高考复数知识点精华总结

1、请浏览后下载，资料供参考，期待您的好评与关注!1 .复数的概念：(1)虚数单位i ;(2)复数的代数形式z=a+bi , (a, b CR)；(3)复数的实部、虚部、虚数与纯虚数。2 .复数集实数(b 0)复数 a bi (a, b R)有 理数无理数(无限不循环小数)虚数(b0)纯虚数(a非纯虚数(a0)0)3 .复数a+bi(a, b C R)由两部分组成，实数a与b分别称为复数a+bi的实部与虚部，1与i 分别是实数单位和虚数单位，当b=0时，a+bi就是实数，当bw0时，a+bi是虚数，其中a=0 且bw0时称为纯虚数。应特别注意，a=0仅是复数a+bi为纯虚数的必要条件，若 a=b=

2、O,则a+bi=0是实数。4 .复数的四则运算若两个复数 z1=a1+b1i, z2=a2+b2i,(1)加法:z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i ；(2)减法：z1-z2=(a1 -a2)+(b1 b2)i ；(3)乘法：z1 z2=(a1a2 b1b2)+(a1b2+a2b1)i ;z1 (a1a2 bb2) (a2 bl a1b2)i2(4)除法：z2a2b2;(5)四则运算的交换率、结合率；分配率都适合于复数的情况(6)特殊复数的运算：in (n为整数)的周期性运算； (1±i)2 =±2i;1 出 若=-2+ 2 i ,贝1Jco 3=1, 1 + w

3、+ CD 2=0.5 .共腕复数与复数的模(1)若 z=a+bi,则 z a bi z z 为实数,(2)复数 z=a+bi 的模|Z|= ab,且 z z6 .根据两个复数相等的定义，设a, b, c, da cz z为纯虚数(bw0).,2|z | =a2+b2.C R,两个复数 a+bi和c+di相等规定为a 0a+bi=c+di b d .由这个定义得到a+bi=0两个复数不能比较大小，只能由定义判断它们相等或不相等。4 .复数a+bi的共腕复数是a-bi,若两复数是共腕复数，则它们所表示的点关于实轴对称。 若b=0,则实数a与实数a共腕，表示点落在实轴上。5 .复数的加法、减法、乘法

4、运算与实数的运算基本上没有区别，最主要的是在运算中将 -1结合到实际运算过程中去。如(a+bi)(a bi尸 a2+b26 .复数的除法是复数乘法的逆运算将满足 (c+di)(x+yi尸a+bi(c+bi w0)的复数x+yi叫做复数a+bi除以复数c+di的商。由于两个共腕复数的积是实数，因此复数的除法可以通过将分母实化得到，即 a bi (a bi)(c di) ac bd (bc ad )i c di (c di)(c di)c2 d2.7 .复数a+bi的模的几何意义是指表示复数 a+bi的点到原点的距离。(二)典型例题讲解1 .复数的概念例1.实数m取什么数值时，复数z=m+1+(m

5、- 1)i是(1)实数？ ( 2)虚数？ ( 3)纯虚数？ (4)对应的点Z在第三象限？解：复数z=m+1+(m- 1)i中，因为mE R,所以m+1, m- 1都是实数，它们分别是z的实部和 虚部，(1) m=1时，z是实数；(2) m 1时，z是虚数；m 1 0(3)当m 1 0时，即m=- 1时，z是纯虚数； m 1 0(4)当m 1 0时，即m- 1时，z对应的点Z在第三象限。例2.已知(2x1)+i=y -(3-y)i ,其中 x, y CR,求 x, y.2x 1 y5解：根据复数相等的意义，得方程组1(3 y)，得x=2, y=4.2 2m 3m 2 ,2例4.当m为何实数时，复

6、数z= m 25+(m2+3m- 10)i ; (1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数.解：此题主要考查复数的有关概念及方程(组)的解法.2m 3m 10 0(1) z为实数，则虚部m2+3m-10=0,即 m 25 0,解得m=2m=2时，z为实数。2 m 3m 10 02(2) z 为虚数，则虚部 m2+3rm- 10w 0,即 m 25 0,2m2 3m 2 02m2 25 0m 3m 10 0解得m 2且m ±5.当m 2且m ± 5时，z为虚数.解得m=- 2 , .,.当m=- 2时，z为纯虚数.诠释：本题应抓住复数分别为实数、虚数、纯虚数时相应必须具备的条

7、件，还应特别注 意分母不为零这一要求.例 5.计算：i +i2 +i3+ +i2005.解：此题主要考查in的周期性.i + i2 + i3+ +i2005=(i+i2+i3+i4)+(i2001+i2002+ i2003 + i2004) + i2005=(i-1-i+1)+ (i -1-i+1)+ +(i -1-i+1)+i=0+ 0+ 0+i = i.或者可利用等比数列的求和公式来求解(略)诠释：本题应抓住in的周期及合理分组.例8.使不等式 m2-(m2 3m)i < (m2 4出3)i +10成立的实数 m=.解：此题主要考查复数能比较大小的条件及方程组和不等式的解法.V m2

8、-(m2-3m)i<(m2 4m3)i +10,且虚数不能比较大小，m2 10|m| 102 m3m 0m0或 m32 m4m 30,解得 m3或 m1 ,m=3.当f3时，原不等式成立.诠释：本题应抓住复数能比较大小时必须都为实数这一条件。x y例 9.已知 z=x + yi(x , y C R),且2i log2x 8 (1 log2 y)i ,求 z.解：本题主要考查复数相等的充要条件及指数方程，对数方程的解法.2x y 8 0x y 3x y.2 y i log2x 8 (1 log2 y)i . log2x 1 log2 y - xy 2x 2 x 1解得 y 1或 y 2,

9、z =2+i 或 z=1+2i .诠释：本题应抓住复数相等的充要条件这一关键，正确、熟练地解方程(指数，对数方程) 例10.已知x为纯虚数，y是实数，且2x1 + i = y(3 y)i ,求x、y的值.解：本题主要考查复数的有关概念，实数与i的运算，复数相等的充要条件，方程组的解法.&x = ti (t CR,且 t w0),则 2x1 + i =y (3y)i 可化为2ti 1 + i =y(3y)i ,即(2t+1)i -1=y-(3-y)i ,2t 1(3 y)1 y , . .y=1, t= 2 , x= 2 i.2.复数的四则运算例1.计算：2n(1 i)(D(2)2(n

10、1)(1 i) , nN+;1-3/一 二工、一(右=2 + 2 i ,3=1,计算(石布)(忑石)(痣百)2J / -3 i3 丁)()22.(3)(4)解:(.23i)( 2、5i)S=1+2i+3i2+4i3+2n(1 i)2(n 1)(1) (1 i)(1 i)=(1 i)+100i99.2 n2w (1 i)2 i n _n 1 _(行)(2i) ( 1) 2i2i n 2k 1,k N2i n 2k,k N()6=( i)6 ( i)6i6 6 ( 2)6-2.、3 2i i , 5 . 2i i(、.3 .2i)(:5 i2i)(；5 .,3i)2(、2.13i)( 2 、.5i

11、)=|i i ( .5、3i）2|（5、3i）2|（ .5"）2=8.(4) S=1+2i+3i2+4i3+ +100i99=(1+2i+3i2+4i3)+(5i4+6i5+7i6+8i7)+(97i96+98i97+99i98+100i99)=(1+2i -3-4i)+(5+6i -7-8i)+ +(97+98i -99-100i)=25( 22i)= 50 50i.例2.已知复数z满足|z -2|=2 , z+ z C R,求z. 解：设 z=x+yi, x, y C R,则4y2 x. (x 2)2+y2=4,4 4z , 4(x yi) 4x zx yi 22 x -22 (

12、yz+ z =z+ zzx y x y4y -4y 22 z+ z C R,x y =0, 又|z 2|=2,联立解得，当y=0时，x=4或x=0 （舍去x=0,因此时z=0）,综上所得z1=4 ,z2=1+ 3i ,z3=1 3 i.例3.设z为虚数，求证：z+z为实数的充要条件是|z|=1.证明：设 z=a+bi (a, b R, bw0),于是11; az+ z =(a+bi)+ a bi1所以 bw0, (z+ z) C Ra bibi 2a b(ab2 I 2b- a b =022 )a ba2+b2=1|z|=1.z 1例4.复数z满足(z+1)( z +1)=| 2 |2 ,且z

13、 1为纯虚数，求 乙解：设 z=x+yi (x, y CR),则1(z+1)( z +1)=| z |2+z+ z +1=| z |2 , z+ z +1=0, z+z = 1, x= - 2 . 222z 1 (z1)(z1)| z| z z1 x y x yix yi 1z/ 、，772772z 1 =(z 1)(z 1) |z 1|=|z 1|为纯虚数，.31 吏13x2+y2 1=0, y= ± 2 , . z= 2 + 2 i 或 z= 2 2 i.例 5.复数 z 满足(1+2i)z+(3 10i) z =4 34i ,求乙解：设 z=x+yi (x, y R),贝U (

14、1+2i)(x+yi)+(3 10i)(x yi) =4 34i ,整理得(4x 12y) (8x+2y)i=4 34i.4x 12y 4 x 4.8x 2y 34,解彳3 y 1, . z=4+i.1例6.设z是虚数，=z+z是实数，且1<3<2,1 z(1)求|z|的值及z的实部的取值范围；(2)设u=1 z ,求证u为纯虚数;(3)求u2的最小值。解：(1)设 z=a+bi (a, b R, b w0),贝U(a 3 =b 、:22 )ia b ，由于是实数且bw0,a2+b2=1,1即 |z|二1由 = =2a,z 1 a1< Cl) <2,bi1 a2z b2的实部a的的取值范围是(一2 , 1).2bi(2)二 uu= 1 z =1 a bi是纯虚数。b2(122a) b2bia 1,由于1aC( 2,1), b "(3)u2=2a+02(a1)a)21a 12a