高考文科数学圆锥曲线专题复习

1、高三文科数学专题复习之圆锥曲线知识归纳:名称椭圆双曲线图象yO1X-y-O1/定义平面内到两定点 Fi ,F2的距离的和为常数（大于 F1F2 ）的动点的轨迹叫椭圆即 |MF1MF2 2a当2a > 2C时，轨迹是椭圆，当2a =2c时，轨迹是一条线段F1F2I当2a < 2c时，轨迹不存在平面内到两定点 F1,F2的距离的差的绝对值为常数（小于|FiF2）的动点的轨迹叫双曲线.即|MF1 MF2 2a当2a < 2c时，轨迹是双曲线当2a = 2c时，轨迹是两条射线当2a >2c时，轨迹不存在标准 方程22焦点在X轴上时：与 y- 1a2 b222焦点在y轴上时：y-

2、T Xr 1 a2 b2注：根据分母的大小来判断焦点在哪一 坐标轴上22焦点在X轴上时：匕 1a b22焦点在y轴上时：与二 1 a b常数a,b,c的关 系22.2.na c b , a b 0,a 最人，c b, c b, c b22.2Cc a b , c a 0c最大，可以a b, a b,a b渐近 线焦点在X轴上时： '卫 0 a b焦点在y轴上时："0 a b抛物线:图 形JOi9JII上方 程2一，jy 2px(p 0)2c,c、y2px(p 0)2一，jx 2py(p 0)2一，jx2py(p 0)隹占八、p (7,0)2(-,0) 2p (0,7)2(0,

3、92准 线xp.2x 2y iy考(一)椭圆221.椭圆的性质：由椭圆方程 二 。1(a b 0) a2b2(1)范围： a x a,-b x a,椭圆落在x a, yb组成的矩形中。(2)对称性：图象关于y轴对称。图象关于 x轴对称。图象关于原点对称。原点叫椭圆的对称中心，简称中心。x轴、y轴叫椭圆的对称轴。从椭圆的方程中直接可以看出它的范围，对称的截距。(3)顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点椭圆共有四个顶点：A ( a,0), A2(a,0) , B (0, b), B2(0,b)。加两焦点F( c,0), F2(c,0)共有六个特殊点。AA2叫椭圆的长轴， B1B2叫椭圆的短轴。长

4、分别为2a,2b。a, b分别为椭圆的长半轴长和短半轴长。椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点。(4)离心率：椭圆焦距与长轴长之比。e c e J1 (b)2。0 e 1。aa椭圆形状与e的关系：e 0,c 0,椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆为椭圆在 e 0时(0,1)内常数e,那么这的特例。e 1,c a,椭圆变扁，直至成为极限位置线段F1F2,此时也可认为是椭圆在 e 1时的特例。2 . 椭圆的第二定义：一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个 个点的轨迹叫做椭圆。其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数 e就是离心率。椭圆的第二定义与第一定义是等价的，它是椭圆两种不同的

5、定义方式3 .椭圆的准线方程2L；右准线12 ：x c22对于斗y71 ,左准线11 : xa b对于2xb21 ,下准线11 : y2a一;c上准线12 ： y2222焦点到准线的距离 p a- c a b-(焦参数) cc c(二)双曲线的几何性质：1.(1)范围、对称性22由标准方程二、1,从横的方向来看，直线x=a,x =a之间没有图象，从纵的方向来看，随着xa b的增大，y的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线。双曲线不 封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心。(2)顶点顶点：A(a,0),A2a,0 ,特殊点：B(0,b),B2 0, b实轴：AA2

6、长为2a,a叫做实半轴长。虚轴：B1B2长为2b, b叫做虚半轴长。双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异。(3)渐近线2冬 1的渐近线y b2bxyc、x( 0)aab3(版权所有 翻版必究)(4)离心率双曲线的焦距与实轴长的比空-,叫做双曲线的离心率2a a.范围：e>1双曲线形状与e的关系:Ve2 1 , e越大，即渐近线的斜率的绝对值就越大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔。由此可知，双曲线的离心率越大， 它的开口就越阔。2 .等轴双曲线定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。(2)渐近线互相垂直；(3)离心率e <2 o他x(k 0),那么此双

7、曲线方程就一定是： ka等轴双曲线的性质：(1)渐近线方程为：y x；3 .共渐近线的双曲线系如果已知一双曲线的渐近线方程为y -xa22x22x 2 y 21(k 0)或写成2 一2-。(ka)(kb)ab4 .共轲双曲线以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轲双曲线。区别：三 量a,b,c中a,b不同(互换)c相同。共用一对渐近线。双曲线和它的共轲双曲线的焦点在同一圆上。确 定双曲线的共轲双曲线的方法：将1变为一1。5 .双曲线的第二定义：到定点 F的距离与到定直线l的距离之比为常数e -(c a 0)的点的轨迹是a双曲线。其中，定点叫做双曲线的焦点，定直线

8、叫做双曲线的准线。常数e是双曲线的离心率。6 .双曲线的准线方程:22应着右准线l2 : x2a一；c2a-,相对于右焦点F2(c,0)对c焦点到准线的距离b2p (也叫焦参数)。c2X-2 1来说，相对于下焦点F1(0, c)对应着下准线11 : y b22a-;相对于上焦点F2(0,c)对 c应着上准线122aOc对于t 1来说，相对于左焦点 E( c,0)对应着左准线li：x a b(三)抛物线的几何性质(1)范围2因为p>0,由万程y 2px p 0可知，这条抛物线上的点 M的坐标(X, y)满足不等式x>0,所 以这条抛物线在y轴的右侧；当x的值增大时，|y|也增大，这说

9、明抛物线向右上方和右下方无限延伸。(2)对称性以一y代V,方程y2 2px p 0不变，所以这条抛物线关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。(3)顶点抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点.在方程y2 2px p 0中，当y=0时，x=0,因此抛物线y2 2px p 0的顶点就是坐标原点。(4)离心率抛物线上的点 M与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用 e表示。由抛物线的 定义可知，e=1o【典型例题】例1.根据下列条件，写出椭圆方程 .(1)中心在原点、以对称轴为坐标轴、离心率为1/2、长轴长为8;(2)和椭圆9x2+4y2 = 36有相同的焦点，且经过点(2,

10、 3);(3)中心在原点，焦点在 x轴上，从一个焦点看短轴两端的视角为直角，焦点到长轴上较近顶点的距离是阮一55 。a2=b2+c2及已知条件分析：求椭圆的标准方程，首先要根据焦点位置确定方程形式，其次是根据 确定a2、b2的值进而写出标准方程。解：(1)焦点位置可在x轴上，也可在y轴上21或y-162112(2)焦点位置确定，且为(0,J5 ),22y x 1 , (a>b>0),由已知条件有a b2.2a2 b252222、y x94 a 15,b10,故方程为三0 11510a2 b222(3)设椭圆方程为1, (a>b>0)a2 b2b c由题设条件有,_及a2

11、 = b2 + c2,4a c .10. 51。b= . 5,a,1022故所求椭圆的方程是 y- 1o105例2.直线y kx 1与双曲线3x2 y2 1相交于A B两点，当a为何值时，A、B在双曲线的同一支上？当a为何值时，A B分别在双曲线的两支上?解：把y kx 1代入3x2 y2 1整理得：(3 a2)x2 2ax 2 0(1)22因此有两解： x y-16127(版权所有 翻版必究)当 aJ3时，24 4a2由 >0得展 a 66且a，3时，方程组有两解，直线与双曲线有两个交点若A、B在双曲线的同一支，须 x1x2故当 6Q a33或V3 a-2->0,所以 a 。3

12、或 a M。a 3V6时，A、B两点在同一支上；当 V3a J3时，A、B两点在双曲线的两支上。例3.已知抛物线方程为y2 2p(x 1) (p>0),直线l:x y m过抛物线的焦点 F且被抛物线截得 的弦长为3,求p的值。1 .12 | y1 丫2 |2 | y1 y2 |k解：设l与抛物线交于A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB| 3.由距离公式 |AB| = v'(xi -x2)2 (y1 y2)2则有(yi y2)2 9. 2,x y 1 ,22由2,消去x,得y 2py p 0y2 2p(x i)222(2P) 4P 0.yiy22p,yy2p .从而（y1y

13、2)2(y V2Y 4y1 y2即（2p）24p2由于p>0,解得p9234例4.过点（1 , 0）的直线l与中心在原点，焦点在x轴上且离心率为的椭圆C相交于2线y=1x过线段AB的中点，同时椭圆 C上存在一点与右焦点关于直线 2程.l对称，试求直线lA、B两点，直与椭圆C的方解法一：由c e= a亚，得Jb2 a21,从而 a2=2b2,c=b.2设椭圆方程为x2+2y2=2b2,A(x1,y1),B(x2,y2) 在椭圆上. 则 x12+2y12=2b2,x22+2y22=2b2,两式相减得，(x12 x22)+2(y12 y22)=0, yy2xx22(yiy2)设 AB 中点为(

14、x0,y0),则 kAB=- -x0又(x0,y0)在直线y=1x上, 2于是-x0- = 1,kAB= 1,设l的方程为y=-x+1.右焦点（b,0）关于l的对称点设为（x'y则x by2解得x y由点（1,1b）在椭圆上，得.所求椭圆C的方程为对解法二：由e=- a设椭圆C的方程为9一 2,# 22y°y0= 1 x0,9 o 91+2(1 b)2=2b2,b2= ，a2 -16816 2 1yb22 a=1,l的方程为y= x+1.1,从而 a2=2b2,c=b.2x2+2y2=2b2,l 的方程为 y=k(x 1),将l的方程代入C的方程，得(1+2k2)x24k2则

15、 x1+x2=_,y1+y2=k(x1 1)+k(x21 2k24k2x+2k2 2b2=0,1)=k(x1+x2) 2k= 直线l : y=1x过AB的中点(x一生,奥22户则2k1 2k22k21 2k2解得k=0,或k= 1.若k=0,则l的方程为y=0,焦点F(c,0)关于直线l的对称点就是F点本身，不能在椭圆 C上，所以k=0舍 去，从而k= - 1,直线l的方程为y=- (x - 1),即y= x+1,以下同解法一.22' 1(a b 0)(1) b2直线l不平彳T于y轴，否则AB中点在x轴上与直线1y 2x过AB中点矛盾。故可设直线l的方程为y k(x1)(2)(2)代入

16、(1)消y整理得：(k2a22 2 b )x2 22. 22k a x a k2. 2 a b0 (3)设A(xi, yi)B(X2y2)知:c, 2 22k ax1x2k 2ab2又yiy2 k(xiX2)2k代入上式得:k上% x22k2k1ka2此时a2 2b22(a22 ac2)2e2直线l的方程为y方程(3)化为3x24x2b20,16 24(1b2)2、_8(3b2 1)0b三3,椭圆C的方程可写成:32_ 2_ 2x2 2y2 2b2 (4)又c222b2 b2 ,右焦点F(b,0)设点F关于直线l的对称点(xo, yo)则x0Vo1 bV。2x02x 1, Vo b又点(1,1

17、b)在椭圆上，代入(4)得：12(1 b) 2b2 ,解法3:设椭圆方程为今 a所以所求的椭圆方程为:2 x 百82 y旦16例5.如图，已知 P1OP2的面积为,P为线段P1P2的一个三等分点，求以直线 OP1、OP2为渐近线且4过点P的离心率为任的双曲线方程.解：以。为原点，/设双曲线方程为2P1OP2的角平分线为x轴建立如图所示的直角坐标系2，=1(a>0,b >0) b22由 e2=c-2 a(b)2a由3 4 2徂()，仔2.两渐近线OP1 OP2方程分别为y=- - x 2设点P1(x1,3x1),P2(x2, - 3 x2)(x1 >0,x2>0),22则

18、由点P分RP2所成的比入空=2,PP2得P点坐标为(x12x2 , x12x2 ),32又点P在双曲线2所以a2,(Xi 2x2)(Xi9a22曳2=1上21,9a产=1, 9a即(x1+2x2)2 (x1 2x2)2=9a2,整理得 8x1x2=9a29(版权所有 翻版必究)又|O川292XiXi4sinFOP22tanROx-'21 tan P1Ox43X1,|OP|22 I化d 913142 x2924x213Vx2S POP21八八-IOPiI |OP2|sin ROP213XiX241213274=1.例6.已知点B (- 10), C (1,0),P是平面上一动点，且满足|

19、PC | | BC | PB CB.(1)(2)求点P的轨迹C对应的方程；已知点A (m,2)在曲线C上，过点A作曲线C的两条弦AD和AE,且AD! AE,判断：直线 DE是否过定点？试证明你的结论(3)已知点 求证：直线A(m,2)在曲线C上，过点A作曲线C的两条弦 AD, AE,且AD, AE的斜率k1、k2满足k1 *2=2.DE过定点，并求出这个定点 .解：(1)设P(x,y)代入 IPC I IBC I PB CB 得 d(x 1)2 y2 1 x,化简得 y2 4、（2）将A（m,2）代入y24x得m 1,点A的坐标为（1,2）.11（版权所有 翻版必究）设直线AD的方程为y 2k

20、(x 1)代入 y24x,得y24ky由y12可得y242,同理可设直线AE: yd61(x41, 丁 2).k1),代入 y24x彳#E(4k21,4k2).则直线DE方程为：y4kk2(y 2) k(x 5) (y 2)4 4k&(x 4k2 1),化简得4k2 4k0,、_一k, 、 >即y 2一 (x 5),过定点(5, 2).k2 1(3)将 A(m,2)代入 y24x 得 m 1,设直线 DE的方程为 y kx b,D(x1, y1),E(x1, y1),y kx b 2 22由 °得 k2x2 2(kb 2)x b2 0,y 4xy12y2 2kAD kA

21、E2, -11_ 21_ 2(x1,x2 1),x1 1 x2 1且 y1kx1 b, y2kx2 b,22(k2)x1x2 (kb 2k 2)(x1x2) (b 2)2 0,2将x1x2z,x1x2-5-代入化简得 b2 (k 2)2, b (k 2).k2k2b (k 2).将bk2代入ykxb彳寻ykxk2k(x1)2,过定点(1, 2).将b2k代入ykxb彳导ykx2kk(x1)2,过定点(1,2),不合，舍去,定点为(1,2)【模拟试题】（答题时间：50分钟）、选择题1.是任意实数，则方程 x2 y2sinA. 椭圆 B. 双曲线 C.4所表示的曲线不可能是（抛物线 D. 圆2.2

22、 x 已知椭一12(y t)2211的一条准线方程是y8,则实数t的值是（）A. 7 或一7B. 4 或 12 C. 1 或 15D. 0223.双曲线 y- 1的离心率e （1,2）,则k的取值范围为（4 kA.,0)B.(12, 0) C.(3, 0)D.(60, 12)4.2y121的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为（A.2x162y12B.2x122y16C.2x16D.2y165.抛物线2 .y 8mx的焦点坐标为（A.,0)B.(0击C.(0,32m)1D. (,0)32 m6.已知点A （- 21)2y4x的焦点为fP是y24x的点，为使PA PF取得最小值,P占I 八、的坐标

23、是（A.1(1,1) B.4(2,2 .2) C.4,1)D.(2, 2.2)7.已知双曲线的渐近线方程为3x 4y0 , 一条准线方程为5y 9 0,则双曲线方程为（A.2x16B.2L 116C.2x25D.2L 1258.抛物线y x2至U直线2x4距离最近的点的坐标为（A.(2,4)B.(1,1)D.(2,4)9.动圆的圆心在抛物线y28x上，且动圆与直线x 20相切，则动圆必过定点（A.(4, 0)B.(20) C. (0, 2) D.(0, 2)10 .中心在原点，焦点在坐标为（0, ± 5行）的椭圆被直线3x-y- 2=0截得的弦的中点的横坐标为则椭圆方程为（）A.W

24、这 1252 C.25 7575,12x2 B.-752D.752y2 125亡125二、填空题i o（版权所有 翻版必究）. 211 .到定点（2, 0）的距离与到定直线 X 8的距离之比为 三的动点的轨迹方程为 212 .双曲线2mx2 my2 2的一条准线是y 1 ,则m 。13 .已知点（一2, 3）与抛物线y2 2Px（p 0）的焦点距离是5, p 。14 .直线l的方程为y=x+3,在l上任取一点P,若过点P且以双曲线12x24y2=3的焦点作椭圆的焦点, 那么具有最短长轴的椭圆方程为 。15.已知双曲线的中心在原点,MN一一，3 一过右焦点F （2,0）作斜率为, _的直线，交双

25、曲线于 M N两点，且,5=4,求双曲线方程。16.2 x 过椭圆一42y-1的左焦点F作直线l交椭圆于P、Q3F2为右焦点。1 7（版权所有 翻版必究）求：|PF2| QF2 的最值9 - 22417 . 已知椭圆的一个焦点为 F1（0,2*5）,对应的准线方程为 y ，且离心率e满足一,e、一433成等比数列。（1）求椭圆的方程。1 （2）试问是否存在直线l ,使l与椭圆交于不同的两点 M N,且线段MN恰被直线x平分？若存在，2求出l的倾角的取值范围，若不存在，请说明理由。18.如图所示，抛物线y2=4x的顶点为。，点A的坐标为（5 , 0）,倾斜角为的直线l与线段OAf交（不经过点。或

26、点A）且交抛物线于 M N两点，求 AMN®积最大时直线l的方程，并求 AMN勺最大面积.【试题答案】1. C6. A2. C7. A3. B8. B4. A9. B 10.C5. B11.(x4)2722y3612.13. 414.15.解:2=14设所求双曲线方程为2 x 2 a2 y b2(a>0,b>0),由右焦点为(2, 0)。知 c=2, b2 = 4-a22则双曲线方程为三a2y4b21,设直线MN的方程为：y3.,i-（x 2）,代入双曲线方程整理得：（20 58a2) x2+12a2x+5a432a2=0设 M (x1,y1 ) ,N (x2,y2),则 x1X212a220 8a2X1X25a4 32a220 8a2MNx1x24x1 x2解得:2012a28a25a4 32a2)2 420 8a2a2 1,b2故所求双曲线方程为:x16.解：直线l :yP、Q为l与椭圆的交点(1 tan )26 cos. L 12Kt- cost sin为参数(t -sin )2t1 t29224 co