第十六章分式知识点和典型例习题

1、学习必备欢迎下载第十六章分式知识点和典型例习题【知识网络】【思想方法】1转化思想转化是一种重要的数学思想方法，应用非常广泛，运用转化思想能把复杂的问题转化为简单问题，把生疏的问题转化为熟悉问题，本章很多地方都体现了转化思想，如，分式除法、分式乘法；分式加减运算的基本思想：异分母的分式加减法、同分母的分式加减法；解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，从而得到分式方程的解等2建模思想本章常用的数学方法有：分解因式、通分、约分、去分母等，在运用数学知识解决实际问题时，首先要构建一个简单的数学模型，通过数学模型去解决实际问题，经历“实际问题 分式方程模型 求解 解释解的合理性 ”的数学化过程

2、，体会分式方程的模型思想，对培养通过数学建模思想解决实际问题具有重要意义3类比法本章突出了类比的方法，从分数的基本性质、约分、通分及分数的运算法则类比引出了分式的基本性质、约分、通分及分式的运算法则，从分数的一些运算技巧类比引出了分式的一些运算技巧，无一不体现了类比思想的重要性，分式方程解法及应用也可以类比一元一次方程第一讲 分式的运算【知识要点】 1. 分式的概念以及基本性质;2. 与分式运算有关的运算法则3. 分式的化简求值 ( 通分与约分 )4. 幂的运算法则【主要公式】 1. 同分母加减法则 :bcbc a0aaa2. 异分母加减法则 :bdbcdabc da a 0, c 0 ;ac

3、acacac3. 分式的乘法与除法bdbdbcbdbd:cac,dacacaa4. 同底数幂的加减运算法则 : 实际是合并同类项5. 同底数幂的乘法与除法mn=am+nmnmn; a a; a÷ a =a6.积的乘方与幂的乘方:(ab)m= a m bn , (am) n= a mn7. 负指数幂 :a-p = 1pa0=1a8. 乘法公式与因式分解: 平方差与完全平方式(a+b)(a-b)=a 2- b 2 ;(a±b) 2= a 2±2ab+b2（一）、分式定义及有关题型题型一：考查分式的定义b , x2y 21【例 1】下列代数式中：x ,1xy,a,xy

4、，是分式的有：.2abxyxy题型二：考查分式有意义的条件【例 2】当 x 有何值时，下列分式有意义（ 1） x 4（2）3x（ 3）x2（ 4） 6 x（ 5）1x 4x2221| x | 3x1x题型三：考查分式的值为0 的条件【例 3】当 x 取何值时，下列分式的值为0.（ 1） x1（ 2） | x | 2（ 3） x22x 3x3x24x25x6题型四：考查分式的值为正、负的条件【例 4】（ 1）当 x 为何值时，分式4为正；8x（ 2）当 x 为何值时，分式5x为负；3(x1)2（ 3）当 x 为何值时，分式x2 为非负数 .x3学习必备欢迎下载练习：【例 4】已知： x12 ，求

5、 x 21 的值.1当 x 取何值时，下列分式有意义：xx2（ 1）1（2）3x（ 3）1【例 5】若 | x y1 | (2x3)20，求1的值 .( x 1) 26 | x | 31114x 2 yx练习：2当 x 为何值时，下列分式的值为零：1不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的系数化为整数.（ 1）5 | x 1 |（2）25x20.4a3 bx4x26x5（ 1） 0.03x0.2y（2）53解下列不等式10.08x0.5y1ab（ 1）| x |20（2）x50410x1x22x31x 22已知： x3 ，求的值 .xx2x413已知：113 ，求 2a3ab2b 的值 .（二

6、）分式的基本性质及有关题型abb aba4若 a 2b22ab 的值 .AAMAM2a6b100 ，求1分式的基本性质：3a5bB B MB M| x 2 |x 1| x |5如果1xaaaa2 ，试化简2 x| x 1|.2分式的变号法则：xbbbb题型一：化分数系数、小数系数为整数系数【例 1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数.（三）分式的运算12xy0.2a 0.03b1确定最简公分母的方法：（1） 23（2）0.04ab最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；1x1y34最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂.题型二：分数的系数变号2确定最大公因式的方法：最大公因

7、式的系数取分子、分母系数的最大公约数；【例 2】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号.取分子、分母相同的字母因式的最低次幂.（ 1）xy（ 2）a（ 3）a题型一：通分xyabb题型三：化简求值题【例 1】将下列各式分别通分 .【例 3】已知：115 ，求2x3xy2y的值 .cbaabxyx2xyy（ 1）2ab ,3a 2c ,5b2 c ；（ 2） ab ,2b2a；提示：整体代入，x y3xy ，转化出1 1（ 3）1x2；（ 4） a2,1x y .x , 1 2x x2 , x2x 2x 22 a学习必备欢迎下载题型二：约分【例 2】约分：（ 1）16 x2

8、y；（ 3） n 2m2；（3） x 2x2 .20xy 3mnx 2x6题型三：分式的混合运算【例 3】计算：（ 1） ( a 2b )3 (c2) 2(bc ) 4 ；（ 2） ( 3a 3) 3(x 2y 2 ) ( yx) 2 ；cabaxyyx（ 3） m 2nnn2m ；（ 4） a 21a1 ；nmmnma（ 5）112 x4x 38 x71 x 21 x4；1 x 1 x1 x 8（ 6）111；(x1)( x1)(x 1)( x3)( x3)( x5)（7） (x 244x1) ( x 22x )x 24x2x1题型四：化简求值题【例 4】先化简后求值（ 1）已知： x1 ，

9、求分子 1x284( x 241) (11 ) 的值；4x2x（ 2）已知： xyz ，求 xy2 yz3xz的值；234x2y2z2（ 3）已知：2310211a，试求 (aa 2 )(aa ) 的值 .a题型五：求待定字母的值【例 5】若 13xMN，试求 M,N 的值.x21x1x1练习：1计算（ 1） 2a 5a12a3 ；（ 2） a2bb22ab ；2(a1)2(a1)2(a1)aba（ 3）abca2b3cb2c；（ 4） ab2b 2；a b cb c ac a ba b4ab4ab) ；（ 6）112；（ 5） (a b)( ab1 x1 x2a ba b1 x（ 7）121

10、.( x 2)( x3)( x1)( x3)( x1)(x2)2先化简后求值（ 1） a1a 241，其中 a 满足 a 2a 0 .a2a22a1a21（ 2）已知 x : y2 : 3，求 ( x2xyy 2)( xy ) ( xy )3 x的值 .xy 23已知：5 x 4AB，试求 A、B的值.(x1)(2x1)x12x14当 a 为何整数时，代数式399a805 的值是整数，并求出这个整数值 .a2（四）、整数指数幂与科学记数法题型一：运用整数指数幂计算【例 1】计算：（ 1） (a2 ) 3 (bc 1)3（ 2） (3x 3 y 2 z1 )2 (5xy 2 z3 ) 2（ 3）

11、 (a b) 3 (a b) 5 2（ 4） ( x y) 3 (xy) 2 2 (x y) 6(a b) 2 (ab) 4题型二：化简求值题【例 2】已知 xx 15，求（ 1） x2x 2 的值；（ 2）求 x4x4的值 .题型三：科学记数法的计算学习必备【例 3】计算：（1） (3103 )(8.2102)2 ；（2） (4 103 ) 2(2 10 2)3.练习 ：1计算：（ 1） ( 11)( 1)2|1 |(13 )0(0.25)2007420083553（ 2） (3 1 m3 n 2 ) 2 (m 2 n) 3（ 3） (2ab 2 ) 2 (a 2b) 2(3a3 b2 )

12、(ab 3 ) 2（ 4） 4( xy) 2 ( x y) 2 22( xy)1 (xy)22已知 x25x10 ，求（ 1） xx 1 ，（ 2） x2x 2 的值 .第二讲 分式方程【知识要点】 1. 分式方程的概念以及解法;2. 分式方程产生增根的原因3. 分式方程的应用题【主要方法】 1. 分式方程主要是看分母是否有外未知数;2.解分式方程的关健是化分式方程为整式方程; 方程两边同乘以最简公分母.3. 解分式方程的应用题关健是准确地找出等量关系, 恰当地设末知数 .欢迎下载【例 2】解下列方程（ 1）x4x 44 ；（2） x 7 x 9 x 10 x 6x 1xx 6 x 8x 9x

13、 5提示：（1）换元法，设xy ；（2）裂项法，x7111x6.xx 6【例 3】解下列方程组111(1)xy2111( 2)yz3111(3)zx4题型三：求待定字母的值【例 4】若关于 x 的分式方程x21m 有增根，求 m 的值 .3x3【例 5】若分式方程2xa1的解是正数，求a 的取值范围 .x2提示： x2a0 且 x2 ，a2 且 a4 .3题型四：解含有字母系数的方程【例 6】解关于 x 的方程（一）分式方程题型分析题型一：用常规方法解分式方程xacbxd(cd0)【例 1】解下列分式方程（ 1）13 ；（2）210 ；（3） x1x241 ；（ 4） 5 x x5x 1 xx

14、 3 xx11x 3 4x提示易出错的几个问题：分子不添括号；漏乘整数项；约去相同因式至使漏根；忘记验根 .题型二：特殊方法解分式方程提示：（1） a,b,c, d 是已知数；（ 2） cd0 .题型五：列分式方程解应用题练习：1解下列方程：（ 1） x12 x0 ；（ 2）x24；x11 2 xx3x3学习必备欢迎下载（ 3）2x32；（4）7317x 2x 2 x 2x2x x x2x21（ 5） 5x 4 2x 5 1（6）11112x 4 3x 2 2x 1 x 5 x 2 x 4（ 7）xx9x1x8x2x7x1x62解关于 x 的方程：（1） 112(b2a) ；（ 2）1a1b

15、(ab) .axbaxbx3如果解关于xk2x会产生增根，求k 的值 .的方程 x 2x24当 k 为何值时，关于x 的方程 x3k1 的解为非负数 .x2(x 1)( x2)5已知关于 x 的分式方程 2a1a 无解，试求 a 的值 .x1（二）分式方程的特殊解法解分式方程，主要是把分式方程转化为整式方程，通常的方法是去分母，并且要检验，但对一些特殊的分式方程，可根据其特征，采取灵活的方法求解，现举例如下：一、交叉相乘法例 1解方程： 1x3x2二、化归法例 2解方程：1201x21x三、左边通分法例 3：解方程： x81x8x77四、分子对等法例 4解方程： 1a1b(a b)axbx五、观察比