第三讲不等式线性规划计数原理与二项式定理

1、优秀学习资料欢迎下载第三讲 不等式、线性规划、计数原理与二项式定理研热点（聚焦突破）类型一不等式的性质与解法1不等式的同向可加性2不等式的同向可乘性3不等式的解法abacbdcdab0acbdcd0一元二次不等式 ax2 bx c>0( 或 <0) 若>0，其解集可简记为：同号两根之外，异号两根之间例 1(1)(20XX 年高考湖南卷 ) 设 a>b>1， c<0，给出下列三个结论： c > c ； ac<bc； logb( a c)>log a( b c) a b()其中所有的正确结论的序号是AB CD (2)(20XX年高考江苏卷 )

2、已知函数 f ( x) x2 ax b( a， b R)的值域为 0 ， ) ，若关于 x 的不等式 f ( x)< c的解集为 ( m， m 6) ，则实数 c 的值为 _跟踪训练(20XX 年高考福建卷 ) 已知关于x的不等式x2 2>0 在 R 上恒成立，则实数a的取值范围是 _axa类型二线性规划求目标函数最值的一般步骤(1) 作出可行域；(2) 借助图形确定函数最值的取值位置，并求最值例 2(20XX 年高考课标全国卷) 已知正三角形ABC的顶点 A(1 ， 1) ， B(1 ， 3) ，顶点 C在第一象限，若点( x，y) 在 ABC内部，则 z xy 的取值范围是 (

3、)A(1 3 ，2)B (0 ，2)C ( 3 1，2)D(0 ，1 3 )跟踪训练x0，则 z y1 的取值范围是 ()(20XX 年泰安高三模考 ) 设变量 x， y 满足约束条件y04x 3y12x1A0 ，4B 1 ，5C 5 ，6D2 ，1044类型三均值不等式的应用1.a2b22ab （ a,bR）2.abab （ a,bR）22a2b22ab （ a, b R ）3.aba2b（ a,bR）4.abab22ab例 3(20XX 年高考浙江卷 ) 若正数 x， y 满足 x 3y 5xy，则 3x 4y 的最小值是 ()A.24B.28C5D 655跟踪训练，若 2 y8x 2已知

4、 x>0，y>0m恒成立，则实数m的取值范围是()x>m2yA m 4 或 m 2Bm 2 或 m 4C 2<m<4D 4<m<2类型四 排列与组合1加法计数原理与乘法计数原理针对的分别是“分类”与“分步”问题优秀学习资料欢迎下载mn！mn！2排列数 An（n）！.组合数 Cn ！（）！.mmnm3组合数性质mn m(2)Cmm 1m(1)C C；nCC.nnnn 1例 4(20XX 年高考北京卷 ) 从 0，2 中选一个数字，从1，3，5 中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为 ()A 24B18 C 12 D 6跟踪训练(20XX

5、年高考山东卷 ) 现有 16 张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4 张，从中任取 3 张，要求这 3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1 张不同取法的种数为()A232 B 252 C 472D 484类型五 二项式定理k n k k1二项展开式的通项：( k 0， 1， n) Tk 1 Cn ab2二项式系数为01rn 0， 1， n) C， C， C ， C ( rnnnn3用赋值法研究展开式中各项系数之和例 5(20XX 年高考安徽卷 )( x2 2)(1 1) 5 的展开式的常数项是()x2A 3B 2C 2D 3跟踪训练(20XX 年郑州模拟 ) 在二项式 ( x2

6、1 ) n 的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为()xA 32B 32C 0D 1析典题（预测高考）高考真题【真题】(20XX 年高考江苏卷 ) 已知正数 a，b， c 满足： 5c 3a b4c a， cln ba cln c，则 b 的取值范a围是 _考情展望高考对线性规划的考查比较灵活， 多以选择、 填空形式出现， 主要考查利用线性规划求目标函数最值及应用 常涉及距离型、斜率型、截距型有时与函数、圆、平面向量等知识相综合名师押题x1 0【押题】如果点 P 在不等式组 2x3y5 0 所确定的平面区域内，点Q在曲线 ( x 2) 2( y 2) 21 上，4x3y

7、1 0那么| |的最小值为 ()PQA 1B 2C 3D 6第三讲不等式、线性规划、计数原理与二项式定理优秀学习资料欢迎下载研热点（聚焦突破）类型一不等式的性质与解法1不等式的同向可加性2不等式的同向可乘性3不等式的解法abacbdcdab0acbdcd0一元二次不等式 ax2 bx c>0( 或 <0) 若>0，其解集可简记为：同号两根之外，异号两根之间例 1(1)(20XX 年高考湖南卷 ) 设> >1，<0，给出下列三个结论：a bc c > c ； ac<bc； logb( a c)>log( b c) a ba()其中所有的正确结

8、论的序号是AB CD (2)(20XX年高考江苏卷 ) 已知函数 f ( x) x2 ax b( a， b R)的值域为 0 ， ) ，若关于 x 的不等式 f ( x)< c的解集为 ( m， m 6) ，则实数 c 的值为 _解析(1) 根据不等式的性质构造函数求解 > >1， 1<1.a ba b又 c<0， c > c ，故正确ab构造函数 y xc. c<0， y xc 在 (0 ， ) 上是减函数又 a>b>1， ac<bc，故正确 a>b>1， c>0， a c>bc>1. a>b&g

9、t;1， log b( ac)>log a( a c)>log a( b c) ，即 log b( ac)>log a( b c) ，故正确(2) 通过值域求 a， b 的关系是关键2由题意知 f ( x) x2 ax b ( x a) 2b a .24a2a2 f ( x) 的值域为 0 ， ) ， b 4 0，即 b 4 .a 2 f ( x) ( x 2) .又f()<， (x a)2< ，xc2caa即 2 c<x< 2 c.amc2解得 2c 6 ，am 6c2 c 9 答案 (1)D(2)9跟踪训练(20XX 年高考福建卷 ) 已知关于x

10、的不等式 x2 ax 2a>0 在 R 上恒成立，则实数a 的取值范围是 _解析： 利用“三个二次”之间的关系 x2 ax2a>0 在 R 上恒成立，a2 4×2a<0， 0<a<8.答案： (0 ， 8)类型二线性规划求目标函数最值的一般步骤优秀学习资料欢迎下载(1) 作出可行域；(2) 借助图形确定函数最值的取值位置，并求最值 例 2(20XX 年高考课标全国卷) 已知正三角形y) 在 ABC内部，则 z xy 的取值范围是 (ABC的顶点)A(1 ， 1) ， B(1 ， 3) ，顶点C在第一象限，若点( x，A(1 3 ，2)B (0 ，2)C(

11、3 1，2)D(0，13 ) 解析 利用线性规划知识，求解目标函数的取值范围如图，根据题意得C(1 3 ，2) 作直线 x y 0，并向左上或右下平移，过点 B(1 ，3) 和 C(1 3 ， 2) 时， z xy 取范围的边界值，即(13 ) 2<z< 1 3， 13 <z<2. z xy 的取值范围是答案A(1 3，2)跟踪训练x0，则 z y1 的取值范围是 ()(20XX 年泰安高三模考 ) 设变量 x， y 满足约束条件y04x3yx112A0 ，4B 1，5C 5 ，6D2 ，1044解析：y1 表示过点 ( x， y) 与点 ( 1， 1) 的直线的斜率x

12、1根据题意，作出可行域，如图所示，由图知 y1 的最小值是101 ，最大值是145 ，故选 B.x113410答案： B类型三均值不等式的应用1.a2b22ab （ a,bR）2.abab （ a,bR ）2a b2a2b2a b2ab （ a,b3.ab（ a,bR）4.abR ）222a b例 3(20XX 年高考浙江卷 ) 若正数 x， y 满足 x 3y 5xy，则 3x 4y 的最小值是 ()A.24B.28C5D 655 解析 将已知条件进行转化，利用基本不等式求解1 13 x>0， y>0，由 x 3y5xy 得 5( y x) 1.1131 312yx 3x 4y

13、5(3 x 4y)( y x) 5( y 4 9 x )优秀学习资料欢迎下载131312y131312yxx 5 5( y x ) 5 5×2y · x 5( 当且仅当 x2y 时取等号 ) ， 3x 4y 的最小值为 5.答案C跟踪训练已知 x>0，y>0，若2 y8x2xy>m 2m恒成立，则实数 m的取值范围是 ()A m 4 或 m 2 B m 2 或 m 4C 2<m<4 D 4<m<2解析： 因为 x>0， y>0，所以 2 y8x 2168.xy要使原不等式恒成立，只需2 2 <8， 解得 4<

14、 <2.答案： Dmmm类型四 排列与组合1加法计数原理与乘法计数原理针对的分别是“分类”与“分步”问题2排列数mn！组合数mn！A （ n m）！ .C m！（ n m）！ .nn3组合数性质(1)Cmn m(2)Cmm 1mn C； C C .nnnn 1例 4(20XX 年高考北京卷 ) 从 0，2 中选一个数字，从1，3，5 中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为 ()A 24B18C12D6解析根据所选偶数为0 和 2 分类讨论求解22 个数字中选1 个排在末位有1当选 0 时，先从 1，3， 5 中选 2 个数字有 C3 种方法，然后从选中的C2 种方法，剩余

15、 1 个数字排在首位，共有C32C12 6( 种 ) 方法；当选2 时，先从1， 3， 5 中选 2 个数字有 C32 种方法，然后从选中的2 个数字中选1 个排在末位有 C12种方法， 其余 2 个数字全排列， 共有 C32 C12 A 22 12( 种) 方法依分类加法计数原理知共有6 1218( 个 ) 奇数答案B跟踪训练(20XX 年高考山东卷 ) 现有 16 张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4 张，从中任取 3 张，要求这 3 张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1 张不同取法的种数为 ()A 232B 252C 472D484解析： 利用分类加法计数原理和组合的概念

16、求解分两类：第一类，含有1 张红色卡片，共有不同的取法C14 C122 264( 种) ；第二类，不含有红色卡片，共有不同的取法 C33C3 22012 208( 种 ) 由分类加法计数原理知不同的取法有264 208 472( 种 ) 124答案： C类型五 二项式定理k n k k1二项展开式的通项：( k 0， 1， n) Tk 1 Cn a b2二项式系数为01rnCn， Cn， Cn， Cn( r 0， 1， n) 3用赋值法研究展开式中各项系数之和优秀学习资料欢迎下载例 5(20XX 年高考安徽卷 )( x2 2)(1 1) 5 的展开式的常数项是 ()A 3B 2Cx2 2D 3

17、解析利用二项展开式的通项求解15二项式 ( x2 1)展开式的通项为：Tr 15r·(1)rr2r 10·( 1)r.C( x ) C· xr 1525当 2r 10242·(1)4442，即 r 4 时，有 x·C5xC5×( 1) 5；当 2r 100，即 r 5505 2.时，有 2·Cx ·( 1)5展开式中的常数项为5 2 3，故选 D.答案D跟踪训练21n的展开式中， 所(20XX 年郑州模拟 ) 在二项式 ( x )x有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为()A 32B 32C 0D 1解析

18、： 依题意得所有二项式系数的和为2n 32，解得 n 5. 因此，该二项展开式中的各项系数的和等于(12150，选 C.答案： C)1析典题（预测高考）高考真题【真题】(20XX 年高考江苏卷 ) 已知正数 a，b， c 满足： 5c 3a b4c a， cln ba cln c，则 b 的取值范围是 _aab 4c【解析】由题意知3ab 5cc ln b a c ln cab cec作出可行域 ( 如图所示 ) a b4c，c7由 3a b 5c，得 a2， b 2c.ab 4c，得 4c， 4ce由a.abe1e1b cec，b此时 ( a) max 7.4cebe 1b此时 ( a) min4c e. 所以 ae ， 7 e 1【答案】e ， 7【名师点睛】本题主要考查了不等式的性质、线性规划的应用等知识，命题角度创新，难度较大，解决此题的关键是将问题转化为线性规划问题，通过数形结合思想来解决考情展望高考对线性规划的考查比较灵活， 多以选择、 填空形式出现，