高中数学第二章平面向量2.2.2向量减法运算及其几何意义导学案新人教A版必修4

1、人教版高中数学必修精品教学资料2.2.2向量减法运算及其几何意义学习目标1.理解相反向量的含义,向量减法的意义及减法法则.2.掌握向量减法的几何意义.3.能熟练地进行向量的加、减运算.知识点一相反向量思考实数a的相反数为a,向量a与a的关系应叫做什么？答案 相反向量.梳理(1)定义：如果两个向量长度相等,而方向相反, 那么称这两个向量是相反向量.(2)性质：对于相反向量有：a(a)0.若a,b互为相反向量,则ab,ab0.零向量的相反向量仍是零向量.知识点二向量的减法思考根据向量减法的定义,已知a,b如图,如何作出向量a,b的差向量ab?答案(1)利用平行四边形法则.如图,在平面内任取一点o,

2、作a,b,b,以,为邻边作平行四边形oaec,则ab.(2)利用三角形法则.如图,在平面内任取一点o,作a,b,则ab.知识点三|a|b|,|a±b|,|a|b|三者的关系思考在三角形中有两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,结合这一性质及向量加、减法的几何意义,|a|b|,|a±b|,|a|b|三者关系是怎样的？答案它们之间的关系为|a|b|a±b|a|b|.梳理当向量a,b不共线时,作a,b,则ab,如图(1),根据三角形的三边关系,则有|a|b|<|ab|<|a|b|.当a与b共线且同向或a,b中至少有一个为零向量时,作法同上,如图(2),此时

3、|ab|a|b|.当a与b共线且反向或a,b中至少有一个为零向量时,不妨设|a|>|b|,作法同上,如图(3),此时|ab|a|b|.故对于任意向量a,b,总有|a|b|ab|a|b|.因为|ab|a(b)|,所以|a|b|ab|a|b|,即|a|b|ab|a|b|.将两式结合起来即为|a|b|a±b|a|b|.类型一向量减法的几何作图例1如图,已知向量a,b,c不共线,求作向量abc. 解方法一如图,在平面内任取一点o,作a,b,则ab,再作c,则abc.方法二如图,在平面内任取一点o,作a,b,则ab,再作c,连接oc,则abc.引申探究若本例条件不变,则abc如何作？解如

4、图,在平面内任取一点o,作a,b,则ab.再作c,则abc. 反思与感悟求作两个向量的差向量时,当两个向量有共同始点,直接连接两个向量的终点,并指向被减向量,就得到两个向量的差向量；若两个向量的始点不重合,先通过平移使它们的始点重合,再作出差向量.跟踪训练1如图所示,已知向量a,b,c,d,求作向量ab,cd. 解如图所示,在平面内任取一点o,作a,b,c,d.则ab,cd.类型二向量减法法则的应用例2化简下列式子：(1)；(2)()().解(1)原式0.(2)原式()()0.反思与感悟向量减法的三角形法则的内容是：两向量相减,表示两向量起点的字母必须相同,这样两向量的差向量以减向量的终点字母

5、为起点,以被减向量的终点的字母为终点.跟踪训练2化简：(1)()()；(2)()().解(1)()().(2)()()()0.类型三向量减法几何意义的应用例3已知|6,|9,求|的取值范围.解|,且|9,|6,3|15.当与同向时,|3；当与反向时,|15.|的取值范围为3,15.反思与感悟(1)如图所示,平行四边形abcd中,若a,b,则ab,ab. (2)在公式|a|b|ab|a|b|中,当a与b方向相反且|a|b|时,|a|b|ab|；当a与b方向相同时,|ab|a|b|.(3)在公式|a|b|ab|a|b|中,当a与b方向相同,且|a|b|时,|a|b|ab|；当a与b方向相反时,|a

6、b|a|b|.跟踪训练3在四边形abcd中,设a,b,且ab,|ab|ab|,则四边形abcd的形状是()a.梯形 b.矩形 c.菱形 d.正方形答案b解析ab,四边形abcd为平行四边形,又ab,|ab|ab|,|.四边形abcd为矩形.1.如图所示,在abcd中,a,b,则用a,b表示向量和分别是() a.ab和abb.ab和bac.ab和bad.ba和ba答案b解析由向量的加法、减法法则,得ab,ba.故选b.2.化简的结果等于()a. b. c. d.答案b3.若菱形abcd的边长为2,则|_.答案2解析2.4.若向量a与b满足|a|5,|b|12,则|ab|的最小值为_,|ab|的最

7、大值为_.答案717解析由|a|b|ab|a|b|,|a|b|ab|a|b|可得.5.如图,在五边形abcde中,若四边形acde是平行四边形,且a,b,c,试用a,b,c表示向量,及.解四边形acde是平行四边形,c,ba,ca,cb,bac.1.向量减法的实质是向量加法的逆运算.利用相反向量的定义,就可以把减法转化为加法.即减去一个向量等于加上这个向量的相反向量.如aba(b).2.在用三角形法则作向量减法时,要注意“差向量连接两向量的终点,箭头指向被减向量”.解题时要结合图形,准确判断,防止混淆.3.以平行四边形abcd的两邻边ab、ad分别表示向量a,b,则两条对角线表示的向量为ab,

8、ba,ab,这一结论在以后应用非常广泛,应该加强理解并掌握.课时作业一、选择题1.化简所得的结果是()a. b.c.0 d.答案c解析0.2.已知一点o到abcd的3个顶点a,b,c的向量分别是a,b,c,则向量等于()a.abc b.abcc.abc d.abc答案b解析如图所示,abc.故选b. 3.在平行四边形abcd中,下列结论错误的是()a.0 b.c. d.0答案c解析,0,a正确；,b正确；,c错误；,0,d正确.4.如图,d,e,f分别是abc的边ab,bc,ca的中点,则() a.0b.0c.0d.0答案a解析()0.5.在边长为1的正三角形abc中,|的值为()a.1 b.

9、2c. d.答案d解析如图,作菱形abcd,则|.6.若|5,|8,则|的取值范围是()a.3,8 b.(3,8)c.3,13 d.(3,13)答案c解析|且|a|,3|13,3|13.7.如图,在四边形abcd中,设a,b,c,则等于() a.abcb.b(ac)c.abcd.bac答案a二、填空题8.已知a,b,若|12,|5,且aob90°,则|ab|_.答案13解析|12,|5,aob90°,|2|2|2,|13.a,b,ab,|ab|13.9.如图所示,在梯形abcd中,adbc,ac与bd交于点o,则_.答案10.若a0,b0,且|a|b|ab|,则a与ab所在

10、直线的夹角是_.答案30°解析设a,b,则ab,|a|b|ab|,|,oab是等边三角形,boa60°.又ab,且在菱形oacb中,对角线oc平分boa.a与ab所在直线的夹角为30°.三、解答题11.设点m是线段bc的中点,点a在直线bc外,且|4,|,求|.解以ab,ac为邻边作平行四边形acdb,由向量加减法的几何意义可知,|,|,又|4,m是线段bc的中点,|2.12.如图所示,已知正方形abcd的边长为1,a,b,c,试求：(1)|abc|；(2)|abc|.解(1)由已知得ab,c,延长ac到e,使|.则abc,且|2.|abc|2.(2)作,连接cf,则,而aab,abc且|2.|abc|2.13.已知向量a、b满足|a|1,|b|2,|ab|2,求|ab|的值.解在平面内任取一点a,作a,b,则ab,ab.由题意知,|2,|1.如图所示,过点b作bead于点e,过c作cfab交直线ab的延长线于点f. abbd2,aeedad.在abe中,cos eab.在cbf中,cbfeab,cos cbf,bfb