第三课时-导数构造函数-练习

1、精品资料欢迎下载利用导数构造函数回顾(1) f(x) ±g(x) _ ；(2)f(x)g(x) _；f x(3) _ g(x) 0g x构造函数1对于 f ' xg' x ，构造 h xfxg x更一般地，遇到f ' x a a0，即导函数大于某种非零常数( 若 a=0 ，则无需构造) ，则可构h x fxax2对于 f ' xg' x0 ，构造 h xfxg x3对于 f 'xfx0 ，构造 h xex fx4对于 f 'xfx 或 f ' xf xfx0 ，构造 h xex5对于 xf 'xfx0 ，构造 h

2、 xxfx6对于 xf 'xfx0 ，构造 h xfxx变式 1设 f ( x) 是定义在 R 上的可导函数， 且满足 f ( x)xf ' ( x)0 .则不等式 f ( x 1)x 1f ( x2 1)的解集为变式2已知函数f ( x)是定义在R 上的奇函数，f (1) 0， xf ( x) f (x)0（ x，则不等式x20）x 2 f ( x) 0 的解集是.变式 3. 已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数， f (2)0 ，当 x0 时，有 xf '( x) f ( x)0 成立，则x2不等式 f (x) 0 的解集是变式 4. 设奇函数f ( x

3、) 定义在 (,0)(0,) 上 ，其导函数为f ( x) ，且 f ()0 ，当 0x时，2精品资料欢迎下载f ( x)sin xf ( x)cos x0 , 则关于 x 的不等式f ( x)2 f ()sin x 的解集为6变式 5定义在 R 上的函数f ( x) 满足： f(x) 1 f ( x) ， f (0)6 ， f ( x) 是 f ( x) 的导函数，则不等式ex f (x) ex5 （其中 e 为自然对数的底数）的解集为变式 6已知函数f ( x) （xR ）满足 f (1)2，且 f ( x) 在 R上的导数 f ( x)1，则不等式 f (2x) 2x 1的解集为变 式8

4、 已 知 函 数 f ( x)x 1 a l n x (a R) 若 a0 ， 对 任 意 x1, x2(0,1 ， 且 x1x2 ， 都 有| f ( x )f ( x)| 4|11 | ，求实数 a 的取值范围12x1x2例已知函数 f(x) alnx 1x2 (a 1)x 1若 a 0，且对任意 x1，x2 (0， )， x1 x2，都有 | f(x1)f(x2)|2 2| x1 x2|，求实数a 的最小值精品资料欢迎下载构造函数法证明不等式的六种方法1、利用导数研究函数的单调性极值和最值，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，也是近几年高考的热点。2、解题技巧是构

5、造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键。以下介绍构造函数法证明不等式的八种方法：回顾：不等式的恒成立问题和存在性问题一 作差法构造函数证明【例 2】已知函数 f ( x)1 x 2ln x. 求证：在区间 (1,) 上，函数 f ( x) 的图象在函数 g( x)2x3 的图23象的下方；分析：函数 f ( x) 的图象在函数g( x) 的图象的下方不等式 f ( x) g( x) 问题，【警示启迪】本题首先根据题意构造出一个函数（可以移项，使右边为零，将移项后的左式设为函数）利用导数

6、判断所设函数的单调性，再根据函数单调性的定义，证明要证的不等式。读者也可以设，并F ( x)f ( x)g (x)做一做，深刻体会其中的思想方法。精品资料欢迎下载二、换元法构造函数证明【例 3】（ 2007 年，山东卷）证明：对任意的正整数n，不等式分析：本题是山东卷的第（II ）问，从所证结构出发，只需令ln( 11)11都成立 .nn2n31x ，则问题转化为：当 x0 时，恒n有 ln( x1)x 2x3 成立，现构造函数h( x)x 3x 2ln( x1) ，求导即可达到证明。【警示启迪】我们知道，当 F (x) 在 a,b 上单调递增， 则 x a 时，有 F ( x)F ( a)

7、如果 f ( a) ( a) ，要证明当 x a 时， f (x)( x) ，那么，只要令F ( x) f (x) ( x) ，就可以利用F (x) 的单调增性来推导也就是说，在 F (x) 可导的前提下，只要证明F '( x) 即可三、从条件特征入手构造函数证明【例 4】若函数 y= f ( x) 在 R上可导且满足不等式x f ( x) > f ( x) 恒成立，且常数 a，b 满足 a>b，求证：af (a) >b f (b)【解】由已知x f (x) + f ( x) >0 构造函数F ( x)xf (x) ，则 F ' (x)x f ( x)

8、+ f (x) >0， 从而 F (x) 在 R上为增函数。ab F (a)F (b)即 a f ( a) >b f (b)【警示启迪】由条件移项后xf ( x)f (x) ，容易想到是一个积的导数，从而可以构造函数F (x)xf ( x) ，求导即可完成证明。若题目中的条件改为xf ( x)f ( x) ，则移项后xf ( x)f ( x) ，要想到是一个商的导数的分子，平时解题多注意总结。精品资料欢迎下载四、构造二阶导数函数证明导数的单调性x12例已知函数f ( x)aex(1) 若 f(x) 在 R 上为增函数 , 求 a 的取值范围 ;(2) 若 a=1, 求证 :x 0

9、时 ,f(x)>1+x小结：当函数取最大（或最小）值时不等式都成立，可得该不等式恒成立，从而把不等式的恒成立问题可转化为求函数最值问题不等式恒成立问题，一般都会涉及到求参数范围，往往把变量分离后可以转化为mf (x) ( 或 mf (x) ) 恒成立，于是m 大于 f ( x) 的最大值（或m 小于 f ( x) 的最小值），从而把不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题因此，利用导数求函数最值是解决不等式恒成立问题的一种重要方法五. 对数法构造函数（选用于幂指数函数不等式）例：证明当 x111x0时, (1 x)xe2精品资料欢迎下载六. 构造形似函数例：证明当 bae, 证明 abba例：已知m、 n 都是正整数，且1mn, 证明： (1m) n (1 n) m【思维挑战】1 、（ 2007 年，安徽卷）设 a0, f ( x) x1 ln 2 x2a ln x求证：当 x1时，恒有 xln 2 x 2aln x1 ，2、（ 2007 年，安徽卷）已知定义在正实数集上的函数f ( x)1 x22ax, g ( x)3a 2 ln x b, 其中 a>0，且 b5 a 23a2 ln a ，22求证： f ( x)g ( x)3、已知函数 f ( x)ln(1x)xa 、 b ，求证：对任意的正数1x恒有 l