高考理科数学全国卷Ⅲ理数(附参考答案和详解)

1、绝密启用前6M 7 日 15:00-17:002019年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷田）数学（理工农医类）总分：150分 考试时间：120分钟祝考试顺利注意事项:1、本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、 准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡的指定位置。第2页（共13页）2、选择题的作答：选出每小题答案后，用 题卷、草稿纸、答题卡上的非答题区域均无效。2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿 纸、答题卡上的非答题区域均无效。4

2、、考试结束后，将本试卷和答题卡一并上交。第I卷、选择题：本题共 12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求B x|x2 1,则 AI B ()的。1. （2019全国卷出理）已知集合 A 1,0,1,2,A. 1,0,1B.0,1C. 1,1D.0,1,21,0,1,2，所以 AI B 1,0,1.故选 A.【解析】因为B x|x2 1 x| 1 x 1,又A 2. （2019全国卷出理）若z(1 i) 2i ,则 zA. 1 iB. 1C.1 iD.1 i【解析】由z（1 i） 2i ,得z2i1 i2i(1 i)(1 i)(1 i)2i(1 i)，小山i(1 i

3、) 1 i .故选 D 23. （2019全国卷出理）西游记三国演义水浒传和红楼梦是中国古典文学瑰宝,100位90位，阅读过红楼梦的学生共有8060位，则该校阅读过西游记的学生并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了学生，其中阅读过西游记或红楼梦的学生共有 位，阅读过西游记且阅读过红楼梦的学生共有 人数与该校学生总数比值的估计值为（）A. 0.5B. 0.6C.0.7D. 0.8【解析】设调查的100位学生中阅读过西游记的学生人数为x,60 90 ,解得 x 70 ,所以该校阅读过西游记的学生人数与该校总人数的比值的估计值为701000.7 ,故选C.【答

4、案】C第4页（共13页）4.（2019全国卷出理）（1 2x2）（1 x）4的展开式中x3的系数为（）A. 12B.16C.20D. 24【解析】（1 2x2）（1 x）4的展开式中x3的系数为1 C32C4 12 .故选 A.5. （2019全国卷出理）已知各项均为正数的等比数列 an的前4项和为15,且 35 3a3 4ai,则a3()A. 16B.8C.4D. 2【解析】设正数的等比数列 %的公比为ai则44 aq0,q 0, 2 aq aiq3alq23aq15,431,解得a1 q1,所以2,a3mq24 .故选C.6. （2019全国卷出理）已知曲线 yx aexlnx在点（1,a

5、e）处的切线方程为y 2x b,则()D. a e 1【解析】y aex lnx 1k y |x 1 ae 1 ,所以切线方程为yae(ae 1)(x 1),即y （ae 1）x 1 .又因为切线方程为 y 2x b,所以ae '即a e 1 b b 1,1.故选D.2x3 十在x x227. （2019全国卷出理）函数6,6的图象大致为（)D.2x32x 2 xf(x),所以f(x)是【解析】因为y f(x) r2x：,x 6,6,所以f( x)斗x3x 2222第12页（共13页）奇函数，排除选项C.当x 4时，y2 4324 2 4128（7,8）,排除选项A, D.故选B.16

6、 -168. （ 2019全国卷出理）如图，点N为正方形ABCD的中心， ECD为正三角形，平面ECD 平面 ABCD ,B. BM EN ,且直线 BM ,EN是相交直线EN是相交直线M是线段ED的中点，则（）C. BM EN ,且直线 BM , EN是异面直线D. BM EN ,且直线BM , EN是异面直线【解析】取 CD的中点O,连接EO, ON.由4ECD是正三角形，平面 ECD，平面ABCD,知EOL平面ABCD,所以EOXCD, EOXON.X N是正方形 ABCD的中心，所以 ONLCD.uur以CD的中点。为原点，ON方向为x正方向建立空间直角坐标系，如图所示 不妨设 AD

7、2,则 E(0,0, 73) ， N(0,1,0) , M -,0, , B( 1,2,0),22所以 | EN | 肝一（厨 2 , |BM | J 34 3 6,所以EN BM .连接BD, BE,因为点N是正方形ABCD的中心，所以点 N在BD上，且BN DN , 所以BM, EN是4DBE的中位线，所以BM, EN必相交.故选B.【答案】B为0.01,则输出s的值等于（）9 . （2019全国卷出理）执行如图的程序框图，如果输入的(W|y/输入£/】,3=0Xx=否j < i.：是A. 21241B.2525C.21261 D. 2 - 27【解析】0.01,1,s1,

8、x1-,x2不成立;不成立;一，x -,x48不成立;s 1 1s 1 ,x ,x 4 11111-一 一 ,x 一 ,x4 8 16 3264 1 l,x ,x不成立;2 4 81611111不成立; 一,x - ,x不成立;2 4 8 16321 1 1 2工2 4 8 16 3211一,x 一 ,x64128成立,此时输出s 2 6 ,故选C.22210 .（2019全国卷出理）双曲线 C：工或 1的右焦点为F,点P在C的一条渐近线上，O为42坐标原点，若|PO| |PF|,则PFO的面积为（）A.?B.?0.2,2D.3222-【解析】双曲线 ? 力1的右焦点坐标为坐标为（76,0）,

9、 一条渐近线的方程为 y qx,不妨设点P在第一象P由于|PO| |PF |,则点P的横坐标为 叵,纵坐标为 立匣叵 即PFO的底边 2222长为耶，高为画,所以它的面积为，娓回 延.故选A.2224【答案】A）单调递减，则（）11. （2019全国卷出理）设 f（x）是定义域为R的偶函数，且在（0,321noA. f log3 - f 2 2 f 2 332no10. f 2 2 f 2 3 f log3-23147B. f log 3- f 2 3 f 2 223；71D. f 2 3 f 2 2 f log 371f ( Iog3 4) f(iog3 4),【解析】因为f（x）是定义域为

10、R的偶函数，所以f log31 423又因为f(log34) 1 2. 22 0,且函数f (x)在(0,)上单调递增减,32所以 f 2 2 f 2 3 f log31 ,故选 0. 4【答案】012. （2019全国卷出理）设函数f (x) sin0）,已知f（x）在0,2兀有且仅有5个零点，下述四个结论： f（x）在（0,2 %）有且仅有3个极大值点； f（x）在（0,2兀）有且仅有2个极小值点；f（x）在0, 单调递增；10（）A.B.的取值范围是12 295 ,10.其中所有正确结论的编号是C.D.有且仅有3个极大值点,0）在0,2兀上有且仅有5个零点，如图,其图像的右端点的横坐标在

11、区间a,b）上，此时f（x）在（0,2力上f （x）在（0,2句上可能有2或3个极小值点,所以正确，不正确;x 0,2 吊时， x-,2兀,，由f （x）在0,2可上有且仅有555个零点可得得的取值范围是125,所以正确；当x 0,时,10107t1049 %100所以f(x)在 0,10单调递增，所以正确.故选D.二、填空题:本题共 4小题，每小题5分。13. ( 2019全国卷出理）已知ab为单位向若 c 2a 5bcos a,c【解析】由题意得 cos a,cag(2a 一 5 b)2|a|25agD14. ( 2019全国卷Si0S5|a|g2a. 5b| a g 12a5b |2山理

12、）记&为等差数列an的前n项和【解析】由a10 ，a23a1，可得d2a1 ，所以S1010al10 9d2100al ,S55a15 4 d 25a1,2所以SI0S5【答案】422.一.一 x y15.（2019全国卷出理）设 Fi, F2为椭圆C： 一 1的两个焦点，M为C上一点且在第一象 36 20限.若MF1F2为等腰三角形，则 M的坐标为 .【解析】设F1为椭圆的左焦点，分析可知点M在以F1为圆心，焦距为半径的圆上，即在圆22_（x 4） y 64 上.22因为点M在椭圆匕1上，36 2022(x 4)2 y2 64,x 3所以联立方程可得x2v2解得 '_1,y

13、15.36 20又因为点M在第一象限，所以点M的坐标为（3,尺）.第13页（共13页）【答案】（3, . 15）16. （2019全国卷出理）学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型.如图，该模型为长方体ABCD-AB1CQ1挖去四棱锥 O-EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心， E, F,G, H分别为所在棱的中点，AB BC 6cm, AA1 4cm, 3D打印所用原料密度为 0.9g / cm3,不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为 g .JH【解析】由题知，挖去的四棱锥的是一个菱形，对角线长分别是6 cm和4 cm,故V挖去的四棱锥1134 6 3 12(cm ).3

14、 2又V长方体 6 6 4 144(cm3),所以模型的体积为V长方体V挖去的四棱锥144 12一 3132(cm3),所以制作该模型所需原料的质量为132 0.9 118.8（g）.【答案】118.8 三、解答题：本题共 70分。17. （2019全国卷出理）为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成 A, B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残 留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：记C为事件：匕离子残留在体内的百分比不低

15、于5.5 ”，根据直方图得到P(C)的估计值为0.70.(1)求乙离子残留百分比直方图中 a , b的值；(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代 表).【解析】(1 )由题得a 0.20 0.15 0.70.解得a 0.35.由 0.05 b 0.15 1 P(C) 1 0.70.解得b 0.10.(2)由甲离子的直方图可得，甲离子残留百分比的平均值为：0.15 2 0.20 3 0.30 4 0.20 5 0.10 6 0.05 7 4.05.乙离子残留百分比的平均值为：0.05 3 0.10 4 0.15 5 0.35 6 0.20 7 0.15

16、8 6.18. ( 2019全国卷出理)AABC的内角A , B , C的对边分别为a , b , c .已知A C asin bsinA .2(1)求 B ;(2)若ABC为锐角三角形，且 c 1,求 ABC面积的取值范围.A C【解析】(1)由题设及正弦th理得 sinAsin sinBsinA .2因为sinA 0,所以 sin A-C sinB 2ACBBBB由 A B C 180 ,可信 sin cos,故 cos 2sin cos.22222因为cos旦0,故sin旦工，因此B 60o . 222第18页(共13页)(2)由题设及(1)知AABC的面积Saabc 立a4由正弦定理得

17、acsinAsin(12Co C) 31sinC sinC 2tanC 2由于ABC为锐角三角形，故 0o A 90°, 0o120° ,所以30°C 90°,故1 a 2 ,从而43 SAabc .282因此，ABC面积的取值范围是 叵但8219. (2019全国卷出理)图1是由矩形 ADEB , RtABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其FBC 60°.将其沿 AB, BC折起使得 BE与BF重合，连接 DG ,(1)证明：图2中的A ,C, G, D四点共面，且 平面ABC 平面BCGE;(2)求图2中的二面角 B-CG-A的大小.【

18、解析】(1)由已知得 ADPBE, CGPBE,所以AD PCG ,故AD , CG确定一个平面，从而 A , C , G , D四点共面.由已知得 AB BE, AB BC,故 AB 平面BCGE .又因为AB 平面ABC,所以平面ABC 平面BCGE .(2)作EH BC ,垂足为H .揖U 一B H 因为EH 平面BCGE,平面BCGE 平面ABC , 所以EH 平面ABC .由已知，菱形 BCGE的边长为2, EBC 60°,可求得BH 1 , EH 33 .luir以H为坐标原点，HC的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系H xyz,_ uur _uuir则 A

19、( 1,1,0), C(1,0,0) , G(2,0, 73), CG (1,0,小)，AC (2, 1,0).设平面 ACGD的法向量为n (x, y,z),则uurCG n 0,x3z 0,uur 即AC n 0,2x y 0.所以可取n (3,6,通.又平面BCGE的法向量可取为 m (0,1,0),所以 cos<n, mn m 3|n|m|2因此二面角B-CG-A的大小为30°.3220. (2019全国卷出理)已知函数 f(x) 2x ax b.(1)讨论f(x)的单调性；(2)是否存在a, b,使得f (x)在区间0,1的最小值为 1且最大值为1?若存在，求出a,所

20、有值；若不存在，说明理由.(1) f (x) 6x2 2ax 2x(3x a),令 f (x) 0 ,得 x 0 或 x a , 3a右 a 0,则当 x (,0) U -, 时，f (x) 0；3当 x 0,a 时，f (x) 0 , 3故f(x)在(，0),-, 单调递增，在 0,旦单调递减； 33若a 0, f(x)在(，)单调递增；若 a 0 ,则当 x ,- U (0,)时，f (x) 0 ；3当 x a,0 时，f (x) 0 , 3故f(x)在 ，a , (0,)单调递增，在-,0单调递减.33(2)满足题设条件的a , b存在.(i)当a 0时，由(1)知，f (x)在0,1单

21、调递增，所以f(x)在区间0,1的最小值为f(0) b ,最大值为f(1) 2 ab.此时a , b满足题设条件当且仅当b 1,2ab1,即a0,b 1 .(ii )当a 3时，由(1)知，f(x)在0,1单调递减，所以f(x)在区间0,1的最大值为f (0) b,最小值为f (1) 2 ab.此时a , b满足题设条件当且仅当2ab 1,b1,即a4,b1.3(iii )当0 a 3时，由(1)知，f(x)在0,1的最小值为f目 b ,最大值为b或 3272ab.3若 a-b 1,b1,则a3372,与0a 3 矛盾.273若a-b 1,2ab1,则a 3通或a373或a 0,与0 a 3矛

22、盾.27综上，当且仅当 a 0, b1或a 4, b 1时，f (x)在0,1的最小值为 1 ,最大值为1 .1 ,-上的动点，过 D作C的两条切 2221.(2019全国卷出理)已知曲线C: y 土，D为直线y2线，切点分别为A , B .(1)证明：直线AB过定点；(2)若以E 0,5为圆心的圆与直线2AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形 ADBE的面积.12【解析】(1)设 D t, - , A(x1,y1)，则 Xi 2y1 .1y12由于y x ,所以切线DA的斜率为为，故2 xi .X| t整理得 2tx1 2y1 1 0 .设 B(X2,y2),同理可得 2tx2 2y2

23、1 0.故直线AB的方程为2tx 2y 1 0 .1所以直线AB过定点0,1 .(2)由(1)得直线AB的方程为y tx 1 .2tx 2,2 可得 x2 2tx 1 0 . x2于是 X1X2 2t, X1X21 , y1V2 t(x1 X2)1 2t 1,AB dt2x1 x241t2 7( Xix2)2 4x1x22(t2 1).设d-d2分别为点D, E到直线AB的距离，则di Jt2 1 , d22t2 12因此，四边形 ADBE 的面积 S 1 AB(d1 d2) (t2 3)t2 1 .2设M为线段AB的中点，则M t,t2 12uuuu 由于EMuuuAB与向量（1,t）平行,uuur uuur oAB ,而 EM (t,t2 2),所以t(t22)t 0,解得t 0或t 1 .当 t 0时，S 3；当 t 1 时，S 4J2 .因此，四边形 ADBE的面积为3或4J2.弧AB, BC, CD所在圆的圆心分别是 （1,0）,22. （2019全国卷出理）如图，在极坐标系 Ox中，A（2,0） , B J2,，C J2,三，D（2,兀）， 441,- , （1,兀），曲线M1是弧AB,曲线M2是