上师大数学分析(I)期末试卷(A卷)参考答案

1、上海师范大学标准试卷2013 2014 学年 第一学期 考试日期 2014年 1月 13日考试时间： 120 分钟数学分析(一) 期末考试( A 卷)专业 年级 班 姓名 学号题号一二三四五六总分得分我承诺，遵守上海师范大学考场规则 ，诚信考试。 签名：得分、叙述下列概念定理(本大题满分1.9 分，每小题 3 分)写出描述实数完备性的三个定理 .a.b.单调有界定理：单调有界数列必有极限； 确界原理：非空有上 ( 下)界实数集合必有上 ( 下) 确界；c.d.柯西收敛准则：实柯西数列必收敛；闭区间套定理：实有界闭区间套 an,bn ,满足(1). an,bn an1,bn1 ,对 an,bn

2、，对所有的 n>1.任意的 n;(2). lim bn an 0.那么存在唯一的 ne. 聚点定理：有界无穷点集必有聚点。f. 有限覆盖定理：有界闭区间 a, b 的任意开覆盖必有有限 ( 子) 开覆盖。2. 一元函数在一点处的微分 .设函数 f ( x)在x0的领域中有定义，如存在数 A,使得在x0的领域中 成立f(x)f x0A(xx0)o xx0，称f(x)在x0处 可 微 ， 并 称 A(xx0)为f(x)在 x0的 微分。3. 带拉格朗日 (Lagrange) 余项的泰勒中值定理 .设 f (x)在 x0的邻域中有 n 1阶导数，那么在 x0 的邻域中成立得分f(x)(k)n

3、f ( k) x0kk 0 k! x x0n 1!(n 1)x x0,其中 介于x和 x0之间。二、判断题 ,对的打 , 错的打×（本大题满分10 分，每小题 2 分）1.无穷大量乘以有界量是无穷大量 .2.单调函数的间断点不可能是第二类间断点3.导函数单调的函数必单调 .4.两阶微分 d x 0.5.若 f （x） 在 x0 的某邻域内有三阶导数 , 且导数连续 ,f x0 f x0 0 ,得分f x0 0,则 x0 不是 f (x) 的极值点 .三、填空题（本大题满分 15 分，每小题3 分）1.设f x xx 1 x0, 1, 则2.1 n 2 n n lim n3.limx0

4、2 tan x 2 sin x4.导函数 ln1 x2fx1-x2x25. n 阶导函数 sin 2xn2nsin k22x得分四、求解下列各题（本大题满分36 分，第1-6 题每小题5 分，第 7 题 6 分）tan x1. 求极限 limx 0 xln1x sin2xlimx0lim 3x 02x3limx0cos2x6x213. 原式 e3.2.1原式lixm1x 1 ln xx - 1lnxlixm11 1/ xln x (x 1) / xlixm1问:3. 设函数 f x x cosx,x 0,其中 是实数.0,x 0.(1). 是何值时, f(x)在x0处连续;(2).是何值时,

5、f( x)在x0处可导;(3). 是何值时, f( x )的导函数在 x0处连续.(1).>0.1x cos x1 存在，当且仅当0, 且此时极限为零。>1.1,(2).f (' 0)x cos 1 - 0 1 lim x lim x -1 cos 1 存在，当且仅当 x 0 x x 0 x且此时极限为零。>2.(3).lim f(x) lim x 1cos 1 x 2sin s 1 存在，当且仅当2,x 0 x 0 x x且此时极限为零，即等 于f (' 0)。4. 详细写出利用导数判断方程 x ex x 1的实根的个数和范围的过程f(x) xex x 1.

6、 f '(x)x 1 ex 1.' 'xf (x) x 2e .x2时,f '(x)严格减,x2时,f '(x)严格增,f '(-2)e 2 1 0.lim f ' (x), lim f '(x)1.xxf ( 2)2e 2 1 0,f (0)1,f '(0) 0.x0是唯一的稳定点 .lim f(x), lim f(x) . 所 以 f(x) 恰 有 两 个 实 根 , 分 别 位 于xx(-2,0),(0,)(如果观察得到 f(1) e 20,也可以得到第二个实根 位于( 0,1)中 ).5. 求由参数方程ata1si

7、n t costa 0 确定的函数y y(x) 的一阶导数和二阶导数 .sin tdy a sin t dxa(1 cost )sin1 cost2d2yd x 21 costa(1 cos t )2a 1 cos tx6. 设 x , x 为二阶可导函数 ,求函数 y arctan 的一阶微分 . xdyddyx dx2(x)(x)(x) (x) (x) (x)dx2(x)(x) (x) (x) (x)dx.222(x)2(x),上下两个底面的材料价格为每单位面积7. 要制造容积 V 的有盖的圆柱形罐头料价格是每单位面积 b 元 ,问直径和高的比例为多少时造价最省 2xa 元 ,侧面的材设底

8、面直径为 x, 高为 h.由体积 Vh, 得到h4V 2x2所需总造价 y 2a x4 2b x24V2x21x2 4bV x 1求导得到 : y(x)a x 4bV x 2 .由 y'(x)0得到唯一的稳定点 x02/31/ 32/ 34V4bV4bV: 4V4bVb高 h0 4V, 直径与高之比aaaaa4bV也就是说 ,当直径与高之比为 b 时, 造价最省. a得分五、证明题(本大题满分 20分，每小题 5 分)1. 设 lim anna. 证明 :(1). lim nnan nna,其中x表示 x的整数部分 .(2). 若a0,an0, 则 lim n a1 a2 nana(1

9、). nann 1nnannan , 由迫敛性 n,lim nnannna.(2).由 limnana,a2 , N1 , n2N1 ,0 aana .n ann a1 a2 aN1 n aN1 1an,limnn a1a2aN11 N11, 0 a n1 N1n aN1 1 ana n .而 lim a n1 N11n1 N1 a ,lim a n na ,所以存在 N N1 ,使得n N时 , 1n a1 a2 aN1 1 , a 2 n aN11ana ,(1 )( a 2 ) n a 故有 : n N 时, n a1a2 an (1 )( a 2 ),1 a2 an a (2a 2)

10、.从而证得 :lim n a1 a2 an a. n2. 已知 x 0. 则:x2x2 ln( 1 x) x.记f(x)2xx2ln(x), g(x)ln( 1x) x.f (0)0,f (x)1x从而f(x) 0, x0时,即xx2x22x1x0(x0),ln( 1 x), x 0时.所以f(x)当x 0时严格递减 ,g(0) 0, g (x)x1 x x 0(x 0), 所以g(x)当x 0时严格递减 ,从而g(x) 0, x111x0时, 即 ln( 1 x) x,x 0时.3. 设 f(x) 为区间 0,1 上的非负函数 ,且是三阶可导函数 . 如果存在 0,1 中的两点 x1 x2,

11、 使得 f x1 f x2 0.证明 : 至少存在一点0,1 , 使得三阶导数 f 0.假设 x ( 0,1), f x 0.f(x) 0,f x1 f x2 0.故x1 , x 2是最小值点,也是极小值点 .所以f x1 0, f x2 0,f x1 0,f x2 0. 由罗尔定理 ,x3x1,x2,fx30.但fx0,有fx 严格递减, fx2fx30.这与 f x2 0矛盾.命题得证 .4. y lnx 在1, ) 上一致连续 .ln1 x1 x 2x20,当 x1, x2x1 x 2x1 x2x21, ), x1 x2,|x1 - x2| 时, | ln x 1 ln x 2 | ln x1所以, y lnx 在1, ) 上一致连续得分六、论述作图题(本大题满分210 分)讨论函数 y x 1 x3的定义域 ,渐近线,单调区间,极值(点), 凹凸区间 ,拐点, 并作出其图像 .定义域 :,处处连续 ,渐近线 :无 .'2y x 332 x 1 x 35x 12, y3 3x 3413 x 32 x 1