高考数学第一轮总复习～033导数的应用

1、精品资源g3.1033导数的应用一、知识回顾1、函数的单调性(1)如果非常数函数y= f (x)在某个区间内可导，那么若f(x) >0 f(x)为增函数；若f'(x)«0u f(x)为减函数.(2)若f' (x)三0则f (x)为常数函数.2、函数的极值(1)极值定义如果函数f (x)在点入附近有定义，而且对x0附近的点，都有f (x)< f (xO)我们就说f(x0)是 函数的一个极大值，记作y极大值=f(x0);f (x)在点xo附近的点，都有f (x) > f (xo)我们就说f (xo)函数的一个极小值，记作y极小值 =f (xo )；极大值

2、与极小值统称为极值。(2)极值判别法当函数f(x)在点xo处连续时，极值判断法是：如果在xo附近的左侧f'(x)>o,右侧f'(x)<o,那么f(xo)是极大值；如果在xo附近的左侧f'(x)<o,右侧f'(x)>o,那么f(xo)是极小值。(3)求可导函数极值的步骤：求导数f'(x);求导数f'(x)=o的根；列表，用根判断f'(x)在方程根左右的值的符号，确定 f(x)在这个根处取极大值还是取极 小值。3、函数的最大值与最小值在闭区间a,b上连续，在(a,b)内可导，f(x)在a,b上求最大值与最小值的步骤：先

3、求f(x)在(a,b)内的极值；再将f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。特别注意：要注意区分函数最值与极值的区别、联系。二、基本训练1 . 下歹U说法正确的是()A.函数的极大值就是函数的最大值B.函数的极小值就是函数的最小值C.函数的最值一定是极值D.在闭区间上的连续函数一定存在最值2 .函数y=4x2+1的单调增区间为()xA.(0,+°°)B.( 2 ,°°)C.(一°°, 1)D.(一°°, 2)3 .下列说法正确的是 ()A.当f'(xo)=0时，

4、则f(xo)为f(x)的极大值B.当A(xo)=0时，则f(xo)为f(x)的极小值C.当f'(xo)=0时，则f(xo)为f(x)的极值 D.当f(xo)为函数f(x)的极值时，则有f'(xo)=04 .函数y=x4 8x2+2在1,3上最大值为 ()A. 11B. 2C. 12D. 105 . (04年全国卷二.文3)曲线y=x3 3x2 +1在点(1,1)处的切线方程为().A. y =3x-4B. y =-3x 2 C. y =-4x 3 D. y = 4x-56. (04年重庆卷.理14)曲线y =2-y与y=3-2在交点处的切线夹角是 .(以弧 度数作答)练3. (

5、04年湖南卷.文13)过点P(-1,2)且与曲线y=3x24x + 2在点M (1,1)处的切线平行的 直线方程是.三、例题分析例1、(2000年全国高考题)设函数f(x)= vx2 +1 -ax,其中a>0,求a的取值范围，使函数f(x)在区间0, +oo)上是单调函数例2、偶函数f(x) = ax4 +bx3+cx2 +dx + e的图象过点P (0, 1),且在x=1处的切线方程为y=x-2, (1)求y=f(x)的解析式；(2)求y=f(x)的极值。ax - 616. (05布建卷)已知函数f(x)=-2-的图象在点M ( 1, f(x)处的切线万程为x+2y+5=0. x b(

6、I )求函数y=f(x)的解析式；(H )求函数y=f(x)的单调区间.解：(1)由函数f(x)的图象在点M (-1f(-1)处的 切线方程为x+2y+5=0,知1-1 +2f(1) +5=0用叶(-1) = 2, f (1) =-12_f (x)a(x b) -2x(ax -6)(x2 b)2解得a =2,b =3(b 1 =0,b =-1舍去).所以所求的函数解析式 是f(x)=2X二6x - 32(II)f (x)=-2x2 12x 62 I2(x 3)令2x2 +12x +6=0，解得 xi =3-2<3,x2 =3+273,当x <3 243，或x >3+2131,

7、 f (x) <0;当3 2.3 :二 x :二 3 2.3日t,f (x) 0.所以f (x) =2x二6在(,32、内是减函数；在(3273,3+2、，内是增函数；x2 3在(3 2、. 3, 二)内是减函数.11. (05全国卷H )已知 a> 0,函数 f(x) = ( x2 -2ax ) ex(1)当X为何值时，f(x)取得最小值？证明你的结论；(2)设监)在-1, 1上是单调函数，求a的取值范围.解：(I)对函数 f(x)求导数得 f (x) = (x2+2x-2ax-2a)ex令 f (x) =0,得x2+2(1- a)x-2a ex=0 从而 x2 +2(1 - a

8、) x-2a=0解得 x1 = a -1 - .a2 1,x2 -a -1,a2 1当x变化时，f (x)、f '(x)的变化如下表x(ix。x1(x1,x2)x2(x2,f )f'(x)+0一0+f(x)递增极大值递减极小值递增f(x)在x = x1处取得极大值，在x=x2处取得极小值。当a0时，x1 <1,x2 20, f(x)在(x,x2 )上为减函数，在(乂2,)上为增函数而当 x <0时 f (x) =x(x2a)ex a 0 ,当 x=0 时，f (x) = 0所以当x = a-1 + Ja2+1时，f(x)取得最小值(II)当a0时，f(x)在L 1,

9、11上为单调函数的充要条件是x2 >13即a 1十Ta十1至1 ,解得a之一4于是f(x)在-1 , 1上为单调函数的充要条件是a234即a的取值范围是3,依)4例4、已知曲线y= f (x) = x3 -6x2+11x-6 ,在它对应于xW0, 2的弧段上求一点 P,使得曲线在该点的切线在y轴上的截距为最小，并求出这个最小值。例5、设工厂A到铁路的垂直距离为20km,垂足为B,铁路线上距离B100km的地方有一个 原料供应站C,现在要从BC中间某处D向工厂修一条公路，使得原料供应站 C到工厂A所 需运费最省。问D应选在何处？已知每一公里的铁路运费与公路运费之比为 3: 5。四、作业:g

10、3.1033导数的应用1 .下列函数存在极值的是()c123A. y=B. y= x3C, y=2D , y=xx2 .点M (p, p)到抛物线y2=2px的最短距离为 ()A. 苧 p B. pCv, -lill-L2 C.海+ 2p2 -2pJ乌工D.以上答案都不对3 .已知 f (x) =(x-1)2+2, g(x)=x21,则 fg(x) ()A.在( 2,0)上递增B.在(0,2)上递增C.在(一氏,0)上递增D.(0,72 )在上递增4 .用边长为48厘米的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等 的小正方形，然后把四角折起，就能焊成铁盒，所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为()A. 6B. 8C. 10D. 12335 .函数y= x2 +(1 - x)2,0 < x <1的最小值为.6 .在半径为R的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为 时它的面积最大7 .函数y=f(x)=x3+ax2+bx+a2,在x=1时，有极值10,那么a, b的值为.8 .将长为l的铁丝剪成2段，各围成长与宽之比为2 ： 1及3 ： 2的