中考数学 第11章 解答题 第52节 解答题 难题突破三几何变换题—折叠与旋转复习课件

1、第第52节节 解答题难解答题难题突破三题突破三（几何变（几何变换题换题折叠与旋折叠与旋转）转）第十一章第十一章 解答题解答题广东考点1. （2012广东，21，9分）如图，在矩形纸片abcd中，ab=6，bc=8把bcd沿对角线bd折叠，使点c落在c处，bc交ad于点g；e、f分别是cd和bd上的点，线段ef交ad于点h，把fde沿ef折叠，使点d落在d处，点d恰好与点a重合（1）求证：abg cdg；（2）求tanabg的值；（3）求ef的长 【考点】【考点】翻折变换（折叠问题）翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性全等三角形的判定与性质质；矩形的性质矩形的性质；解直角三角形解直角三角形

2、【专题】【专题】压轴题；探究型压轴题；探究型【分析】【分析】（1）根据翻折变换的性质可知）根据翻折变换的性质可知c=bag=90，cd=ab=cd，agb=dgc，故可得出结论；，故可得出结论；（2）由（）由（1）可知）可知gd=gb，故，故ag+gb=ad，设，设ag=x，则，则gb=8-x，在，在rtabg中利用勾股定理即可求出中利用勾股定理即可求出ag的长，进的长，进而得出而得出tanabg的值；的值；（3）由）由aef是是def翻折而成可知翻折而成可知ef垂直平分垂直平分ad，故，故hd= ad=4，再根据，再根据tanabg即可得出即可得出eh的长，同理可得的长，同理可得hf是是ab

3、d的中位线，故可得出的中位线，故可得出hf的长，由的长，由ef=eh+hf即即可得出结论可得出结论【解答】【解答】（1）证明：）证明：bdc由由bdc翻折而成，翻折而成，c=bag=90，cd=ab=cd，agb=dgc，abg=ade，在在abg与与cdg中，中，abg cdg（asa）；）；（2）解：）解：由（由（1）可知）可知abg cdg，gd=gb，ag+gb=ad，设设ag=x，则，则gb=8-x，在在rtabg中，中，ab2+ag2=bg2，即即62+x2=（8-x）2，解得，解得x= ，tanabg=（3）解：）解：aef是是def翻折而成，翻折而成，ef垂直平分垂直平分ad，

4、hd= ad=4，tanabg=tanade= ，eh=hd =4 = ，ef垂直平分垂直平分ad，abad，hf是是abd的中位线，的中位线，hf= ab= 6=3，ef=eh+hf= +3 = 【点评】【点评】本题考查的是翻折变换、全等三角形的判定与性本题考查的是翻折变换、全等三角形的判定与性质、矩形的性质及解直角三角形，熟知折叠是一种对称变质、矩形的性质及解直角三角形，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键2. （2011广

5、东，21，9分）如图，abc与efd为等腰直角三角形，ac与de重合，ab=ac=ef=9，bac=def=90，固定abc，将def绕点a顺时针旋转，当df边与ab边重合时，旋转中止现不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设de，df（或它们的延长线）分别交bc（或它们的延长线）所在的直线于g，h点，如图（1）问：始终与agc相似的三角形有 及 ；（2）设cg=x，bh=y，求y关于x的函数关系式（只要求根据图（2）的情形说明理由）；（3）问：当x为何值时，agh是等腰三角形 【分析】【分析】（1）根据）根据abc与与efd为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，ac与与de重合，利用相似三角形的判

6、定定理即可得出结论重合，利用相似三角形的判定定理即可得出结论（2）由）由agchab，利用其对应边成比例列出关于，利用其对应边成比例列出关于x、y的关的关系式：系式：9：y=x：9即可即可（3）此题要采用分类讨论的思想，当）此题要采用分类讨论的思想，当cg bc时，当时，当cg= bc时，当时，当cg bc时分别得出即可时分别得出即可【解答】【解答】解：（解：（1）abc与与efd为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，ac与与de重合，重合，h+hac=45，hac+cag=45，h=cag，acg=b=45，agchab，同理可得出：始终与同理可得出：始终与agc相似的三角形有相似的三角形有h

7、ab和和hga；故答案为：；故答案为：hab和和hga （2）agchab，ac：hb=gc：ab，即，即9：y=x：9，y= ，ab=ac=9，bac=90，bc=答：答：y关于关于x的函数关系式为的函数关系式为y= （0 x ） 1.（2016江西模拟）如图，在矩形纸片abcd中，ab=4，ad=12，将矩形纸片折叠，使点c落在ad边上的点m处，折痕为pe，此时pd=3（1）求mp的值；（2）在ab边上有一个动点f，且不与点a，b重合当af等于多少时，mef的周长最小？（3）若点g，q是ab边上的两个动点，且不与点a，b重合，gq=2当四边形meqg的周长最小时，求最小周长值（计算结果保留

8、根号）强化训练分析：分析：（1）根据折叠的性质和矩形性质以得）根据折叠的性质和矩形性质以得pd=ph=3，cd=mh=4，h=d=90，然后利用勾股定理可计算出，然后利用勾股定理可计算出mp=5；（；（2）如图）如图1，作点，作点m关于关于ab的对称点的对称点m，连接，连接me交交ab于点于点f，利用两点之间线段最短可得点，利用两点之间线段最短可得点f即为所求，过点即为所求，过点e作作enad，垂足为，垂足为n，则，则am=admppd=4，所以，所以am=am=4，再证明，再证明me=mp=5，接着利用勾股定理计算出，接着利用勾股定理计算出mn=3，所以，所以nm=11，然后证明，然后证明a

9、fmnem，则可利用，则可利用相似比计算出相似比计算出af；（；（3）如图）如图2，由（，由（2）知点）知点m是点是点m关于关于ab的对称点，在的对称点，在en上截取上截取er=2，连接，连接mr交交ab于点于点g，再，再过点过点e作作eqrg，交，交ab于点于点q，易得，易得qe=gr，而，而gm=gm，于是于是mg+qe=mr，利用两点之间线段最短可得此时，利用两点之间线段最短可得此时mg+eq最小，于是四边形最小，于是四边形meqg的周长最小，在的周长最小，在rtmrn中，利用中，利用勾股定理计算出勾股定理计算出mr=5 ，易得四边形，易得四边形meqg的最小周长值的最小周长值是是7+5

10、 解答：解答：解：（解：（1）四边形四边形abcd为矩形，为矩形，cd=ab=4，d=90，矩形矩形abcd折叠，使点折叠，使点c落在落在ad边上的点边上的点m处，处，折痕为折痕为pe，pd=ph=3，cd=mh=4，h=d=90，mp= =5；（2）如图，作点）如图，作点m关于关于ab的对称点的对称点m，连接，连接me交交ab于于点点f，则点，则点f即为所求，过点即为所求，过点e作作enad，垂足为，垂足为n，am=admppd=1253=4，am=am=4，矩形矩形abcd折叠，使点折叠，使点c落在落在ad边上的点边上的点m处，折痕为处，折痕为pe，cep=mep，而而cep=mpe，me

11、p=mpe，me=mp=5，在在rtenm中，中，mn= = =3，nm=11，afme，afmnem，即即af= 时，时，mef的周长最小；的周长最小；（3）如图，由（）如图，由（2）知点）知点m是点是点m关于关于ab的对称点，在的对称点，在en上截取上截取er=2，连接，连接mr交交ab于点于点g，再过点，再过点e作作eqrg，交，交ab于点于点q，er=gq，ergq，四边形四边形ergq是平行四边形，是平行四边形，qe=gr，gm=gm，mg+qe=gm+gr=mr，此时，此时mg+eq最小，四边形最小，四边形meqg的周长最小，的周长最小，在在rtmrn中，中，nr=42=2，mr=

12、 =5 ，me=5，gq=2，四边形四边形meqg的最小周长值是的最小周长值是7+5 2.在平面直角坐标系中，o为原点，点b在x轴的正半轴上，d（0，8），将矩形obcd折叠，使得顶点b落在cd边上的p点处（i）如图，已知折痕与边bc交于点a，若od=2cp，求点a的坐标（）若图中的点 p 恰好是cd边的中点，求aob的度数（）如图，在（i）的条件下，擦去折痕ao，线段ap，连接bp，动点m在线段op上（点m与p，o不重合），动点n在线段ob的延长线上，且bn=pm，连接mn交pb于点f，作mebp于点e，试问当点m，n在移动过程中，线段ef的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线

13、段ef的长度（直接写出结果即可）分析：分析：（1）设）设ob=op=dc=x，则，则dp=x4，在，在rtodp中，根据中，根据od2+dp2=op2，解得：，解得：x=10，然后根，然后根据据odppca得到得到ac= =3，从而得到，从而得到ab=5，表，表示出点示出点a（10，5）；）；（2）根据点）根据点p恰好是恰好是cd边的中点设边的中点设dp=pc=y，则，则dc=ob=op=2y，在，在rtodp中，根据中，根据od2+dp2=op2，解得：解得：y= ，然后利用，然后利用odppca得到得到ac= = ，从而利用，从而利用tanaob= 得到得到aob=30；（3）作）作mqa

14、n，交，交pb于点于点q，求出，求出mp=mq，bn=qm，得出得出mp=mq，根据，根据mepq，得出，得出eq= pq，根据，根据qmf=bnf，证出，证出mfq nfb，得出，得出qf= qb，再求出再求出ef= pb，由（，由（1）中的结论求出）中的结论求出pb，最后代入，最后代入ef= pb即可得出线段即可得出线段ef的长度不变的长度不变解答：解答：解：（解：（1）d（0，8），），od=bc=8，od=2cp，cp=4，设设ob=op=dc=x，则则dp=x4，在在rtodp中，中，od2+dp2=op2，即即82+（x4）2=x2，解得：解得：x=10，opa=b=90，odpp

15、ca，od：pc=dp：ca，8：4=（x4）：）：ac，则，则ac= =3，ab=5，点点a（10，5）；）；（2）点点 p 恰好是恰好是cd边的中点，边的中点，设设dp=pc=y，则则dc=ob=op=2y，在在rtodp中，中，od2+dp2=op2，即即82+y2=（2y）2，解得，解得y= ，opa=b=90，odppca，od：pc=dp：ca，8：y= y：ac，则则ac= = ，ab=8 = ，ob=2y= ，tanaob= = = ，aob=30；（3）如图，作）如图，作mqan，交，交pb于点于点q.ap=ab，mqan，apb=abp=mqpmp=mq，bn=pm，bn=

16、qmmp=mq，mepq，eq= pqmqan，qmf=bnf，在在mfq和和nfb中，中， mfq nfb（aas）qf= qb，ef=eq+qf= pq+ qb= pb，由（由（）中的结论可得：）中的结论可得：pc=4，bc=8，c=90，pb= =4 ，ef= pb=2 ，在（在（1）的条件下，当点）的条件下，当点m、n在移动过程中，在移动过程中，线段线段ef的长度不变，它的长度为的长度不变，它的长度为2 3.（2015梅州）在rtabc中，a=90，ac=ab=4，d，e分别是ab，ac的中点若等腰rtade绕点a逆时针旋转，得到等腰rtad1e1，设旋转角为（0180），记直线bd1

17、与ce1的交点为p（1）如图1，当=90时，线段bd1的长等于 ，线段ce1的长等于 ；（直接填写结果）（2）如图2，当=135时，求证：bd1=ce1，且bd1ce1；（3）设bc的中点为m，则线段pm的长为 ；点p到ab所在直线的距离的最大值为 （直接填写结果） 分析：分析：（1）利用等腰直角三角形的性质结合勾股）利用等腰直角三角形的性质结合勾股定理分别得出定理分别得出bd1的长和的长和ce1的长；（的长；（2）根据旋）根据旋转的性质得出，转的性质得出，d1ab=e1ac=135，进而求，进而求出出d1ab e1ac（sas），即可得出答案；），即可得出答案；（3）直接利用直角三角形的性质

18、得出直接利用直角三角形的性质得出pm= bc得出答案即可；得出答案即可；首先作首先作pgab，交，交ab所在直线于点所在直线于点g，则，则d1，e1在以在以a为圆心，为圆心，ad为半径的圆上，当为半径的圆上，当bd1所在所在直线与直线与 a相切时，直线相切时，直线bd1与与ce1的交点的交点p到直线到直线ab的距离最大，的距离最大，此时四边形此时四边形ad1pe1是正方形，进而求出是正方形，进而求出pg的长的长解答：解答：解：（解：（1）a=90，ac=ab=4，d，e分别是边分别是边ab，ac的中点，的中点，ae=ad=2，等腰等腰rtade绕点绕点a逆时针旋转，得到等腰逆时针旋转，得到等腰

19、rtad1e1，设旋转角为，设旋转角为（0180），），当当=90时，时，ae1=2，e1ae=90，bd1= =2 ，e1c= =2 ；故答案为：故答案为：2 ，2 ；（2）证明：当）证明：当=135时，如图时，如图2，rtad1e是由是由rtade绕点绕点a逆时针旋转逆时针旋转135得到，得到，ad1=ae1，d1ab=e1ac=135，在在d1ab和和e1ac中中, d1ab e1ac（sas），），bd1=ce1，且，且d1ba=e1ca，记直线记直线bd1与与ac交于点交于点f，bfa=cfp，cpf=fab=90，bd1ce1；（3）解：）解：如图如图2，cpb=cab=90，bc

20、的中点为的中点为m，pm= bc，pm= =2 ，故答案为：故答案为：2 ；如图如图3，作，作pgab，交，交ab所在直线于点所在直线于点g，d1，e1在以在以a为圆心，为圆心，ad为半径的圆上，为半径的圆上，当当bd1所在直线与所在直线与 a相切时，直线相切时，直线bd1与与ce1的的交点交点p到直线到直线ab的距离最大，的距离最大，此时四边形此时四边形ad1pe1是正方形，是正方形，pd1=2，则，则bd1= =2 ，故故abp=30，则则pb=2+2 ，故点故点p到到ab所在直线的距离的最大值为：所在直线的距离的最大值为：pg=1+ 故答案为：故答案为：1+ 4（2016宿迁）已知abc

21、是等腰直角三角形，ac=bc=2，d是边ab上一动点（a、b两点除外），将cad绕点c按逆时针方向旋转角得到cef，其中点e是点a的对应点，点f是点d的对应点（1）如图1，当=90时，g是边ab上一点，且bg=ad，连接gf求证：gfac；（2）如图2，当90180时，ae与df相交于点m当点m与点c，d不重合时，连接cm，求cmd的度数；设d为边ab的中点，当从90变化到180时，求点m运动的路径长【考点】几何变换综合题【分析】（1）欲证明gfac，只要证明a=fgb即可解决问题（2）先证明a、d、m、c四点共圆，得到cmf=cad=45，即可解决问题利用的结论可知，点m在以ac为直径的 o

22、上，运动路径是弧cd，利用弧长公式即可解决问题【解答】解：（1）ca=cb，acb=90，a=abc=45，cef是由cad旋转逆时针得到，=90，cb与ce重合，cbe=a=45，abf=abc+cbf=90.bg=ad=bf，bgf=bfg=45，a=bgf=45，gfac（2）ca=ce，cd=cf，cae=cea，cdf=cfd，acd=ecf，ace=cdf，2cae+ace=180，2cdf+dcf=180，cae=cdf，a、d、m、c四点共圆，cmf=cad=45，cmd=180cmf=135如图，o是ac中点，连接od，cmad=db，ca=cb，cdab，adc=90.由可

23、知a，d，m，c四点共圆，当从90变化到180时，点m在以ac为直径的 o上，运动路径是弧cd.oa=oc，cd=da，doac，doc=90，当从90变化到180时，点m运动的路径长为 【点评】本题考查几何变换综合题、等腰直角三角形的性质、平行线的判定和性质、弧长公式、四点共圆等知识，解题的关键是发现a、d、m、c四点共圆，最后一个问题的关键，正确探究出点m的运动路径，记住弧长公式，属于中考压轴题5（2016吉林）（1）如图1，在rtabc中，abc=90，以点b为中心，把abc逆时针旋转90，得到a1bc1；再以点c为中心，把abc顺时针旋转90，得到a2b1c，连接c1b1，则c1b1与bc的位置关系为 ；（2）如图2