表示与线性相关性线性相关。线性相关。使得使得存在存在43214321,0, 1, 1 , 1, 1 线性代数线性代数 第四章

14、第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性11为线性表示系数为线性表示系数其中解其中解的解的问题，的解的问题，为方程组：为方程组：即线性表示问题恒变形即线性表示问题恒变形tmxxxxbax),(21 ),()(,:21bararbaxaaaabm 有有解解线线性性表表示示能能由由向向量量组组向向量量 式式无无穷穷多多。一一，有有无无穷穷解解，则则表表示示有有唯唯一一解解，则则表表示示式式唯唯来来求求线线性性表表示示系系数数。）可可以以用用方方程程组组（来来线线性性表表示示。能能否否由由来来判判断断）可可以以用用秩秩（定定理理告告诉诉我我们们，baxaaabbaaaraaarmmm 2,),(

15、,1212121第八讲：向量组的线性表示与线性相关性第八讲：向量组的线性表示与线性相关性线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性12（1 1）秩的等式定理）秩的等式定理2:2:的秩等于矩阵的秩等于矩阵向量组向量组 : : 能由向量组能由向量组 : : 线性线性表示的表示的充分必要条件充分必要条件是矩阵是矩阵bmaaaa,21,1212ml(a,b)= a ,a ,a ,b ,bb12ma ,a ,a12lb ,b ,ba的秩的秩.()()r a = r a,b即即:2.用方程组判定与求解向量组间的线性表示系数用方程组判定与求解向量组间的线性表示系数.设向量组设向量组

16、 a 与向量组与向量组 b 所构成的矩阵依次记作所构成的矩阵依次记作 sbbbb,21 和和 maaaa,21 b 组能由组能由 a 组线性表示，组线性表示，即对每个向量即对每个向量jb , 2 , 1sj :,21使使得得存存在在mjjjxxx,),(21212211 mjjjmmmjjjjxxxaaaaxaxaxb , 2 , 1sj 第八讲：向量组的线性表示与线性相关性第八讲：向量组的线性表示与线性相关性线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性13baxbbbbxxxxbbbaxaxaxbaxbaxbaxasssssss :),(),(),(),( :,212

17、121212211矩阵方程组矩阵方程组则上式成则上式成令令即即写成矩阵形式写成矩阵形式的方程组的方程组个同系数个同系数这是这是.),(:.21个个向向量量线线性性表表示示的的系系数数组组个个向向量量用用组组为为的的列列向向量量分分别别其其中中的的解解的的判判定定与与求求解解问问题题阵阵方方程程组组线线性性表表示示问问题题变变成成了了矩矩由由向向量量组组向向量量组组masbxxxxbaxabs 有解有解无解无解是否有解是否有解线性表示线性表示由向量组由向量组向量组向量组),()(),()(bararbararbaxab系系数数解解的的列列向向量量即即线线性性表表示示用用初初等等行行变变换换解解出

18、出有有解解时时),(,21sxxxx 第八讲：向量组的线性表示与线性相关性第八讲：向量组的线性表示与线性相关性线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性14特别提示：特别提示：定理所涉及的向量组均是列向量组，方程组的定理所涉及的向量组均是列向量组，方程组的解也是列向量表示，解也是列向量表示，“行变换、列向量行变换、列向量”一定要记牢一定要记牢(2)两个推论。由以上定理，不难推出以下结论两个推论。由以上定理，不难推出以下结论)()(),(),(),()(2brarbrbarbarar 故故由秩的不等式知由秩的不等式知，知：知：分析：由定理分析：由定理),()(),()(

19、:,:,:21212121smmsbbbrbraaararaaaabbbb 则则线性表示线性表示能由向量组能由向量组若向量若向量不等式推论不等式推论),()()(,:,:2121barbrarbbbbaaaalm ：等等价价的的充充分分必必要要条条件件是是与与组组向向量量组组等等价价结结论论：向向量量分析：由定理分析：由定理2和向量组等价定义易推出结论成立和向量组等价定义易推出结论成立第八讲：向量组的线性表示与线性相关性第八讲：向量组的线性表示与线性相关性线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性15（4）线性表示秩的解法的概括：）线性表示秩的解法的概括：)()()(

20、),()()(),()(brararbarbrxabxabbrbararxbaxbaba 为为表表示示系系数数解解有有解解线线性性表表示示为为表表示示系系数数解解有有解解线线性性表表示示等等价价、例例2：设向量组 111,22a 212,13a 311,40a10,31b 证明: 能 由向量组 线性表示,并求出表达式.123,aaab第八讲：向量组的线性表示与线性相关性第八讲：向量组的线性表示与线性相关性线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性16证：证：10320121000000001111121021432301br(a)=r(b)=2,因 能 由向量组 线性

21、表示.123,a aab所以 cccxxxcxxxxx1223,122332133231得得通通解解为为：令令解解方方程程组组：(其中其中c可取任意值可取任意值)123( 32)(21).bcacaca 112323(,)xba a axx第八讲：向量组的线性表示与线性相关性第八讲：向量组的线性表示与线性相关性线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性17)(),(,)(),(,),min(),(),(),()(0212121arnbarnarbarnsnnrbarnraraasnn 且：且：，又又满秩，即：满秩，即：，证明：证明： 线性表示线性表示能由能由，证明：证

22、明：若若，：组成，向量组组成，向量组个向量个向量由由维向量组维向量组：设：设例例nssnabnan , 0.,221212121 线线性性表表示示能能由由，要要条条件件，由由向向量量组组线线性性表表示示的的充充ns ,2121第八讲：向量组的线性表示与线性相关性第八讲：向量组的线性表示与线性相关性线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性18第八讲：向量组的线性表示与线性相关性第八讲：向量组的线性表示与线性相关性例例3（05，2，9分）分） 线性表示线性表示，不能由向量组不能由向量组，线性表示，但向量组线性表示，但向量组可由向量组可由向量组使向量组使向量组确定常数确定

23、常数3213213213212,42,11:11,11,11:, ttttttaaaabaaaaa 作初等行变换作初等行变换故首先对增广矩阵故首先对增广矩阵即即无解无解即即线性表示线性表示不能由不能由向量组向量组同理同理即即有解有解即即线性表示线性表示能由能由向量组向量组分析分析),(),()(,:).,()(,:,:abbararbaxababrbrabxba 211034201102201122111411111221aaaaaaaaaaaaaaaa线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性192) 1(33040011022011221aaaaaaaa线性表示。

24、线性表示。，可由可由，即，即，方程组有解，方程组有解，时，时，可见，可见，321321),()(2, 4 abrbraa 第八讲：向量组的线性表示与线性相关性第八讲：向量组的线性表示与线性相关性 aaaaaaaaaaaaaaaa342011022011022111411111221112),(),()(babararbaxab考察增广矩阵考察增广矩阵无解，即无解，即线性表示，即线性表示，即不能由不能由同理，由已知，同理，由已知， 线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性20线性表示线性表示，不能由不能由，时，时，或或可见：可见：32132121 aa 24620)1

25、)(20022011022111aaaaaaaaa（继续往行阶梯化下去：继续往行阶梯化下去：第八讲：向量组的线性表示与线性相关性第八讲：向量组的线性表示与线性相关性线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性21三、用方程组判定线性相关无关性三、用方程组判定线性相关无关性只有零解。只有零解。则则有非零解，无关，有非零解，无关，向量组相关向量组相关将等式看作一个方程，将等式看作一个方程，键式：键式：复述相关无关定义：关复述相关无关定义：关mmmmkkkkkkkkk,0. 121212211 三三点点共共面面满满足足三三个个向向量量相相关关两两点点共共线线。同同理理：空空间

26、间中中两两点点成成比比例例向向量量相相关关，两两个个维维向向量量对对应应空空间间中中的的点点注注：设设相相关关的的几几何何意意义义值值得得关关 , 0, 03. 2321332211kkkkkk 为线性系数为线性系数其中其中的解，的解，tmmmxxxxaxkkk),(00. 3212211 。是是否否有有唯唯一一零零解解的的问问题题成成了了方方程程组组的的相相关关无无关关问问题题就就演演变变。因因此此向向量量组组于于方方程程列列向向量量），则则等等式式恒恒等等题题。在在这这一一等等式式中中，令令系系数数是是否否只只有有零零解解的的问问的的向向量量关关键键是是等等式式线线性性相相关关与与无无关关

27、问问题题的的00(),(),(021212211 axaxxxxxakkktmmmm 第八讲：向量组的线性表示与线性相关性第八讲：向量组的线性表示与线性相关性线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性22（1）按照定义判定。）按照定义判定。思路：用定义，无关即向量的齐次线性方程组只有非零解，思路：用定义，无关即向量的齐次线性方程组只有非零解，即系数行列式不等于零即系数行列式不等于零证证:设有 使321,xxx0321bbb 321 xxx即0133221aaaaaa 321 xxx322131 xxxxxx0321aaa 因 线性无关，故321,aaa321,aaa的

28、系数只有零解的系数只有零解4.线性相关性的判定：线性相关性的判定：例例4 已知向量组 线性无关，,322211aabaab试证向量组 线性无关.321,bbb,133aab321,aaa第八讲：向量组的线性表示与线性相关性第八讲：向量组的线性表示与线性相关性线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性23 000322131xxxxxx此方程组的系数行列式为110011101. 02 方程组只有零解, 0321 xxx所以向量组 线性无关.321,bbb定理定理4 4（2）按照向量组的秩判定：）按照向量组的秩判定：向量组向量组 线性相关线性相关的充分必要条件是它所构的充

29、分必要条件是它所构maaa,21成的矩阵成的矩阵 的秩的秩r(a) m；maaaa,21向量组向量组线性无关线性无关的充分的充分必要条件是必要条件是 r(a) =m .maaa,21：是是否否有有唯唯一一零零解解的的问问题题因因此此相相关关无无关关的的关关键键是是为为等等式式可可恒恒等等变变形形中中系系数数是是否否为为零零。由由于于相相关关无无关关的的关关键键是是等等式式组组前前面面已已经经分分析析到到：向向量量0, 00,:221121 axaxaxaxaxaaaammm第八讲：向量组的线性表示与线性相关性第八讲：向量组的线性表示与线性相关性线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性

30、向量组的线性相关性24maraxaaamaraxaaaaxaxaxaxmmmm )(0,)(0,0:21212211有唯一零解有唯一零解线性无关线性无关有非零解有非零解线性相关线性相关组向量的线性表示系数组向量的线性表示系数解为解为例例5 已知已知,742 ,520 ,111321 aaa试讨论向量组试讨论向量组 及向量组及向量组 的线性相关性的线性相关性.321,aaa21,aa解解对矩阵对矩阵 施行施行初等行变换初等行变换，321,aaa751421201,321aaa12rr 13rr 201 2205502325rr 000220201 则则 r, 2,321aaa向量组向量组321,

31、aaa21,aar =2,线性无关线性无关.向量组向量组21,aa线性相关线性相关；第八讲：向量组的线性表示与线性相关性第八讲：向量组的线性表示与线性相关性线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性25（3）按照整体与部分的关系判定）按照整体与部分的关系判定定理定理5 5 （1 1）若向量组）若向量组 a： 线性相关，线性相关，maaa,21则向量组则向量组 b：121,mmaaaa也相关也相关；反言之，反言之， 若向量组若向量组 b 线性无关，则向量组线性无关，则向量组a 也线性无关也线性无关.即即线线性性相相关关显显然然，, 1)(,)(1)()|()(1 mbr

32、mararaarbrm（4）用向量的维数判定）用向量的维数判定： m 个个 n 维向量组成的向量组，当维数维向量组成的向量组，当维数 n 小于向量个数小于向量个数m 时一定线性相关时一定线性相关.所以线性相关所以线性相关分析：显然，分析：显然，smarmnnmar,)(),min()( （5）线性表示与相关性的关系定理）线性表示与相关性的关系定理：一一线性表示，且表示式唯线性表示，且表示式唯能由向量组能由向量组则向量则向量线性相关，线性相关，线性无关，而向量组线性无关，而向量组若向量组若向量组abbaaabaaaamm,:,:2121第八讲：向量组的线性表示与线性相关性第八讲：向量组的线性表示

33、与线性相关性线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性26证明：证明：记,21maaaa,21baaabm由秩的定理，有r(a)r(b).因 a 组线性无关，有r(a) = m；因 b 组线性相关，有r(b) m+1.所以 mr(b) m+1, 即有r(b) = m.由 r(a) = r(b) = m,及线性方程组秩的解法定理，知方程组bxaaam,21有唯一解， 即b能由a组线性表示且表示唯一.第八讲：向量组的线性表示与线性相关性第八讲：向量组的线性表示与线性相关性线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性27证证:1)234,aaa因因线

34、性无关线性无关, 由定理由定理23,aa线性无关线性无关,又又123,a aa线性相关线性相关, 由定理由定理23,aa1a能由能由 线性表示线性表示.所以所以2)设设4a能由能由 线性表示线性表示.123,a aa由由(1)4a能由能由 线性表示线性表示.23,aa234,aaa线性无关矛盾线性无关矛盾.与与证明证明:1)23,aa1a能由能由 线性表示线性表示.2)4a123,a aa不能由不能由 线性表示线性表示.分析：分析：1.部分无关、整体相关则增加部分可由无关组线性部分无关、整体相关则增加部分可由无关组线性表示，表示，2.否定命题多用反证，若能线性表示推出矛盾即可否定命题多用反证，

35、若能线性表示推出矛盾即可第八讲：向量组的线性表示与线性相关性第八讲：向量组的线性表示与线性相关性例例4.设向量组设向量组 线性相关线性相关,向量组向量组 线性无关线性无关,123,a aa234,aaa线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性28第八讲：向量组的线性表示与线性相关性第八讲：向量组的线性表示与线性相关性与假设相关矛盾与假设相关矛盾线性无关，线性无关，则，则，若若, 0,021211 mmm 不全为零，不全为零，其中其中线性表示线性表示可由向量组可由向量组，则，则若若mmmmmmmxxxxxxal,)(102122111112211121 矛盾，故结论成

36、立。矛盾，故结论成立。线性表示，与题设条件线性表示，与题设条件能由向量组能由向量组即即alxlxlxmmmmmmm212122111112)()()(1 0)(0,1,:. 52112211, 121212121212121 lllmaaammmmmmm使得使得，的的为为线性相关，则存在不全线性相关，则存在不全，证：假设证：假设必线性无关。必线性无关。，个向量个向量线性表示。证明：线性表示。证明：不能由向量组不能由向量组而向量而向量线性表示，线性表示，可由向量组可由向量组线性无关，向量线性无关，向量设向量组设向量组线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性29 不等价。不等价。与与为何值时，向量组为何值时，向量组等价，当等价，当与与组组为何值时，向量为何值时，向量试问，当试问，当向量组向量组分）设有向量组分）设有向量