数量积向量积混合积PPT课件

1、1M一、两向量的数量积一、两向量的数量积沿与力夹角为的直线移动,W1. 定义设向量的夹角为 ,称 记作数量积(点积) .引例. 设一物体在常力 F 作用下, F位移为 s ,则力F 所做的功为cossFsFW2Mbacosba的与为baba,s机动 目录 上页 下页 返回 结束 第1页/共27页,0时当a上的投影为在ab记作故,0,时当同理babj rPb2. 性质为两个非零向量,则有baj rPcosbbabaaj rPbaaa) 1 (2aba,)2(0baba ba0ba则2),(ba0,0ba机动 目录 上页 下页 返回 结束 第2页/共27页3. 运算运算律律(1) 交换律(2) 结

2、合律),(为实数abbaba)()( ba)(ba)()(ba)(ba)(ba(3) 分配律cbcacba事实上, 当0c时, 显然成立 ;时当0cc)(ba babcj rPacj rPcbabacj rPc cbaccj rPj rPacj rP cbcj rPccacb)(j rPbac机动 目录 上页 下页 返回 结束 第3页/共27页ABCabc例例1. 证明三角形余弦定证明三角形余弦定理理cos2222abbac证:则cos2222abbac如图 . 设,aBC,bACcBAbac2c)()(babaaabbba22a2bcos2baccbbaa,机动 目录 上页 下页 返回 结束

3、 第4页/共27页4. 数量积的坐标表示数量积的坐标表示设则, 10zzyyxxbababa当为非零向量时,cos zzyyxxbababa222zyxaaa222zyxbbb由于 bacosba,kajaiaazyx,kbjbibbzyxba)(kajaiazyx)(kbjbibzyxii jjkk jikjikbaba baba,两向量的夹角公式 , 得机动 目录 上页 下页 返回 结束 第5页/共27页)(MB, )(MA BM例例2. 已知三点已知三点, )2,1 ,2(),1 ,2,2(, )1 , 1 , 1(BAM AMB . A解:, 1, 1 0, 1,01则AMBcos10

4、022213AMB求MBMAMA MB故机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6页/共27页体的质量P (流体密度为 ) .求单位时间内流过该平面域的流例例3. 设均匀流速设均匀流速为为的流体流过一个面积为A 的平面域 ,与该平面域的单位垂直向量,A解:单位时间内流过的体积APAA的夹角为且vvncosvcosvnv vnn为单位向量机动 目录 上页 下页 返回 结束 第7页/共27页二、两向量的向量二、两向量的向量积积引例. 设O 为杠杆L 的支点 ,有一个与杠杆OQOLPQ符合右手规则OQFFsinOPsinOPMFOPOPM M作用在杠杆上的力矩是一个向量 M :的力 F 作用在杠杆的

5、P点上 ,则力 FFoPFMFM 机动 目录 上页 下页 返回 结束 夹角为第8页/共27页1. 定定义义定义向量方向 :(叉积)记作且符合右手规则模 :向量积 ,，的夹角为设ba,c,acbccsinabbac称c的与为向量babacba引例中的力矩FOPM思考: 右图三角形面积abba21S机动 目录 上页 下页 返回 结束 第9页/共27页2. 性质性质为非零向量, 则，0sin或即0aa) 1 (0ba,)2(0baba,0,0时当baba0basinab03. 运算律(2) 分配律(3) 结合律(证明略)abcba )(cbcaba )()( ba)(baba) 1 (证明:机动 目

6、录 上页 下页 返回 结束 第10页/共27页)(kajaiazyx)(kbjbibzyx4. 向量积的坐标表示式向量积的坐标表示式设则,kajaiaazyx,kbjbibbzyxba)(iibaxx)(jibayx)(kibazx)(ijbaxy)(kjbazy)(ikbaxz)(jkbayzibabayzzy)(jbabazxxz)(kbabaxyyx)()(jjbayy)(kkbazzijk机动 目录 上页 下页 返回 结束 第11页/共27页向量积的行列式计算向量积的行列式计算法法kjixayazaxbybzb,zyzybbaa,zxzxbbaayxyxbbaabaibabayzzy)

7、(jbabazxxz)(kbabaxyyx)(kajaiaazyxkbjbibbzyx( 行列式计算见 P339P342 ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第12页/共27页例例4. 已知三点已知三点, )7,4,2(),5,4,3(, )3,2, 1(CBA角形 ABC 的面积 解: 如图所示,CBASABC21kji222124)(21,4,622222)6(42114sin21AB AC21ACAB求三机动 目录 上页 下页 返回 结束 第13页/共27页刚体上一点 M 的线速度例例5. 设刚体以等角速度设刚体以等角速度 绕绕 l 轴轴旋转旋转, 导出的表示式 . Ml解: 在轴

8、l 上引进一个角速度向量使a其在 l 上任取一点 O,O作它与则点 M离开转轴的距离a且符合右手法则的夹角为 , ,sinar, rOM vsinr,vr rvvv方向与旋转方向符合右手法则 ,r向径机动 目录 上页 下页 返回 结束 第14页/共27页*三、三、向量的混合向量的混合积积1. 定义已知三向量称数量混合积 .记作几何意义 为棱作平行六面体,底面积高h故平行六面体体积为hAV coscba)(cba,cba的为cba,Abaccba,以则其cosbaccba)(cbabacba机动 目录 上页 下页 返回 结束 第15页/共27页zyxzyxbbbaaaxcyczckji2. 混合

9、积的坐标表混合积的坐标表示示设xayazaxbybzbzxzxbbaayxyxbbaacba)(ba, ),(zyxaaaa cbazyzybbaa, ),(zyxbbbb ,zyzybbaa,zxzxbbaayxyxbbaaxcyczc机动 目录 上页 下页 返回 结束 ,(yxccc )zc第16页/共27页3. 性质性质(1) 三个非零向量共面的充要条件是0(2) 轮换对称性 :(可用三阶行列式推出)cbacba,a b cab ca bcabc机动 目录 上页 下页 返回 结束 第17页/共27页例例6. 已知一四面体的顶已知一四面体的顶点点),(kkkkzyxA,3,2, 1( k4

10、 ) , 求该四面体体积 . 1A2A3A4A解: 已知四面体的体积等于以向量为棱的平行六面体体积的,61故 61V6112xx 12yy 12zz 13xx 13yy 13zz 14xx 14yy 14zz ,21AA,31AA41AA413121AAAAAA机动 目录 上页 下页 返回 结束 第18页/共27页例例7. 证明四点证明四点, )3,3,2(),6,5,4(, )1 , 1 , 1(CBA共面 .解: 因0)17,15,10(DABCD34512291416故 A , B , C , D 四点共面 .ADACAB机动 目录 上页 下页 返回 结束 第19页/共27页内容小结内容

11、小结设1. 向量运算加减:数乘:点积:),(zzyyxxbabababa),(zyxaaaazzyyxxbabababa),(, ),(, ),(zyxzyxzyxccccbbbbaaaa叉积:kjixayazaxbybzbba机动 目录 上页 下页 返回 结束 第20页/共27页混合积混合积:2. 向量关系:xxabyyabzzab0zzyyxxbabababa/ba 0bazyxzyxzyxcccbbbaaacba)(cba共面cba,0zyxzyxzyxcccbbbaaa0)(cba机动 目录 上页 下页 返回 结束 0ba第21页/共27页思考与练习思考与练习1. 设计算并求夹角 的正

12、弦与余弦 .)3, 1, 1 (,321cos1211sin答案:2. 用向量方法证明正弦定理:CcBbAasinsinsinba,1baba,2jibkjia,baba及BabcAC机动 目录 上页 下页 返回 结束 第22页/共27页证证: 由三角形面积公式由三角形面积公式AcbsinBacsinBbAasinsin所以CcsinCbasin因BabcACABACSABC21BCBA21CACB21ABAC BCBACACB机动 目录 上页 下页 返回 结束 第23页/共27页P310 3 , 4 , 6 , 7 , 9(1) ; (2) , 10 , 12第三节 目录 上页 下页 返回 结束 作业 第24页/共27页22343cos322)2(17备用题备用题1. 已知向量的夹角且解：,43ba ,. |ba 求, 2|a, 3|b2ba)()(babaaaba2bb22cos2bbaa17ba机动 目录 上页 下页 返回 结束 第25页/共27页22200)2(2