中小学统计及其课程教学设计(1)

1、  中小学统计及其课程教学设计(1)   摘要：统计已经成为当今中小学数学课程的核心内容之一。统计学的研究基础是数据，依据数据进行分析和推断。统计教育价值的核心在于逐步养成尊重事实、通过数据来分析问题的习惯，培养理解和把握随机现象的能力。中小学统计课程设计、教学设计的主线应该是，体现从收集数据到统计推断的全过程，建立统计直观。关键词：中小学统计；课程设计；教育价值；教学 当今中小学数学增加了统计学和概率论的内容，这些内容是一种“不确定性数学”内容，与传统的“确定性数学”内容有较大区别。这使得数学教育工作者以及在教学一线的广大教师普遍感到不适应。

2、统计的基本思想方法是什么？解决统计问题的基本途径是什么？中小学统计课程、教学中应当突出的重点是什么？中小学统计的教育价值是什么？带着这些迷茫和困惑，我们进行了较长时间的专题访谈和深入研讨。访谈对象：史宁中教授（以下简称史教授）。访谈形式：专题访谈，三人对话以及多人参加的讨论班式的访谈；辅以资料查询。一、统计及其基本思想与方法（一）什么是统计学问：一般认为，“统计学”这个词源于拉丁语的“国情学”，原是国家管理人员感兴趣的事情。大不列颠百科全书对统计学下的定义是：“统计学是关于收集和分析数据的科学和艺术。”陈希孺院士认为：“统计学是有关收集和分析带有随机性误差的数据的科学和艺术。”史宁中教授，作为

3、统计学家，您是如何认识统计学的？ 史教授：我们先来简单地回顾统计学的历史是有益处的。正如拉丁语所说，统计原本就是收集和分析国家管理中需要的各种数据，比如国民收入、各种税收。为了直观，人们才发明了各种报表、直方图、扇形图等等。可以看到，这种传统意义上的统计学现在仍然是非常重要的，这也是我们现在小学统计教学中的主要内容之一。后来到了14世纪左右，随着航海业在欧洲兴起，航海保险业开始出现。为了合理地确定保险金与赔偿金，需要了解不同季节、不同路线航海出现事故的可能性的大小，需要收集相关的数据，根据数据进行分析和判断，这被称为是近代统计学的发端。到了19世纪末、20世纪初，人们把数学、特别是概率论的有关

4、知识引入到统计学，构建了统计学的基础。与古典统计学相比，虽然二者都是对于数据的收集和分析，但是却有本质的不同，因为后者进行分析的基础是“不确定性”，我们称之为“随机”。到了现代，人们发现，对于大量数据的分析，采用随机的方法不仅方便而且准确。比如，对于国民收入，我们可以动用大量的人力来收集数据，但是谁都知道这样的数据不可能是准确的，远不如我们依据某种原则划分出地区和人群，然后抽样、加权求和准确。再比如，对于股票市场，一天交易之后，可以得到精确的交易总量，但是人们宁可用部分核心企业的股票交易量来反映股票的变化，这便是“恒生指数”“上证指数”等等。特别是到了21世纪，银行、保险、电信，以及材料科学、

5、基因组学等新兴学科的实验中涉及大量数据，其分析更需要借助随机方法了。我想，大概就是因为这些原因，国家才决定在现在中小学数学的教学中加入统计学的内容。因此，你们谈到的关于统计学的定义都是可以的。但是，要把握统计学的根本思想方法却是非常困难的。问：那么，您认为统计学的基本思想方法是什么呢？ 史教授：这是一个不容易回答的问题。对于统计学的掌握很大程度上依赖于“感悟”，需要较长时间的理解与实践。我们先来回顾一下中小学传统数学的教学内容。这些内容主要是对日常生活中见到的图形和数量的抽象，研究的问题是图形的变化与计算法则，研究的基础是定义和假设，研究的方法主要是归纳、递归、类比和演绎推理。统计学则不同。如

6、我上面谈到的，统计学是通过数据来进行分析和推断的。因此，统计研究的基础是数据。这些数据的特点是，对于每一个数据而言，都具有不确定性，我们需要抽取一定数量的数据，才可能从中获取信息。因此，统计学的研究依赖于对数的感悟，甚至是对一堆看似杂乱无章的数的感悟。通过对数据的归纳整理、分析判断，可以发现其中隐藏的规律。因为可以用各种方法对数据进行归纳整理、分析判断，所以，得到的结论也可能是不同的。而且，我们很难说哪一种方法是对的，哪一种方法是错的，我们只能说，能够更客观地反映实际背景的方法要更好一些。比如，我们希望知道某公司员工的收入情况，可以用平均数也可以用中位数，很难说哪个方法对哪个方法错。事实上，如

7、果收入比较均衡，用平均数要好一些；如果收入比较极端，用中位数要好一些。当然，最好的方法是对收入情况进行分类，但是分类的方法又有好坏之分。我们可以看到，统计学关心更多的是好与不好，而中小学传统数学关心更多的是对与错。因此，统计学的基本思路是，根据所关心的问题寻求好的方法，对数据进行分析和判断，得到必要的信息去解释实际背景。（二）统计学的研究对象问：我们对于统计学有了一定的了解。从您的谈话中我们感觉到，统计学似乎是包罗万象的。那么，统计学到底研究什么呢？ 史教授：是这样的，统计学的应用面非常广，凡是涉及数据分析的都可以成为统计学的研究领域。特别是到了近代，人们希望更加精细地了解实际背景，更多地借助

8、数据分析，甚至人文科学也是如此，并且逐渐形成了专业的研究领域，比如计量经济学、计量社会学、计量教育学、计量心理学等等。这些研究领域分析方法的基础大体是统计学。统计学并不研究某一个领域的具体内容，在本质上只是研究数据分析的方法，这包括创造新的方法，也包括分析方法的好坏、分析方法的适用条件。问：你能否结合中小学统计的内容谈得更具体一些？特别是，在统计教学过程中，应当把握的基本原则是什么呢？ 史教授：可以。在统计研究中首先遇到的问题是如何获取“好”的数据。所谓“好”的数据是指那些能够更加客观地反映实际背景的数据，而要获取得好的数据则要依赖于“好”的方法。根据数据的不同，方法主要分两大类，一是通过调查

9、收集数据，二是通过实验制造数据。中小学统计教学中涉及的主要是前者，称为抽样调查（而后者通常被称为实验设计）。抽样调查又包含两个方面，一个是对已经存在的数据的收集，称之为抽样，比如市场的物价、学生的身高、企业的产值等等；另一个是需要我们了解才能够获取的，称之为调查，比如美国总统的民意支持率、人们日常消费的主要项目、中小学生喜欢的歌手等等。根据问题的不同，所要采用的方法也可能不同，但是要建立两个基本原则。第一个基本原则是，采用能够获取“好”的数据的方法。为了获取好的数据，我们需要尽可能多地利用对于实际背景已有的先验知识。比如，希望知道学生的身高，先验知识是“年龄之间差别很大”。因此，最好是根据年龄

10、段学生数的多少按比例抽取样本，我们称这种方法为“分层抽样”。可以看到，统计方法的直观想法是很明显的。如果对于实际背景一无所知，那么，一定要随意抽取样本，这便是“随机抽样”。比如，希望知道学生喜欢的歌手，因这些学生年龄之间差别可能不大，就可以采取“随机抽样”。当然，也可以用“分层抽样”，但是要麻烦得多。第二个基本原则是，采用简单的方法。能够基于上述两个原则的方法就是一个“好”方法。我们不要小看第二个原则，一个好的方法往往能够节省很多调查经费。这就是为什么咨询公司非常欢迎统计学家的原因。问：刚才你提到了“样本”，许多教师对这个概念总是感到费解。 史教授：是的，这个概念很难把握。样本实质上就是数据，

11、但是，统计学中涉及的数据往往是具有随机性的。还是回到“学生的身高”这个问题上来。在抽样之前，我们并不可能知道具体数据的大小，这些数据对于我们是随机的；为了讨论出一个好的方法，我们假想能够得到这些数据，并且假想这些数据的出现是依据某种规律的，这种规律就是数据出现的可能性的大小，我们称之为“概率”。比如，高年级学生出现大数据（高个子）的可能性要大于低年级学生，就是说，出现大数据的概率要大。但是，只有当抽样之后，我们才能得到真实的数据，才能进行实质的计算与分析。这样，我们所要研究的数据既具有随机性又具有真实性。为了方便起见，我们称这样的数据为样本。问：根据你的阐述，统计学怎么有一些哲学式的思考呢？

12、史教授：你们理解到了根本。这是统计学与中小学传统数学的最大区别。传统数学可以根据假设和规定的原则进行计算或者推理，但是统计学往往要问你所采用的方法是不是有道理，是不是还有更为合理的方法。不过，传统数学是统计学不可缺少的工具。问：是不是因为统计学需要计算呢？ 史教授：不仅仅如此，判断统计方法的好坏很大程度上也是依赖传统数学的。问：你能不能结合中小学统计课程、教学，谈得更具体一些？ 史教授：可以。假如我们得到了数据，由于数据看起来是杂乱无章的，就需要进行必要的整理，整理的实质是对大量的数据进行“压缩”。根据问题的不同，压缩的方法也有所不同。比如，希望知道学生的平均身高，称之为“总体均值”。我们可以

13、计算样本的平均数，然后用样本的平均数去估计总体均值。样本平均数就是对于数据的一种压缩方法。当然还可以用其他的方法，比如计算中位数，或者计算最大数和最小数的平均数。那么，哪一个方法要好一些呢？虽然我刚才谈了平均数和中位数的使用条件，但这仅仅是一种描述性的。对于数据压缩也有一个原则，就是不能失去我们所要研究问题的信息，满足这个条件的压缩后的值被称为“充分统计量”。这个原则的数学表达需要借助“条件概率”，涉及很深的数学。因此，统计学需要哲学的思考，也需要严格的数学推理。事实上，对于总体均值，上面的三个压缩后的量中只有样本平均数是充分统计量。直观地想，样本平均数以局部的特征估计总体的特征，可能要好一些

14、。这是因为，虽然样本平均数依赖样本的选取也是随机的，但是我们可以想象，当我们反复取样本计算时，这些样本平均数应当在总体均值附近摆动。当然，我们还可以建立其他的准则来判别方法的好坏，只要这个准则是合理的。比如，我们可以验证，样本平均数是使“与所有数据差的平方的和达到最小”的数；样本中位数是使“与所有数据差的绝对值的和达到最小”的数。这两个准则都是有道理的。转贴于 因此，作为教师，在统计课程实施的过程中，不仅仅需要知道如何去计算，还需要知道之所以这样计算的道理。只有这样，在讲课的时候才可能心里更有底，才可能根据学生的反应随时调节教学策略。再比如统计图表，是为了更直观地表达数据，这也是数据整理的一种

15、形式。根据我们所要研究问题的不同，表达方式也可以有所不同。（三）统计学研究方法的本质问：严士健先生认为，统计学的研究方法与传统数学的研究方法有一个本质上的不同：统计学的研究方法是基于归纳，而传统数学是基于演绎。 史教授：我想，这是从思辨的角度来考虑的。一般来说，推理分为演绎和归纳。上面已经谈到，传统数学在本质上研究的问题是确定性的，基础是定义和假设，遵循约定原则进行严格的计算或者推理，因此更多的是演绎；统计学在本质上研究的问题是随机的，是非确定性的，通过较多的数据进行推断，也就是通过许多的个别来推断一般，可以认为是一种归纳。但是，正如我在上面也谈到过的那样，在许多情况下，哲学思考后的数学表达也

16、是严格依赖于演绎的。二、中小学统计课程设计的核心问题（一）统计与概率课程设计的总体构想问：标准标准指全日制义务教育数学课程标准（实验稿）。在总体目标中提出，要使学生能够“经历提出问题、收集和处理数据、作出决策和预测的过程，掌握统计与概率的基础知识和基本技能，并能解决简单的问题；经历运用数据描述信息、作出推断的过程，发展统计观念”。在课程实施中，许多在教学一线的教师，甚至学科教学的专家都感到统计的内容安排不好把握，甚至对标准关于统计的设计提出了一些质疑。作为统计学家，你认为如何设计中小学各学段的统计课程内容更合理呢？ 史教授：对中小学统计课程内容的设计，我没有进行过专门的研究。我想，在讨论这个问

17、题之前，首先要清楚的问题是，除了知识之外，统计学的教育功能是什么？或者说，统计学的教育价值是什么？问：在中小学阶段，统计学的教育价值是什么呢？ 史教授：我在上面都已经谈到了，现在再总结一下。主要有三点。首先，养成通过数据来分析问题的习惯。其实质是通过事实来分析问题，当遇到问题时，应当去调查研究，应当去收集数据，在此基础上进行的推断才可能客观地反映实际背景。其次，建立随机的概念。有些事情可能发生，有些事情可能不发生，这在日常生活中是大量存在的。即便如此，只要我们掌握的信息多了，也能够合理地推断实际背景。第三，学习如何去判断事情的主要因素。我已经谈到，统计学能够在一堆看似杂乱无章的数据中提炼信息、

18、寻找规律，这就需要抓主要因素。比如我刚才谈到的股票市场的例子，核心企业就是主要因素。在统计学中，可能还有其他方面的教育价值，但在中小学阶段统计的教育价值主要就是这三点。问：如何通过这三点来说明中小学统计内容的课程、教学设计呢？史教授：教育价值，或者说教育功能是进行课程、教学设计的灵魂，是课程、教学设计的核心目标。如果中小学统计学课程、教学设计的核心目标是培养学生“通过数据来分析问题”，课程、教学设计的总体框架就应当是，体现从收集数据到分析推断的全过程，并以这个过程为主线，抓住要点，循序渐进。我们以小学统计为例， 在第一学段（13年级），可以侧重于统计直觉的培养。首先，应该对数有一定的理解和感悟

19、，这主要是数的大小的比较，以及对于数的分类。后者对于学习现代数学和现代统计学都是重要的，但是过去我们很少接触。比如，我们可以让学生“建立一个原则，在这个原则下给全班同学分类”。显然分类方法是多种多样的，这个原则可以是男女、出生月份、家庭区域等等。再比如，把全国各省的gdp统计数据提供给学生，让学生根据gdp的多少对各个省进行分类，并讲出分类的标准。其实，这里也涉及抓主要因素的问题，分类的标准就是抓主要因素。其次，学习一些抽样的方法，最好针对身边的事情。比如，同学们的身高、脚的大小、睡觉的时间等等。在这其中可以得到一些趣味性的结果。可以学习平均数，也可以学习统计表、直方图等等。最后，可以学习分层

20、抽样，并且通过比较，领会分层抽样的好处。因为有了数据的分类的基础，学习分层抽样就比较自然了。在第二学段（46年级），可以有一些具有背景的理性的思考。比如，再进行学生身高的调查，然后与以前的数据比较，看身高的变化，其中可以得到许多有趣的学习：可以作直方图或折线图，然后比较；可以分类比较；可以通过斜率来分析变化率；甚至可以通过变化率来预测未来。除此之外，还要进行社会调查，比如市场物价调查，评估物价的上升还是低落，这里也涉及抓住主要因素的问题。在这个阶段，可以渗透随机和概率的思想，分清楚有些事情可以直接判断可能性的大小，有些事情则需要调查估计可能性的大小。可以涉及加权平均。中位数和众数的学习一定要结

21、合具体的案例进行学习，并且与平均数比较，这是因为中位数和众数在日常生活中用得不多。最好有一个案例能够贯穿小学统计教学的全过程，比如我刚才谈到的身高的调查分析，让学生积累调查记录，逐年比较，从而对统计的学习有一个整体的了解。（二）处理统计与概率关系的策略问：在中小学数学课程教学中，应当如何处理统计与概率的关系？ 史教授：概率论与统计学有很大的差别。虽然二者都研究随机现象，但概率论的研究基础还是定义和假设，这与传统数学很相似，而统计学的研究基础是数据，它的研究要借助概率论的结果。比如我刚讲到的“分清楚有些事情可以直接判断可能性的大小，有些事情则需要调查估计可能性的大小”，前者是概率计算，而后者是统

22、计推断。在小学阶段，概率所涉及的形式化数学知识很少，只需要很好地理解分数。我曾经在前面的访谈中讲到，真分数有两个含义：一个是0与1之间的实数，一个是比率。后者可以理解为概率。如果再懂得一些代数知识，就能够理解概率中的逻辑运算和计算的基本原理。中学的统计教学也涉及分数，也是借助比率的含义，也是表示事件发生可能性的大小。但是，在统计的计算中，分数是基于样本计算出来的，是与样本量的大小有关系的，在计算的过程中必须注意到这一点。比如，希望了解学生对某一项活动的支持率，一班有50人，10人赞同，支持率为；二班有45人，15人赞同，支持率为，那么总体支持率是否为（+）÷2=呢？不是的。应当考虑样本量的比例和，则总体支持率为，大约为。这就是加权平均，权为样本量的比例。当然也可以用来进行计算。两个计算都是合理的，因为都考虑到了样本量。但是前一个式子已经不需要样本的具体数据了，因而是更为深刻的。从知识的角度来看，统计学的研