高等数学课件：4-2 换元积分法

1、问题问题 xdx2cos,2sinCx 解决方法解决方法利用复合函数，设置中间变量利用复合函数，设置中间变量.过程过程令令xt2 ,21dtdx xdx2cosdtt cos21Ct sin21.2sin21Cx 4.2 换元积分法换元积分法4.2.1 第一类换元法第一类换元法xxCx2cos2cos2)2(sin .2cos)2sin21(xCx xxd 22cos21 凑微分凑微分1、第一类换元法、第一类换元法?sincos2 xdxx可以设想，若可以设想，若,cossinxdxdx 例如对于积分例如对于积分 xdxxsincos2,coscos2 xxd则有有令令,cosxu xxd c

2、oscos2,3132Cuduu 代回变量代回变量x,得得 xdxxsincos2.cos313Cx 验证 xdxxsincos2.cos313Cx 是否正确. Cx3cos31 xxsincos3312 .sincos2xx 故，此结果正确故，此结果正确. 下面对一般的情形给出证明下面对一般的情形给出证明.定理定理1 (第一类换元法）若第一类换元法）若,)()(CuFduuf )(xu 有连续导数，则有连续导数，则 .)()()(CxFdxxxf 证证 只要只要).()()()()()(xxfxxFxFdxdCxFdxd 即可即可.由条件由条件,)()(CuFduuf 即),()(ufuF

3、于是)()()(xxfCxF 定理得证定理得证.根据定理根据定理1 ,若若,)()(CuFduuf )(xu 有连续导数，则有连续导数，则 .)()()(CxFdxxxf 由此定理，可按下列顺序求不定积分：由此定理，可按下列顺序求不定积分： )()()()(xdxfdxxxf .)(CxF CuFduuf )()()(xu)(xu第一类换元公式第一类换元公式（凑微分法凑微分法）例1 .3sin31sin31cos31CxCuudu )3(3cos313cosxxdxdxxu 3 令令原式例例2 dxx8)12()12()12(218 xdx12 xu令令原式原式.)12/p>

4、CxCuduu 一般地，有一般地，有 )()(1)(baxdbaxfadxbaxf)1, 0()(2 madxbaxxm求求例例3 baxdbaxam2221baxu 2令令 .1)1(21)1(2121121CaxmaCumaduuammm 原式原式一般地，有一般地，有 .)1(1111baxdbaxfnadxbaxfxnnnn例例4 dxxx2ln xxd lnln2xuln 令令 .ln3131332CxCuduu原式原式一般地，有一般地，有 .lnlnln1xdxfdxxfx例例5 dxxex21 .111Cedexxx 一般地，有 .11121 xxxdfdxxf例例6 xdxxco

5、ssin4.sin51sinsin54Cxxxd 例例7 xdxtan .coscos1cossinxdxdxxx（公式）一般地，有 .coscossincos,sinsincossin xdxfxdxxfxdxfxdxxf或.coslntanCxxdx 所以类似地.sinlncotCxxdx 例例8 2211axdxa axdaax2111.arctan122Caxaxadx （公式） 0122 adxxa例9 axddxaaxax2211111（公式）.arcsin122Caxdxxa 所以 22xadx所以 0 a dxax221求求例例10 对被积函数进行代数、几何恒等变形，再对被积函

6、数进行代数、几何恒等变形，再使用换元积分法的例：使用换元积分法的例：由于 .112121122 axaxaaxaxaxaxaax dxaxaxadxax1121122解解所以例例10 dxaxaxadxax1121122 axdaxaxdaxadxaxdxaxa11211121 Caxaxa lnln21（公式）.ln21122Caxaxadxax 所以.ln21122Caxaxadxax （公式）类似地.ln21122Caxaxadxxa 例11 dxxx522 dxxx55522.5arctan55512Cxxdxx 以上施行的是将分子加项减项的恒等变形；也可将被积函数同乘、同除一个函数，

7、化为容易积分的形式. 请看下例：例例12 dxex11 dxeexx1 .1ln111Ceedexxx 下面再举一些含三角函数的积分的例子，有下面再举一些含三角函数的积分的例子，有 时需要先用三角公式作恒等变形，化成容易积时需要先用三角公式作恒等变形，化成容易积 分的形式。常用的三角公式有：分的形式。常用的三角公式有：同角公式：;csccot1,sectan1, 1cossin222222xxxxxx 倍角公式：;22cos1cos,22cos1sin, 12cos22sin212sin2coscos222222xxxxxxxxx .coscos21coscos,coscos21sinsin,

8、sinsin21cossinxxxxxxxxxxxx ,2cos2sin2sinxxx 积化和差：例例13 dxxxdxx2coscoscos1Cxxxxd sin1sin1ln21sin1sin2（由公式） .tanseclncossin1ln21sin1sin1ln21222CxxCxxCxx .tanseclnsecCxxxdx 公式：类似地，有.cotcsclncscCxxxdx xdxsec特殊类型三角函数的积分：特殊类型三角函数的积分：1. 形如,sinsin,cossin nxdxmxnxdxmx.coscos nxdxmx积化和差积化和差.例14 dxxxxdxx5coscos

9、212cos3cosCxx 5sin51sin21.5sin101sin21Cxx 特殊类型三角函数的积分：特殊类型三角函数的积分：1. 形如,sinsin,cossin nxdxmxnxdxmx.coscos nxdxmx积化和差.2. 形如.cossin xdxxnm(1) m，n中有一个为奇数：中有一个为奇数： ,coscoscossin xdxfxdxxmnm为正奇数为正奇数(2) m, n均为正偶数：均为正偶数： .sinsincossinxdxfxdxxnnm为正奇数为正奇数22cos1sin,22cos1cos22xxxx 由由降幂降幂例15 xxdxxxxsincossindc

10、ossin4252.sin71sin52sin31753Cxxx xdxxxsinsinsin21sin422 xdxxsinsin1sin222 dxxxdx242cos121cos例例16.4sin3212sin4183Cxxx Cxxxx 4sin321812sin4141 dxxxx4cos121412sin4141 dxxx2cos2cos21412 xdxx35sectan例17.sec31sec52sec71357Cxxx xxdxxsecsec1sec2sec224 xxdxsecsec1sec222 xxdxsecsectan24 xxdxdxtansecsec46例18.t

11、an51tan32tan53Cxxx xdxxtantantan2142 xdxtantan122例例1 1 求求.2sin xdx解解（一）（一） xdx2sin )2(2sin21xxd;2cos21Cx 解解（二）（二） xdx2sin xdxxcossin2 )(sinsin2xxd ;sin2Cx 解解（三）（三） xdx2sin xdxxcossin2 )(coscos2xxd .cos2Cx 三种积法，所得结果形式不同，如何验证？三种积法，所得结果形式不同，如何验证？例例2 2 求求.231dxx 解解,23)23(21)23(23121231xxdxxx dxx 231dxxx

12、)23(23121 duu 121Cu ln21.23ln21Cx dxbaxf)( baxuduufa)(1一般地一般地uu例例3 3 求求.)ln21(1dxxx 解解dxxx )ln21(1)(lnln211xdx )ln21(ln21121xdx xuln21 duu121Cu ln21.ln21ln21Cx 例例4 4 求求.)1(3dxxx 解解dxxx 3)1(dxxx 3)1(11)1()1(1)1(132xdxx 221)1(2111CxCx .)1(21112Cxx 例例6 6 求求.25812dxxx 解解dxxx 25812dxx 9)4(12dxx 13413122

13、341341312xdx.34arctan31Cx 例例7 7 求求.11dxex 解解dxex 11dxeeexxx 11dxeexx 11dxeedxxx 1)1(11xxededx .)1ln(Cexx 例例8 8 求求.)11(12dxexxx 解解,1112xxx dxexxx 12)11()1(1xxdexx .1Cexx 例例9 9 求求.12321dxxx 原式原式 dxxxxxxx 123212321232dxxdxx 12413241)12(1281)32(3281 xdxxdx .121213212133Cxx 例例1010 求求解解.cos11 dxx dxxcos11

14、 dxxxxcos1cos1cos1 dxxx2cos1cos1 dxxx2sincos1 )(sinsin1sin122xdxdxx.sin1cotCxx 例例1111 求求解解.cossin52 xdxx xdxx52cossin )(sincossin42xxdx )(sin)sin1(sin222xdxx )(sin)sinsin2(sin642xdxxx.sin71sin52sin31753Cxxx 说明说明 当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分次项去凑微分.例例1212 求求解解.2cos3cos xdxx),cos()cos(21cos

15、cosBABABA ),5cos(cos212cos3cosxxxx dxxxxdxx)5cos(cos212cos3cos.5sin101sin21Cxx .cossin42 xdxx例例1313 求求dxxxxdxx242)22cos1(22cos1cossin 解解：dxxx )2cos1)(2cos1(812dxxx )2cos1)(24cos11(81dxxx )2cos1)(4cos1(161dxxxxx )2cos4cos2cos4cos1(161dxxxxdxxdxdx )6cos2(cos212cos4cos161Cxxxx 6sin1212sin414sin41161例例1

16、313 求求解解（一）（一） dxxsin1.csc xdx xdxcsc dxxx2cos2sin21 22cos2tan12xdxx 2tan2tan1xdxCx 2tanln.)cotln(cscCxx （使用了三角函数恒等变形）（使用了三角函数恒等变形）解解（二）（二） dxxsin1 xdxcsc dxxx2sinsin )(coscos112xdxxucos duu211 duuu111121Cuu 11ln21.cos1cos1ln21Cxx 类似地可推出类似地可推出.)tanln(secsec Cxxxdx解解例例1414 设设 求求 .,cos)(sin22xxf )(xf令

17、令xu2sin ,1cos2ux ,1)(uuf duuuf 1)(,212Cuu .21)(2Cxxxf 例例1515 求求解解.2arcsin412dxxx dxxx 2arcsin41222arcsin2112xdxx )2(arcsin2arcsin1xdx .2arcsinlnCx dxxx211arctan)10( dxxxxdxxx2221111arctan11arctan解：解：Cx 2)1(arctan21 )1(arctan1arctanxdx)1(d111arctan2 xxx dxxxx221111arctan dxxxxsincostanln)7( dxxxxsinc

18、ostanln解：解： )tan(lntanlnxxd xxxtandtantanln dxxxxx2cos1cossintanlnCx 2)tan(ln21问题问题?125 dxxx解决方法解决方法改变中间变量的设置方法改变中间变量的设置方法.过程过程令令txsin ,costdtdx dxxx251tdtttcossin1)(sin25 tdtt25cossin （应用（应用“凑微分凑微分”即可求出结果）即可求出结果）4.2.2 第二类换元法第二类换元法证证设设 为为 的原函数的原函数,)(t )()(ttf 令令)()(1xxF 则则dxdtdtdxF )()()(ttf ,)(1t 其

19、其中中)(1x 是是)(tx 的的反反函函数数. . 设设)(tx 是单调的、可导的函数，是单调的、可导的函数， )(1)()()(xtdtttfdxxf 则有换元公式则有换元公式并且并且0)( t ，又设又设)()(ttf 具有原函数，具有原函数，定理定理2 2第二类积分换元公式第二类积分换元公式 CxFdxxf)()(,)(1Cx )(1)()()(xtdtttfdxxf )(tf ).(xf 说明说明)(xF为为)(xf的原函数的原函数,.1d xx例：求例：求.1ln22Cxx Ctt 1ln22 ttt 1d112d12ttd1112 tttd1112 ttt1d2 xx1d,d2d

20、,:2ttxtxtx 令令解解tx 例例1717 求求解解.423dxxx 令令txsin2 tdtdxcos2 2,2tdxxx 234 tdtttcos2sin44sin223 tdtt23cossin32 tdttt22cos)cos1(sin32 tdttcos)cos(cos3242 Ctt )cos51cos31(3253t2x24x .4514345232Cxx 例例1616 求求解解).0(122 adxax令令taxtan tdtadx2sec dxax221tdtata2secsec1 tdtsecCtt )tanln(sectax22ax .ln22Caaxax 2,2t

21、例22 0122adxax求求解 ,0sec,tan1sec*222 ttaxtt设设因为考虑到因为考虑到于是于是则则,tansectdttadx .tanseclnsectantansec122Ctttdtdttattadxax ax22ax taaxtaxt22tansec 作辅助三角形，得作辅助三角形，得由由 .lnlnln112212222CaCCaxxCaaxaxdxax 于是于是 .,sec,0sec22可得同样结果可得同样结果时，设时，设在在实际上限定了实际上限定了注：代换注：代换 xtaxaxaxttx 以上三例中用的变量代换叫三角代换，当被积函数中含有 时，可作三角代换去掉根

22、号.而有时用双曲代换也是很方便的.2222axxa ，例例19 022 adxxa求求解解 为消去根号，设为消去根号，设 22,sin ttax,cos,cossin22222tdtadxtataaxa 则则 tdtatadxxacoscos22 ,cossin22Cttta Ctta 2sin2122 dtta22cos12 dtta2cos1212Caxaaxaxadxxa 22222arcsin2于是于是.2arcsin2222Cxaxaxa xat22xa 作作辅辅助助三三角角形形，有有axt sin为便于将结果化为为便于将结果化为x的函数，由的函数，由axat22cos ,cossi

23、n22Cttta 21)2(xxdx,sintx 解：令解：令dtttttdttttt cossin)sin(cos21cossin)sin(cos21dttttttt cossin)sin(cos)sin(cos21 tttdtcossincos221 tttdtcossincos 21xxdxtdtttttd121cossin)cos(sind21 xdxxxarctan1)91505)(15(22 xdxxxarctan11122解：解： xxxdxarctandarctanarctan dxxxxdx21arctanarctan .0123222 adxxax求求例例解解 本题用三角代

24、换本题用三角代换 x = tan t 固然可以，现在固然可以，现在 用倒代换用倒代换.dttdxtx211 ，则，则设设1222 tatt22221ttat 222111tat 2221xax dtttattdxxax2222222111于是于是，时时当当0 x dxxax2221当当 x 0 时，有相同结果时，有相同结果. 上面通过大量的例题，说明了换元法的运用，上面通过大量的例题，说明了换元法的运用，这些例题的结果中，有些可以作为公式使用，这些例题的结果中，有些可以作为公式使用，我们作为基本积分表的续表列出：我们作为基本积分表的续表列出：.1222Cxaxa Ctaa 11222 1121

25、22222tatada dttat122说明说明(1)(1) 以上几例所使用的均为以上几例所使用的均为三角代换三角代换.三角代换的三角代换的目的目的是化掉根式是化掉根式.一般规律如下：当被积函数中含有一般规律如下：当被积函数中含有22)1(xa 可令可令;sintax 22)2(xa 可令可令;tantax 22)3(ax 可令可令.sectax 说明说明(2)(2) 积分中为了化掉根式除采用三角代积分中为了化掉根式除采用三角代换外还可用换外还可用双曲代换双曲代换.1sinhcosh22 tttaxtaxcosh,sinh 也可以化掉根式也可以化掉根式例例 中中, 令令dxax 221taxs

26、inh tdtadxcosh dxax 221 dttatacoshcosh CtdtCaxar sinh.ln22Caaxax 积分中为了化掉根式是否一定采用积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换（或双曲代换）并不是绝对的，需三角代换（或双曲代换）并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定根据被积函数的情况来定.说明说明(3)(3)例例1919 求求dxxx 251（三角代换很繁琐）（三角代换很繁琐）21xt 令令, 122 tx,tdtxdx dxxx 251 tdttt 221 dttt 1224Cttt 353251.1)348(151242Cxxx 解解例例2020 求求解解.11dxe

27、x xet 1令令, 12 tex,122dtttdx dxex 11dtt 122dttt 1111Ctt 11ln .11ln2Cxex ,1ln2 tx说明说明(4)(4) 当分母的阶较高时当分母的阶较高时, 可采用可采用倒代换倒代换.1tx 例例2121 求求dxxx )2(17令令tx1 ,12dttdx dxxx )2(17dtttt 27121 dttt7621Ct |21|ln1417.|ln21|2|ln1417Cxx 解解 )2(776xxdxxCuuduuuuuduxxdx 2lnln141211141) 2(71) 2(71777 )2()2(10 xxdx )2(10

28、 xxdx解；解；.2ln2011010Cxx Cxx 2lnln1020110Cxx 2ln101ln2110 2)2(101211010 xxdxdx dxxxx)21(21109例例2222 求求解解.1124dxxx dxxx 1124令令tx1 ,12dttdx dxttt 22411111（分母的阶较高）（分母的阶较高）dttt 231222121dttt 2tu duuu121 duuu11121 )1(11121uduu Cuu 11313.1131232Cxxxx 说明说明(5)(5) 当被积函数含有两种或两种以上的当被积函数含有两种或两种以上的根式根式 时，可采用令时，可采

29、用令 （其中（其中 为各根指数的为各根指数的最小公倍数最小公倍数） lkxx,ntx n例例2323 求求.)1(13dxxx 解解令令6tx ,65dttdx dxxx )1(13 dtttt)1(6235 dttt2216 dttt221116 dtt21116Ctt arctan 6.arctan 666Cxx 基基本本积积分分表表;coslntan)16( Cxxdx;sinlncot)17( Cxxdx;tanseclnsec)18( Cxxxdx;cotcsclncsc)19( Cxxxdx;arctan11)20(22Caxadxxa ;ln211)22(22Cxaxaadxxa

30、 ;arcsin1)23(22Caxdxxa .ln1)24(2222Caxxdxax ;ln211)21(22Caxaxadxax 小小 结结两类积分换元法：两类积分换元法： （一）（一）凑微分凑微分（二）（二）三角代换、倒代换、根式代换三角代换、倒代换、根式代换基本积分表基本积分表(2)思考题思考题求积分求积分.)1(ln)ln(dxxxxp 思考题解答思考题解答dxxxxd)ln1()ln( dxxxxp)1(ln)ln( )ln()ln(xxdxxp 1,)lnln(1,1)ln(1pCxxpCpxxp一、一、 填空题：填空题：1 1、 若若CxFdxxf )()(而而)(xu 则则 duuf)(_；2 2、 求求 )0(22adxax时，可作变量代换时，可作变量代换_ _，然后再求积分；，然后再求积分；3 3、 求求 dxxx211时可先令时可先令 x_；4 4、 dxx_)1(2xd ；5 5、 dxex2_ _ _ _)1(2xed ；6 6、 xdx_ _ _ _ _)ln53(xd ；练练 习习 题题7 7、 291xdx = =_ _ _ _ _)3arctan(xd；8 8、 21xxdx_ _ _ _ _)1(2xd ；9 9、 dtttsin_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；1