高三数学一轮复习精品导学案：第八章平面解析几何83圆锥曲线汇总

1、201 1 年高三数学一轮复习精品导学案：第八章平面解析几何 83圆锥曲线精品资料2011年高三数学一轮复习精品导学案：第八章解析几何8.3圆锥曲线【高考目标定位】一、曲线与方程1 .考纲点击了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系。2 .热点提示(1)本节重点考查曲线与方程的关系，考查曲线方程的探求方法；(2)本部分在高考试题中主要以解答题的形式出现，属中高档题目。二、椭圆1 .考纲点击(1)掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质；(2) 了解圆锥曲线的简单应用。2.热点提示(1)椭圆的定义、标准方程和几何性质是高考重点考查的内容；直线和椭 圆的位置关系是高考考查的热点。(2)各种题型都有

2、涉及，作为选择题、填空题属中低档题，作为解答题则 属于中高档题目。三、双曲线1 .考纲点击(1) 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的简单几何性 质。(2) 了解圆锥曲线的简单应用。2 .热点提示(1)双曲线的定义、标准方程和离心率、渐近线等知识是高考考查的重 点；直线与双曲线的位置关系有时也考查，但不作为重点。(2)主要以选择、填空题的形式考查，属于中低档题。四、抛物线1 .考纲点击(1)掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质。(2) 了解圆锥曲线的简单应用。2.热点提示(1)抛物线的定义、标准方程及性质是高考考查的重点，直线与抛物线的 位置关系是考查的热点。(2)考题

3、以选择、填空题为主，多为中低档题。【考纲知识梳理】一、曲线与方程1. 一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线 C上的点与一个二元方程 f(x,y)=0的实数解建立了如下关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解。(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。那么这个方程叫做曲线 的方程，这条曲线叫做方程的曲线。注：如果中满足第(2)个条件，会出现什么情况？(若只满足“以这个方 程的解为坐标的点都是曲线上的点”)，则这个方程可能只是部分曲线的方程， 而非整个曲线的方程，如分段函数的解析式。2.求动点的轨迹方程的一般步骤(1)建系一一建立适当的坐标系.(2)设点一一设轨迹上的任一点P(x,y).(

4、3)列式一一列出动点P所满足的关系式.(4)代换一一依条件的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为 x,y的 方程式，并化简。(5)证明一一证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程.注：求轨迹和轨迹方程有什么不同？(求轨迹和轨迹方程的不同：后者只指方 程(包括范围)，而前者包含方程及所求轨迹的形状、位置、大小等。二、椭圆1.对椭圆定义的理解：平面内动点P到两个定点Fi , F2的距离的和等于 常数2a,当2a>| Fi F?|时，动点P的轨迹是椭圆；当2a=| Fi F2I时，轨迹为线 段Fi F2;当2a<| Fi F2I时，轨迹不存在。2.椭圆的标准方程和几何性质性质范围_ -

5、一A 二二0一底13电g二公力一 .三;口 对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点Ai t atC)»A?a#IB1 (pf R 3Al (Ct a) tA? C&.q)Bi (S0)轴长轴短轴Ai .|Bi Bh的长为2a的长为2b焦距1 Fi F2 |=2c离心率Qa,b,c 的关系c = a - b注：椭圆的离心率的大小与椭圆的扁平程度的关系（离心率越接近1,椭圆越扁，离心率越接近0,椭圆就越接近于圆）3 .点与椭圆的位置关系条+看=10点（血,加）在椭圆上,4 + 4>1 C点（工少 ）在椭圆外. a &*点（重；，8）在椭圆

6、内.a «三、双曲线1.双曲线的定义（1）平面内动点的轨迹是双曲线必须满足两个条件：与两个定点Fi, F2的距离的差的绝对值等于常数2a. 2iVlEF/。(2)上述双曲线的焦点是Fi, F2,焦距是| Fi F2I注：当2a=| Fi F2I时，动点的轨迹是两条射线；当 2a> | Fi F2I时，动点的轨迹不存在；当2a=0时，动点的轨迹是线段F1F2的中垂线2.双曲线的标准方程和几何性质标准方程aqF帘= l(d>0T6>0)X-r = l(A>OrE>O)图yVLPlr *jf ,/形A Mi 0/ %-/1jr范围x> a或 x0-ay&

7、lt; -a或y>a性对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点顶点坐标：顶点坐标：Ai (-(i*0) .A (a.O)A1 Co, Q1), A (0 ,a)渐近线y=土 工 a口 产土产离心率e<eCQt + s八其中C=VA + 8?质线段4 A2叫做双曲线的实釉，它的长 Ai%=2a；线实虚轴JBi凡段叫做双曲线的虚轴,它的长Bi队2b； a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长。a,b,c的关系c = ci + 6 (c><X.->0,c>&>0)注：离心率越大，双曲线的“开口”越大。3.等轴双曲线仅供

8、学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢5精品资料实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程为3 一六MX#。），离心率区,渐近线方程为产士工四、抛物线1 .抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l （l不经过点F）距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线。注：当定点F在定直线l时，动点的轨迹是过点F与直线l垂直的直线。2.抛物线的标准方程和几何性质标准方程2-，一、y 2 Px(p o)y2 2px(p0)2-x2py(p 0)2-，一、x 2py(p 0)图_2-tl j*yJLV,JJo”形1()J卜71IXy0X性质对 称轴x轴x轴y轴y轴隹

9、 八、占 八、坐标F(-p,0)2F( f0)f（oU）F（）准 线 方 程x卫2x_p2y史2y山2隹 八、半径|pF| xo'严 |x01严1y0 -f|PF| y0-p范围x 0x 0y 0y 0顶占 八、O(0,0)O(0,0)离心率ee 1e 1【热点难点精析】一、曲线与方程（一）用直接法求轨迹方程相关链接1 .如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确， 易于表述成含x、y的等式，得到轨迹方程，这种方法称之为直接法。用直接 法求动点轨迹的方程一般有建系设点、列式、代换、化简、证明五个步骤，但 最后的证明可以省略。2 .用直接法求轨迹方程是近年来高考常考的题

10、型，有时题目以向量为背 景，解题中需注意向量的坐标化运算。有时需分类讨论。X例题解析派K例R如图所示，设动直线l垂直于x轴，且与椭圆x2 2y2 4交于A、B-ifc- 一两点，P是1上满足PA，PB=1的点，求点P的轨迹方程。思路解析：设P点坐标为（x,y）求出A、B两点坐标代入PA FB = 1求p点轨迹标明x的范围。解答：设P点的坐标为（x,y），则由方程x2 2y2 4,得2y2 4 x2 , yJ4 x , A B两点的坐标分别为 （x,2x），（x, J ?x），又P晨旌乜-0尸 y）|（0，亨 y） i,即 222y2 1, 1,又直线l与椭圆交于两点，-2<x<2,

11、 .点P的轨迹 26322方程为土 上1, （-2<x<2）63（二）用定义法求轨迹方程相关链接1 .运用解析几何中一些常用定义（例如圆锥曲线的定义），可从曲线定义 出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程。2 .用定义法求轨迹方程的关键是紧扣解析几何中有关曲线的定义，灵活应 用定义。同时用定义法求轨迹方程也是近几年来高考的热点之一。X例题解析派B0如图所示,一动圆与圆x2 y2 6x 5 0外切，同时与圆x2 y2 6x 91 0内切，求动圆圆心M的轨迹方程，并说明它是什么样的轴线。思路解析：利用两圆的位置关系一相切这一性质得到动圆圆心与已知两圆圆心间的

12、关系，再从关系分析满足何种关系的定义。解答：方法一设动圆圆心为M (x,y),半径为R,设已知圆的加以分别为 Q、O2,将圆的方程分别配方得：+ M=4,(七一+4=100 ,当动圆与圆Q相外切时，有| OiM|=R+2当动圆与圆O2相内切时，有| OzM|=R+2将两式相加，得| Oi M|+| 02M|=12>| Oi O2I , 动圆圆心M (x,y)到点Oi (-3, 0)和O2 (3, 0)的距离和是常数12,所以点M的轨迹是焦点为点Oi(-3,0)、O2(3,0),长轴长等于12的椭圆。 . 2c=6,2a=12, . . c=3,a=6.2 一 一 一 b 36 9 272

13、2圆心轨迹方程为 工 L 1,轨迹为椭圆。36 27方法二：由方法一可得方程 “十；】)4立"一.3丫 L一12,移项再两边分别平方得： 八M 1 2 +与22两边再平方得：31*4-108 = 0整理得上 L 136 2722所以圆心轨迹方程为 1 ,轨迹为椭圆。36 27注：(1)平面向量知识融入解析几何是高考命题的一大特点，实际上平面向量的知识在这里只是表面上的现象，解析几何的实质是坐标法，就是用方程的思想研究曲线，用曲线的性质研究方程，轨迹问题正是体现这一思想的重要仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢9精品资料表现形式，我们只要能把向量所表示的关系转化为坐标的关系，这

14、类问题就不难解决了。而与解析几何有关的范围问题也是高考常考的重点。求解参数问题主要是根据条件建立含参数的函数关系式，然后确定参数的值。(2)回归定义是解圆锥曲线问题十分有效的方法，值得重视。(3)对于“是否存在型”探索性问题的求解，先假设结论存在，若推证无矛盾，则结论存在；若推证出矛盾，则结论不存在。(三)用相关点法(代入法)求轨迹方程相关链接1 .动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点P (x,y)却随另一动点Q(x , y )的运动而有规律的运动，且动点 Q的轨迹方程为给定或容易求 得，则可先将x、y表示x、y的式子，再代入Q的轨迹方程，然后整理得 P的 轨迹方程，代入法也称相关

15、点法。2 .用代入法求轨迹方程的关键是寻求关系式：x f(x, y), y g(x,y),然后代入已知曲线。而求对称曲线(轴对称、中心对称)方程实质上也是用代入 法(相关点法)解题。X例题解析派K例R已知A (-1, 0) , B (1, 4),在平面上动点 Q满足OA|OB 4,点 P是点Q关于直线y=2(x-4)的对称点，求动点P的轨迹方程。思路解析：由已知易得动点Q的轨迹方程，然后找出P点与Q点的坐标关 系，代入即可。解答：设 Q (x,y)，则 QA ( 1 x, y),QB(1 x,4 y),故由QA QB(1 x)(1 x) ( y)(4 y) 4,即 x2 (y 2)2 32所以

16、点Q的轨迹是以C (0, 2)为圆心，以3为半径的圆.点P是点Q关于直线y=2(x-4)的对称点动点P的轨迹是一个以C0J0, y0)为圆心，半径为3的圆，其中C0(x0,y(o)是点C (0, 2)关于直线y=2(x-4)的对称点，即直线y=2(x-4)过CC。的中点，且与CC。垂直，于是有y0 2 21x 0y0 22(x002 I 24)解得:x08V。 2仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢15故动点P的轨迹方程为(x 8)2 (y 2)2 9(四)用参数法求轨迹方程2K例R设椭圆方程为x2 L 1,过点M (0,1)的直线l交椭圆于点A B, O4一一 ,、 一，一 '

17、; 1 一一 11 一， 、,是坐标原点，点P酒足OP -(OA OB),点N的坐标为(-,-)，当l绕点M旅22 2转时，求：(1)动点P的轨迹方程；(2) RP的最小值与最大值。解析：(1)直线l过点M (0,1),当斜率存在时，设其斜率为k ,则l的方程为x1x2y1y22k4 k284 k2y kx 1,记A(x1,yJ、Bdy?),由题设可得点A、B的坐标(x，y)、& , y?),是方y kx 1,程组 ，v2 的解，消去y得(4 k2)x2 2kx 3 0, x2 1.4OP 1(OA OB)(七X2yi的)(上)2 )J k 4 k2''x设点P的坐标为

18、(x,y),则y消去参数k得4x2 y2 y 0当k不存在时，A、B中点为坐标原点0, 0),也满足方程,所以点P的轨迹方程为4x2 y2(2)由点P的轨迹方程知x21 21 2又 NP (x -) (y -)(x22y 0。111，即 x ,16441、21, 21、27-) 4x 3(x )，故24612NP取得最小值为1 ;NP|取得最大值为、椭圆(一)椭圆的定义以及标准方程相关链接求椭圆的标准方程主要有定义、待定系数法，有时还可根据条件用代入还是两法。用待定系数法求椭圆方程的一般步骤是：(1)作判断：根据条件判断椭圆的焦点在 x轴上，还是在y轴上,个坐标轴都有可能(2)设方程：根据上述

19、判断设方程2 x2 a222y. x y1 1(a b 0)或可 彳 1(a b 0)。bb a(3)找关系：根据已知条件，建立关于 a、B c或m> n的方程组。(4)得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求。注：当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，可设21(m 0,n 0,m n),可以避免讨论和繁杂的计算，也可以设为 nAx2By2 1(A 0,B 0且A B),这种形式在解题时更简便。K例R已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且 P到两焦点的距离分别为5、3,过P且长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程。22思路解析：设椭圆方程为 今 冬1(a b a b2

20、20)或 x" -yr 1(a b b a0) 一根据题意求a、b一得方程。解答：设所求的椭圆方程为2 x2 a2y21(a bb220)或占 b22y21(aab 0),一 2a 5由已知条件得 2(2c)23522, a324,c 2,b21222故所求方程为x y16 1221或y162 x112(二)椭圆的几何性质相关链接21.椭圆的几何性质涉及一些不等关系，例如对椭圆 5 a2y 1b2，等，在求与椭圆有关的一些量的范围,或者求这些量的最大值时，经常用到这些不等关系。2 .求解与椭圆几何性质有关的问题时要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形。当涉及到顶点、

21、焦点、准线、长轴、短轴等椭圆 的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系。3 .求椭圆离心率问题，应先将e用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于e的等式或不等式，从而求出e的值或范围。离心率e与a、b的关系:c _ aCL例题解析2 x2 a2y2 1(a b 0)的长轴、短轴端点分别为A B,从椭 b圆上一点M(在x轴上方)向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点 E,向量 与oM是共线向量。(1)求椭圆的离心率e；(2)设Q是椭圆上任意一点，'、F2分别是左、右焦点，求/ F1QF2的取值范围。思路解析：由点与OM是共线向量可知AB/ OM从而可得关于a、

22、b、c的等量关系，从而求得离心率e；若求/ F1QF2的取值范围，即需求cos/F1QF2的范围，用余弦定理即可。解答:(D 设 Fi (-G0 )，则Xmb2c, Ym 一 akOMb2ac-OM与AB是共线向量,b2acab, b c故 e a2(2)设| FiQ|=i, | F2Q|=2, / Fi Q F2 =r1 +r2 =2a ,I F1 F21=2 c ,精品资料cos22,2r1口 4c2.2(r1 r2)2 2r1r2 4c22也2a 1r(r12r2)21 0,当且仅当ri%时,cos0,0,-.注：熟练掌握椭圆定义及性质并且其解决相应问题，在求离心率 e时，除已知等式d=

23、r+ 一外，还需一个关于a、B c的等式，即可求得e(三)直线与椭圆的位置关系相关链接1 .直线与椭圆位置关系的判定2 2把椭圆方程与-yy 1(a b 0)与直线方程y=kx+b联立消去y,整理成形 a b如Am + Ih - C=°的形式，对此一元二次方程有：(1) / >0,直线与椭圆相交，有两个公共点；(2)，=0,直线与椭圆相切，有一个公共点；(3)，<0,直线与椭圆相离，无公共点。2.直线被椭圆截得的张长公式， 设直线与椭圆交于A(X1,y)B(X2,y2)两点，则|ABf= 一 1'斯)(丁 一皎/+ F * 火工|十胃-4国办=/1+/乂了一招)!

24、'=Jl + * a+.2 - 4.金为直线斜率受注：解决直线与椭圆的位置关系问题时常利用数形结合法、设而不求法、弦长公式及根与系数的关系去解决。例题解析K例O中心在原点，一个焦点为Fi (0, V50)的椭圆截直线y 3x 2 1.，一 一 、一一所得弦的中点横坐标为求椭圆的方程2思路解析：根据题意，可设椭圆的标准方程，与直线方程联立解方程组，利用韦达定理及中点坐标公式，求出中点的横坐标，再由Fi (0, 而)知，c=v,50 , aK例2R已知椭圆： y2 i ,过左焦点F作倾斜角为一的直线交椭圆96于A、B两点，求弦AB的长解答：a=3,b=i,c=2<2 ,贝U F (-

25、2 衣，0)。 b2 50 ,最后解关于a、b的方程组即可22解答：设椭圆的标准方程为 今4 1(a b 0),由Fi (0, J50)得 a ba2 b2 50把直线方程y 3x 2代入椭圆方程整理得：222_ 222(a 9b )x 12bx b (4 a ) 0。设弦的两个端点为A(xi，yi),B(x2，y2),则由根与系数的关系得：工1+ 0劭1 1xi x222b-,又AB的中点横坐标为,2 Q +952a 9b2a2 3b2 ,与方程a2 b2 50联立可解出a2 75,b2 2522故所求椭圆的方程为：土 ?一i。7525由题意知:1X2 Ol：y 国(x 2J2)与§

26、; y1联立消去y得:4x2 12V2x 15 00设A（Xi，y1）、B（X2,y2）,则x1,x2是上面方程的二实根，由违达定理,15x x23v 2 ) x 乂2 4Xmx1 x22"2又因为A、B、F都是直线l2仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢i19上的点,1 .2所以 1ABF “ 3 |x1 x2 | 73(x1 x2)2 4x1x22 .18 15 23（四）与椭圆有关的综合问题B0如图，已知椭圆C:>犷% Q以经过椭圆C的右焦点F且斜率为k（k *0）有直线l交椭圆C于A、B两点，M为线段AB中点，设。为椭圆的中心，射线OM便椭圆于N点（1）是否存在

27、k,使对任意m>0,总有。+成立？若存在,求出所有k的值;(2)OA OB =匕(m帛 + 4 m)求实数k的取值范围思路解析：第（1）问为存在性问题，可先假设存在，然后由OA + OB =可知M点为ON中点，用坐标表示相关量可求精品资料第（2）问用坐标表示向量数量积，列式求解即可。盘+应=1等-等'p e= nit * F( syi, 0) 1仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢27解答：椭圆C: 直线AB的方程为：y=k(x-m).(y= M 二一 mJf+=f(nc>0),消去y得OC肥 +6) - 20肥/加-15 加=0.设A5，¥，夙泥，),则

28、20 必 m被一15 病G 十黑=10丁 +6巧丁=一10 + 6 ，g +怨 IDfe2 m 7.、 一66斌则 = -2 -=10/十6'y-L M 4 一m" 1"+6r若存在k,使。A + °B-0'总成立，M为线段AB的中点，.,M为ON勺中占I 八、,OA+ OB=2 OMOA+OB=12jEM.2*i) = (20fc m 1。6+6'10M十6f 20 必 m 12tin. 即2点的坐标为1旗+6'10好+6120左”?1/ j 1 12大叫2 n?由N点在椭圆上，则"X(W+6) +TX(W+6) F1、

29、,20j 1 z 12km _ m;乂(记卢苒)+(贰彳)"T*5岳一2畜一3=0,= 1或丛三一多（舍去）.即5-44-钻入" I j/卡T/T-c M£OA + OB=°N 4一故存在k=±1,使对任忠m>0总有成乂。（2）CAA * OB R 四 + M *=Hj 吗 + £'（工I m）（ 丁之一m）=< 1 +£）h £ - £痴就 +能）+必府=+冷 10炉15加一工 10+62。城加上审（ 15） ffl?1所十6十咫仇一 io"6r（乒病ior+$=5 =J

30、（m3 + 4 nd£>=+5+?一2,即.“'一，注：探索性问题主要考查学生探索解题途径，解决非传统完备问题的能力，是命题者根据学科特点，将数学知识有机结合并赋予新的情境创设而成 的，要求学生自己观察、分析、创造性地运用所学知识和方法解决问题，它能 很好地考查数学思维能力以及科学的探索精神。因此越来越受到高考命题者的 青睐。（1）本题第（1）问是一是否存在性问题，实质上是探索结论的开放性问 题。相对于其他的开放性问题来说，由于这类问题的结论较少（只有存在、不 个在两个结论有时候需讨论），因此，思考途径较为单一，难度易于控制，受 到各类考试命题者的青睐。解答这一类问题，

31、往往从承认结论、变结论为条件 出发，然后通过特例归纳，或由演绎推理证明其合理性。探索过程要充分挖掘 已知条件，注意条件的完备性，不要忽略任何可能的因素。(2)第(2)问是参数范围的问题，内容涉及代数和几何的多个方面，综合考查学生应用数学知识解决问题的能力。在历年高考中占有较稳定的比重。三、双曲线(一)双曲线的定义与标准方程相关链接1 .在运用双曲线的定义时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清 是指整条双曲线，还是双曲线的哪一支。2 .求双曲线标准方程的方法(1)定义法，根据题目的条件，若满足定义，求出相应 a、b、c即可求得 方程；(2)待定系数法，其步骤是定位：确定双曲线的焦点在哪个

32、坐标轴上；设方程：根据焦点的位置设出相应的双曲线方程；定值：根据题目条件确定相关的系数。注：若不能明确双曲线的焦点在哪条坐标轴上，可设双曲线方程为：22mx ny 1(mn 0)。例题解析K例R已知动圆M与圆Ci：(x 4)2 y2 2外切，与圆C2：(x 4)2 y2 2内 切，求动圆圆心M的轨迹方程。思路解析：利用两圆心、外切圆心距与两圆半径的关系找出 M点满足的几 何条件，结合双曲线定义求解。解答：设动圆M的半径为r则由已知|MCi| r V2,| MC2 | r 行,|MCJ IMC2I 2<2 0又Ci (-4, 0) , C2 (4, 0) ,”©|=8, . 2夜

33、<| Ci C2I。根据双曲线定义知，点M的轨迹是以Ci (-4, 0)、C2 (4, 0)为焦点的 双曲线的右支。a 2, c 4, b2 c2 a2 1422点M的轨迹方程是上 上1(x 扬2 14(二)双曲线的几何性质相关链接1 .双曲线的几何性质的实质是围绕双曲线中的“六点”(两个焦点、两个顶 点、两个虚轴的端点)，“四线”(两条对称轴、两条渐近线)，“两形”(中心、 焦点以及虚轴端点构成的三角形、双曲线上一点和两焦点构成的三角形)研究 它们之间的相互联系。2 .在双曲线的几何性质中，应充分利用双曲线的渐近线方程，简化解题过 程。同时要熟练掌握以下三方面内容：(1)已知双曲线方程

34、，求它的渐近线；(2)求已知渐近线的双曲线的方程；(3)渐近线的斜率与离心率的关系。注：(1)已知渐近线方程为力“士°，则双曲线的标准方程为阱/一 二入。#0)的形式，根据其他条件确定的正负。若>0,焦点在x轴上；若 <0,焦点在y轴上。2(2)与双曲线勺 a22工1共渐近的双曲线方程为:ba2b2 ( S'22与双曲线x2y2a222 1(m 0,n 0) 一分别求a,b,m,n的值一利用椭圆与双曲线定义及余弦m n定理求得cos F1PF2。解答：(1)由已知：c <13 ,设椭圆长、短半轴长分别为 a、b,双曲线实半轴、虚半轴长分别为 m n,则b22

35、22X12y1( b2ab1共焦点的圆锥曲线方程为a2)。例题解析焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点Fi,F2,且IF1F2I 2辰,椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为 4,离心率之比为3: 7(1)求这两曲线方程；(2)若P为这两曲线的一个交点，求cos F1PF2的值。22思路解析：设椭圆方程为勺匕1(a b 0),双曲线方程为 a b解彳3a=7,m=3.b=6,n=2.2222椭圆方程为yy1,双曲线方程为工149 3694（2）不妨设Fi,F2分别为左右焦点，P是第一象限的一个交点，则|PFJ + |PF2I = 14, IFFJ-|pf/ = 6,所以|2灼|二1。，|凡|二

36、4,又IF1F2I 2痴,I PFJN-lFFi |2 -IFF.P 10°+F -(2 国p 4 cos F1PF2 =2|PE |晔|2X10X4（三）直线与双曲线的位置关系BO （1）求直线y x 1被双曲线1截得的弦长;（2）求过定点（0,1）的直线被双曲线1截得的弦中点轨迹方程解析:2X 142x 1 得 4x(x1)20 得 3x2 2x 50 (*)设方程（*）的解为x x iX1X1,X2 ,则有X22一,XX2353得,设方程（. 16k280,|k| .5X1x2且2k4 k2*254 k2x2 | . 2 (x1 x2) v /,2、 c*)的解为 X1 ,x2

37、,则 4k 20(4 k )°, 4x1x2、.2 .；- - - ；2933（2）方法一：若该直线的斜率不存在时与双曲线无交点，则设直线的方程为y kx 1,它被双曲线截得的弦为 AB对应的中点为P（x，y）,y kx 12y 1一 12、 24 得(4 k )x 2kx 5 0(*)1/、 k 1 zx 2（x1 x2） 丁=2（yi、1，、,y2） - （x1 x2） 1244 k2k4 k244 k2.22得4x y y 0（y4或y叽方法二：设弦的两个端点坐标为A（x1，y1），B（X2，y2），弦中点为P（X，y），则/224X1y14.224x2y24 得：4（X X2

38、）（X X2） （% 丫2）（必 y2）,y y2 4（X1 X2）y 4x一"422c. x1x2y1y2,即 Xy 1,即 4xyy 0 （图象的一部分）注：圆锥曲线中参数的范围及最值问题，由于其能很好地考查学生对数学 知识的迁移、组合、融会的能力，有利于提高学生综合运用所学知识分析、解 决问题的能力，所以成为高考的热点。在圆锥曲线中经常遇到求范围问题，这类问题在题目中往往没有给出不等 关系，需要我们去寻找。对于圆锥曲线的参数的取值范围问题或最值问题，解 法通常有两种：当题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义时，可考虑利 用数形结合法求解或构造参数满足的不等式（如双曲线的范围，

39、直线与圆锥曲 线相交时，0等），通过解不等式（组）求得参数的取值范围；当题目的条件 和结论能体现一种明确的函数关系时，则可先建立目标函数，进而转化为求解 函数的值域。四、抛物线（一）抛物线的定义及应用相关链接1 .抛物线的离心率e=1,体现了抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的 距离，因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可优先考虑利用抛物线的定 义转化为点到准线之间的距离，这样就可以使问题简单化。I PF| = II x +-或 I PF| = | 竽I +32 .焦半径二上 它们在解题中有重要作用，注意灵活运用。X例题解析派K例R已知抛物线C的对称轴与y轴平行，顶点到原点的距离为5。若将

40、抛物线C向上平移3个单位，则在x轴上截得的线段长为原抛物线 C在x轴上 截得的线段长的一半；若将抛物线 C向左平移1个单位，则所得抛物线过原 点，求抛物线C的方程。解答：设所求抛物线方程为(x-h)2=a(y-k)(a C R,aw 0)由的顶点到原点的距离为5,得Jh2 k2=5在中，令y=0,得x2-2hx+h2+ak=0。设方程的二根为xi,x2,则|xi-x2|=2J ak。将抛物线向上平移3个单位，得抛物线的方程为(x-h) 2=a(y-k-3)令 y=0,得 x2-2hx+h2+ak+3a=。设方程白二根为 x3,x4,则|x3-x4|=2 v ak 3a 。1 . :-依题,留得

41、 2% ak 3a = - 2v ak , 2即 4(ak+3a)=ak将抛物线向左平移1个单位，得(x-h+1) 2=a(y-k),精品资料由抛物线过原点，得(1-h) 2=-ak由得 a=1, h=3,k=-4 或 a=4, h=-3,k=-4 。所求抛物线方程为(x-3)2=y+4,或(x+3)2=4(y+4)。(二)抛物线的标准方程与几何性质相关链接1 .求抛物线的标准方程常采用待定系数法。利用题中已知条件确定抛物线的焦点到准线的距离p的值；2 .对于直线和抛物线有两个交点问题，“点差法”是常用法。如若A(xi, yi), B(x2, y2)是抛物线y2 2Px上两点，则直线AB的斜率

42、kAB与yi y2可得如下等式kAB 3一。 y yi注：抛物线的标准方程有四种类型，所以判断类型是关键，在方程类型已确定的前提下，由于标准方程中只有一个参数p,只需一个条件就可以确定一个抛物线的方程。例题解析K例R已知如图所示，抛物线y2 2px(p 0)的焦点为F, A在抛物线上，其横坐标为4,且位于x轴上方，A到抛物线准线的距离等于5。过A作AB垂直于y轴，垂足为B , OB的中点为M 。(1)求抛物线方程;(2)过M作MNLFA,垂足为N,求点N的坐标思路解析：由抛物线定义求p一求直线F A, MN的方程一解方程组得N点坐标解答：(1)抛物线y2 2Px(p 0)的准线为x R于是4+

43、2二5, 22p =2. .抛物线方程为y2=4x(2)二.点A的坐标是(4,4),由题意得B(0,4),M(0,2), 又二叶(1,0),434. kFA -. ,. MNLFA,kMN .则 FA的万程为 y (x 1),MN的万程为 y-3432= 3 x,解方程组44y o(x 1)3，得y 2 3x48 4N(5,5)(三)直线与抛物线的位置关系相关链接1 .直线与抛物线的位置关系设抛线方程为y2 2px(p 0),直线Ax+By+C=0将直线方程与抛物线方程联2立，消去x得到关于y的方程my+ny+q=0,(1)若nm0,当， 0时，直线与抛物线有两个公共点；当, =0时，直线与抛

44、物线只有一个公共点；当，0时，直线与抛物线没有公共点.(2)若m=0,直线与抛物线只有一个公共点,此时直线与抛物线的对称轴平行2 .焦点弦问题已知AB是过抛物线y2 2 px( p 0)的焦点的弦，F为抛物线的焦点,A(x i,y i),B(x 2,y 2),则2(1) y iy2=-p2, xi x2=；4(2) |AB| x2 p 2p(为直线AB的倾斜角)； sin2(3) S'. ABC ；1 2sin(4)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切。X例题解析派K例R已知抛物线方程为y2 2p(x 1)(p 0),直线l：x y m过抛物线的焦点F且被抛物线截得的弦长为3,求p的值。

45、解析：设l与抛物线交于A(xi, yi), B(x2, y2),则| AB | 3.由距离公式 1AB|= G(xiX2)2(yiy2)2=J1gHiy2|&1 yi丫21,则有(yy2)2-.k2由 x y 2 2,消去 x,彳#y2 2 py p2 0. 2y 2p(x i). 222(2p) 4p 0.3 y22p,yy2p .从而(yi y2)2 (yi y2)2 4丫队即(2p)2 4p2 9 由于 p0,解得 p 024(四)抛物线的实际应用K例R如图，l1, l 设MN所在抛物线的方程为y ax c,则有 4a c a 199a c ,解得 c 02所求方程为y x (2

46、<x<3)5分是通过某市开发区中心0的两条南北和东西走向的道路，连接M、N两地的铁路是一段抛物线弧，它所在的抛物线关于直线L1对称.M到L1、L2的距离分别是 2 km、4km, N到L1、L2的距离分别是3km、9 kin.(1)建立适当的坐标系，求抛物线弧 MN的方程；(n)该市拟在点0的正北方向建设一座工厂，考虑到环境问题，要求厂址到点0的距离大于5km而不超过8km,并且铁路上任意一点到工厂的 距离不能小于、后km.求此厂离点0的最近距离.(注：工厂视为一 个点)解析：(1)分别以上l2为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则M (2, 4) , N (3, 9)仅供学

47、习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢31精品资料2(说明：若建系后直接射抛物线方程为x 2py(p 0),代入一个点坐标求对方程，本问扣2分)2(2)设抛物线弧上任意一点 P (x, x ) (2< x<3)2/22-厂址为点 A (0,(5<t<8) ,由题意得 1PAi %'X (x t) >6. x4 (1 2t)x2 (t2 6)>07分2 u x , /2<x<3, a 4< u <922对于任意的u 4,9,不等式u (1 2t)u (t 6)10恒成立(*)8分设 f(u) u2 (1 2t)u (t2 6),

48、5 t<891 2t 15 .22 < 2 .22要使(*)恒成立，需& 0,即(2t 1)4(t 6)<010分2525解得t> 4 , t的最小值为4所以，该厂距离点。的最近距离为6.25km12分注：对实际应用问题，首先应审清题意，找出各量之间的关系，建立数学模型，然后用数学的方法解答，并回到实际问题中验证其正确性。【感悟高考真题】1. (2010-陕西文数)9.已知抛物线y2= 2px (p>0)的准线与圆(x-3) 2+y2=16相切，则p的值为C1(A)二(B) 12(0 2(D) 4解析：本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系法一：

49、抛物线y2 = 2px (p>0)的准线方程为x E,因为抛物线y2=2px2(p>0)的准线与圆(x-3) 2+ y2=16相切，所以 3 卫 4, p 2 2法二：作图可知，抛物线y2=2px (p>0)的准线与圆(x-3) 2+ y2=16相切与点(-1,0 )所以p 1, p 222. (2010 辽宁理数)(9)设双曲线的一个焦点为F;虚轴的一个端点为B,如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为(A),2 (B) .3 (C)(D)-5-22【答案】D【命题立意】本题考查了双曲线的焦点、虚轴、渐近线、离心率，考查了两条直线垂直的条件，考查了方程

50、思想。22【解析】设双曲线方程为 勺 * 1(a 0,b 0),则F (c,0) ,B(0,b)直线 a bFB： bx+cy-bc=0与渐近线y=bx垂直，所以 4b1,即b2=ac所以c2-a2=ac,ac' a即e2-e-1=0,所以e或e(舍去)22仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢33精品资料223. （2010全国卷2文数）（12）已知椭圆C:： 1 （a>b>0）的离心率 a b为日，过右焦点Fk （k>0）的直线于C相交于A、B两点，若aF 3FB。贝 U k =(A) 1(B)婢(C)百(D) 2【解析】b： A(x1,y1), B(x2,y2), af a 2t,c 73t b t . x* 2 4y2 4t2消去 X,. (s24)y2273 styt20,o2、3stq 2 t222y22-, 3y22一-ss 4s 4解得Te 33FB, . y13y2,' 3 ,设0 ,直线AB方程为x sy 3to代入2、3stt2y1 y22, y1 y2-2s 4s 412 k .2仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢354. （2010重庆理数）（14）已知以F为焦点的抛物线y33 4x上的两点A、B满足AF 3fB,则弦AB的中点到准线