高考理科数学试题及答案全国卷2

1、2012年普通高等学校招生全国统一考试（新课标n卷） 理科数学、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的.）1.已知集合 A=1,2,3,4,5 ,B=(x,y)|xC A,yC A,x-yC A,则 B 中所含元素的个数为()A.3B. 6C.8D. 102.将2名教师，4名学生分成两个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个3.4.5.6.7.小组由一名教师和A. 12 种卜面是关于复数zPi：|z|=2,A. P2, P32名学生组成，不同的安排方案共有（B. 10 种C. 9种)D. 8种-1 i P2: z2=2i

2、,B. Pi,2一的四个命题中，真命题为（2设F1, F2是椭圆E:0+ aP3：z的共轲复数为1 + i,P2C. P2, P42<=1 (a >b >0)的左右焦点, b F2PF1是底角为30o的等腰三角形，则E的离心率为（A.12B.-3C.94D. 45已知an为等比数列,A. 7B. 5a4 + a7 = 2 , a5% = 8C. -5如果执行右边的程序框图，输入正整数Na2,，aN,输入 A、B,则（）A. A+B 为 a1,B.史为a1, 2C. A和B分别是D. A和B分别是a2,，丽的和a2,a1a1，aN的算术平均数a2,a2，aN中最大的数和最小的数

3、，aN中最小的数和最大的数如图，网格纸上小正方形的边长为1三视图，则此几何体的体积为（A. 6B. 9C. 12P4: z的虚部为-1 .D. P3, P43aP为直线x=5上的一点'开始22）和实数贝U a + a0 =(D. -7粗线画出的是某几何体的）D. 18是.8.等轴双曲线C的中心在原点，焦点在 点，|AB|=4j3,则C的实轴长为（x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于A, B两）A. 2B. 2 .2C. 4D. 89.函数f （x） =sin（0x+：）在（三，兀）单调递减，则8的取值范围是（11.541 3B. , 2 41,则ln(x 1) -x1C. (0,2

4、D. (0,2已知函数f （x）=y = f（x）的图像大致为（10.oA.B.D.C.已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,为球O的直径,.2A.6SC=2,则此棱锥的体积为（ ABC是边长为1的正三角形, ）SC12.设点P在曲线A. 1 -ln23B.6C.1 x -ex上，点Q在曲线 2B. .2(1-ln 2) C.y=ln（2x）上，则|PQ|的最小值为（11n 2D. . 2(1 ln 2)本卷包括必考题和选考题两部分.第13题第21题为必考题，每个试题考生必须做 答.第22题第24题为选考题，考生根据要求做答 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13

5、.已知向量 a, b 夹角为 45o,且 |a|=1, |2ab| = 0,则 |b| =x - y - 114.设x, y满足约束条件-0x+yW3 ,则z=x2y的取值范围为y-015 .某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件 3正常工作，则部 件正常工作.设三个电子元件的使用寿命(单位：小 时)服从正态分布N(1000, 502),且各元件能否正常工作互相独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为16 .数列an满足 an4+(1)nan =2n-1 ,贝U 4的前 60 项和为三、解答题：(解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)17 .(

6、本小题12分)已知a, b, c分别为 ABC三个内角 A, B, C的对边， a cosC 3asinC bc=0.(I )求 A；(n )若 a=2 , ABC的面积为 73 ,求b, c.18 .(本小题12分)某花店每天以每枝 5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理(I)若花店某天购进 16枝玫瑰花，求当天的利润y (单位：元)关于当天需求量n(单位：枝，nC N)的函数解析式；(n)花店记录了 100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：日需求重 n14151617181920频数10201616151310以100

7、天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率(i)若花店一天购进 16枝玫瑰花，X表示当天的利润(单位：元)，求X的分布歹U、 数学期望及方差；16枝还是17枝？请说(ii)若花店计划一天购进 16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进 明理由.19 .(本小题12 分)如图，直三棱柱 ABC-A1B1C1中，1AC=BC= AA, D 是棱 AAi 的中点，DCiXBD. 2(I )证明：dcbc；(n)求二面角 ai-bd-Ci的大小.220 .(本小题满分12分)设抛物线C:x =2py (p >0)的焦点为F,准线为l, A为C上 的一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B, D两

8、点.(I )若/ BFD=90o, AABD面积为4炎，求p的值及圆F的方程；(n )若A、B、F三点在同一直线 m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共 点，求坐标原点到 m, n的距离的比值.x 1 一一 1221 .(本小题 12 分)已知函数 f(x) = f (1)e f(0)x+x . 2(I)求f (x)的解析式及单调区间；1 2(n)若 f(x)之2x +ax+b ,求(a+1)b 的最大值.请考生在第22、23、24题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分, 做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑22 .(本小题10分)【选修4-1:几何证明选讲

9、】如图，D, E分别为 ABC边AB, AC的中点，直线 DE交 于 ABC的外接圆于F, G两点，若CF / AB,证明：(1) CD = BC;(n) BCDAGBD.23 .(本小题10分)【选修4-4:坐标系与参数方程】，一 一、x=2cos：:一一 一 ，已知曲线C1的参数万程是(中为参数)，以坐标原点为极点，x轴的y =3sin ;正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是 p= 2.正方形ABCD的顶点都在C2上，且A, B, C, D依逆时针次序排列，点 A的极坐标为(2,-).3(I )点A, B, C, D的直角坐标；(n)设P为Ci上任意一点，求|PA2 + |PB

10、|2+ |PC|2 + |PD|2的取值范围.24.(本小题10分)【选修4- 5:不等式选讲】已知函数 f (x) = |x + a| + |x-2|.(I)当a =- 3时，求不等式f (x) >3的解集；(n)若f (x) <| x-4 |的解集包含1,2,求a的取值范围.2012年普通高等学校招生全国统一考试（新课标n卷）理科数学【参考答案】一、选择题：1 .【答案：D】解析：要在1, 2, 3, 4, 5中选出两个，大的是 x,小的是v,共C； =10种选法.2 .【答案：A】解析：只需选定安排到甲地的 i名教师2名学生即可，共有 c2c2种安排方案.3 .【答案：C2C

11、C解析：经计算z=_ii,二|z|=J2, z2=（-i-i）2=2i ,复数z的共轲复数为-1 i1+i, z的虚部为一1,综上可知P2, P4正确.4 .【答案：C解析：由题意可得，F2PF1是底角为30o的等腰三角形可得PF2 = F1F2 ,即2（3ac）= 23,所以 e二=3.2a 45 .【答案：D】斛析： a4+ a7 = 2 , a§ a6 a4a7 8, a a44, a7 = 2 或 a4=-2, a7 = 4 ,; a1, a4, a7, a10成等比数列，, a1 +a10 =7 .6 .【答案:Cl解析：由程序框图判断x>A得A应为a1，a2,，aN

12、中最大的数，由x<B得B应为a1, a2,，aN中最小的数.7 .【答案：B解析：由三视图可知，此几何体为底面是斜边为6的等腰直角三角形（俯视图），高为3的三棱锥，故其体积为 V nM1NsJ2MB皎MBug.3 28 .【答案:C解析：抛物线的准线方程是 x=4,所以点A（T,2j3）在x2-y2=a2上，将点A代入得 a2 =4,所以实轴长为2a =4.9 .【答案：A一一,二二二二3二15斛析：由一+2。一 +2kn,k= Z得，一 +4k "'一 +2k,k= Z ,2244224；：:0, 1 - -5 .24解析：易知y =ln(x+1)xw0对xw (1,

13、0)U(0,+g)恒成立，当且仅当x=0时，取等号，故的值域是(-OO 0).所以其图像为B.11 .【答案：A解析：易知点S到平面ABC的距离是点O到平面ABC的距离的2倍.显然O-ABC是棱长为1的正四面体，其高为 Y6,故VO ABC式旦x® =般,VS ABC =2V ABC N2 .3-3 4312612 .【答案：B11解析：因为y =-ex与y=ln(2x)互为反函数，所以曲线 y=ex与曲线y = ln(2x)关于直线y=x对称，故要求|PQ|的最小值转化为求与直线y=x平行且与曲线相切的直线间的距离，设切点为 A,则A点到直线y=x距离的最小值的 2倍就是|PQ|的

14、最小值.则1 1xxxy =(e ) =-e =1, e2 2切点A点到直线y=x距离为d| In 2 -1|1 -ln 2二、2 二 Q所以 | PQ |=2d = ：、/2(1-ln2).=2,即x = ln2,故切点A的坐标为(ln2,1),因此,2，、填空题:13 .【答案：3五、r r o r r °r.r r J r ° r r . r o斛析：由已知信 |2ab| =(2ab) =4a 4aMb+b =4|af -4| a| |b |cos45+|b | r r cr _=4 -2亚|b | 十|b |2 = 10 ,解得 |b |=3/.14 .【答案：-3

15、,3解析：画出可行域，易知当直线Z=x-2y经过点(1,2)时， 一)，Z取最小值-3;当直线Z =x2y经过点(3,0)时，Z取最 / 一大值3.故Z = x 2y的取值范围为3,3./。二 F15 .【答案：3】8解析：由已知可得，三个电子元件使用寿命超过1000小时的概率均为二，所以该部件=3一8= 4k-3L =4k -1L 由得，2的使用寿命超过1000小时的概率为1 (1-)2 116.【答案：1830】aOL -a d解析：由an由十(T)“an =2n T 得 a2k 1 a2ka2k+ +a2k二=2 由得，S偶S奇=(a2 - a1)*(a4a3) + (a6 as)*L*

16、(a60 a59)=1 十5+9 十L +117 = (1.117)：30 =1770.由得，Sw =a+a。+as)+&+a§) +(n) (i) X 可能取 60, 70, 80. P(X=60)=0.1 , P(X=70)=0.2, P(X=80)=0.7 ,X的分布列为：X607080P0.10.20.7X 的数学期望 E(X) =60 0.1+70 0.2+80 0.7=76,X 的方差 D(X) =(60-76)2X0.1+(70-76) 2X0.2+(80-76) 2 >0.7=44.(ii)若花店计划一天购进17枝玫瑰花，X的分布列为X55657585P

17、0.10.20.160.54X 的数学期望 E(X) =55 0(1+65 0.2+75 0.16+85 0.54=76.4, 因为76.4 >76,所以应购进17枝玫瑰花.L +(a59 +a57)=2M15 = 30 ,所以 $6。=S禺 +S奇=(S禺一St)+2S奇=1770+2x30=1830.三、解答题：17.解析：(I)由acosC+73asinC-b-c=0及正弦定理可得-sinB -sinC =0, sinAcoC +73sinAsinC -sin(AC) -sinC=0 ,sin AcosC , 3sin AsinC.3sinAsinC - cosAsinC-sinC

18、=0, QsinC >0 ,，73sin A-cosA-1 = 0 ,jij. 2sin( A )1 = 0 ,6n sin( A - -一一：二 A 一-:二一 一 h 13.(n) Q SVABC - 3 bcsin A =bc -、3 , . bc = 4, 24Q a = 2, A =32. 22_2222, a =b +c -2bccos A =b +c -bc = 4 ,二 b +c = 8 ,解得 b = c = 2.18.解析：(I)当 n*6 时，y=16 ><(10-5)=80,当 n得5 时，y=5n-5 x(16-n)=10n-80,得10n -80,

19、(n <15)80,(n -16)(n N).1 .19 .解析：(I)证明：设 AC - BC - - AA - a , 直二梭柱 ABC A B1C1 ,- DCi _L DC .又，DC1=DC=T2a,CC1=2a,，DC； + DC2 = CC2 ,CiBAiDQ DC1 _L BD , DC1 I DC = D ,二 DC _L 平面 BDC .Q BC u 平面 BDC ,DC1 1 BC .DC1 -L BD , :. BDDC=J2a, BG=J5a,又已知=屈.在 RtAABD 中，BD=73a,AD = a,/DAB =900,AB = V2a .，AC2+BC2

20、= AB2,AC _ BC.法一：取A1B1的中点E ,则易证CiE _L平面BDAi ,连结DE ,则CiE _L BD ,已知 DC1 .L BD，, BD _L平面 DC1E , BD _L DE ,二/ C1DE 是二面角 A1 - BD -C1平面角.在 RLAC1DE 中，sin/C1DE =C1E =22 = 1 ,.NCiDE=30 .即 CiD；2a 2 '二面角A -BD G的大小为30.法二：以点 C为坐标原点，为 x轴，CB为y轴，CCi为z轴,建立空间直角坐标系uurCxyz.则 A(a,0,2a1B(0,a,0),D(a,0, a1G(0,0,2a). DB

21、 = (a,a, a ),uuurrDCi=(a,0,a),设平面 DBCi 的法 向量为 n =(x1，yi,zi), 则r u uurn DB 1ax1a 勺 azrr u uur，不妨令 xi =i ,得 yi = 2, zi =1，故可取 ni =(i,2,i).n D1c - - 1a x 0 a =zrr , r同理，可求得平面D BA的一个法向量n2 = (1, 1,0)设n1与n2的夹角为e ,则cos = rn1 nr = Y 厂二色,，a=30.由图可知，二面角的大小为锐角， 故 |ni | |5 |、622二面角A -BD C1的大小为30.20.解析：(I)由对称性可知

22、，4BFD为等腰直角三角形，斜边上的高为 p,斜边长BD =2p .点A到准线|的距离d =| FB =| FD =72 P 由 S>AABD =4也得,1x|BD Md =1><2pM72P =4历，,p=2.圆 F 的方程为 x2+(y1)2=8.(n) 由对称性，不妨设点 A(xa，Ya)在第一象限，由已知得线段 AB是圆F的在直，一 .一C3_2L径，/ADB =90，二 |BD =2p, yA =3 p ,代入抛物线 C : x = 2py 得 xa =T3p .直线m的斜率为kAFp =33. 3 p 3.直线m的方程为xJ3y+Y3p = 0 .2x2 =2py

23、 得 y =工2p2y' = X.由丫'=4=得，x =p.故直线n与抛物线 C pp 33的切点坐标为(，3E,E),直线n的方程为36x 一 J3y 一爽E = 0 .所以坐标原点到 m ,6.n的距离的比值为21 .解析:(I ) f (x) =f (ie"_f(0)十x,令 x=1 得，f (x)=1，再由 f(x) = f (lex,f(0)x+x2， 21 o.令 x=0 得f'(1)=e.所以 f(x)的解析式为f(x)=exx+1x2,，f*)ex1 仪，易知 f'(x) = x 1 + x是 R 上的增函数，且 f'(0)=0

24、 .所以 f'(x)>0= x>0, f(x)<0u x<0,所以函数f(x)的增区间为(0,+8),减区间为(叱0).(n) 若 f(x)至Jx2 +ax+b恒成立，即 h(x) = f (x)1x2axb =ex(a+1)xb20 恒成立，Qh (x) =ex -(a 1).(1)当a+1<0时，h(x)0恒成立，h(x)为R上的增函数，且当xt时，h(x) t ,不合题意；(2)当 a +1=0 时，h(x)>0 恒成立，则 b <0 , (a+1)b = 0；当 a+1>0 时，h'(x) =ex(a+1)为增函数，由 h

25、'(x) =0 得 x = ln(a+1),故f (x) >0u x >ln(a+1), f'(x) <0u x <ln(a+1),当 x =ln(a+1)时，h(x)取最小值h(ln(a +1) =a +1 (a+1)ln(a +1)b.依题意有 h(ln(a +1) = a+1 (a+1)ln(a+1)b 之 0 ,22一即 b Ea+1(a+1)ln(a+1), Qa+1>0,，(a+1)b E(a+1) (a+1) ln(a + 1),令u(x) =x2x2 lnx (x >0),则 u'(x) =2x2xln xx = x(12ln x) , u(x)>0u 0<x<7e,u'(x) <0w x >Ve ,所以当x=je时,u(x)取最大值u(Ve) = e2故当a+1 = je,b =立时, 2.,一 一.e1 2.(a+1)b取最大值,.综上，若f (x)至3x +ax +