信息光学：1-7傅里叶变换对

1、1第一章 数学基础 1.7 常用函数的傅里叶变换2二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform傅里叶变换和傅里叶逆变换dxdyyfxfjyxfffFyxyx)(2exp),(),(yxyxyxdfdfyfxfjffFyxf)(2exp),(),(bfafGabbyaxgyx,1),(g(x-a, y-b)= G(fx, fy) exp-j2(fxa+fyb) 设 g(x,y) G(fx,fy), F.T.重要性质：g(x,y) expj2(fax+fby)= G(fx- fa, fy- fb)expj2(fax+fby)= d (fx- fa, fy- fb)3二维傅里叶变换二维

2、傅里叶变换Fourier Transform四、四、 F.T.定理定理 5. 卷积定理卷积定理空域中两个函数的卷积空域中两个函数的卷积, 其其F.T.是各自是各自F.T.的乘积的乘积. g(x,y)* h(x,y)= G(fx,fy) . H(fx,fy) 设设 g(x,y) G(fx,fy), h(x,y) H(fx,fy), F.T.F.T. g(x,y) . h(x,y)= G(fx,fy) * H(fx,fy)空域中两个函数的乘积空域中两个函数的乘积, 其其F.T.是各自是各自F.T.的卷积的卷积.将时、空域的卷积运算，化为频域的乘积运算，特别有用将时、空域的卷积运算，化为频域的乘积运

3、算，特别有用.亦可用于求复杂函数的亦可用于求复杂函数的F.T.和复杂函数的卷积和复杂函数的卷积41-8 二维傅里叶变换二维傅里叶变换Fourier Transform可分离变量函数的变换可分离变量函数的变换 通常通常g(x,y) 是可分离变量的函数是可分离变量的函数, 即两个独立一元即两个独立一元函数的乘积函数的乘积:g(x,y)= g1(x) g2(y)dyyfjygdxxfjxgyx) 2exp()() 2exp()(21= G1(fx) G2(fy) 按二维按二维F.T.的定义的定义:dydxyfxfjyxgffGyxyx)( 2exp),()(,其傅里叶变换也是可分离变量的函数其傅里叶

4、变换也是可分离变量的函数 将二维函数的将二维函数的F.T. 化为二个独立坐标上的一维函数的化为二个独立坐标上的一维函数的F.T.的乘积。物理上的大多数函数可以这样处理。的乘积。物理上的大多数函数可以这样处理。注意注意: 不可与两个函数乘积的不可与两个函数乘积的F.T.相混淆相混淆!5 一、一、d d 函数的函数的傅里叶变换：傅里叶变换：由卷积定理知：由卷积定理知：)()()(xgxxg d d 等号两边作等号两边作傅里叶变换：傅里叶变换：)G(xf1)(xf即：即：（1-55）（1-56）一个一个 光脉冲光脉冲 的傅氏变换的傅氏变换是一束是一束 空间频率为空间频率为 0 的的 单位振幅平面波单

5、位振幅平面波 反之亦然反之亦然 设：设：，第一章 数学基础 1.7 常用函数的傅里叶变换 物理意义物理意义)( xd d)()(xfxd)()(xfGxg 1 )( xd dF 1F FF.T.F.T.F.T. )(xf)G(xf 6由位移定理：由位移定理： ? )(0 xxd dF F一束一束 空间频率空间频率为为 fx 的的 单位振幅平面波单位振幅平面波 第一章 数学基础 1.7 常用函数的傅里叶变换 物理意物理意义义)2exp(0 xfix)(0 xx d d一个位于一个位于 x0 点的点的 光脉冲光脉冲)2exp(0 xfixF.T.普遍型普遍型经傅氏变换经傅氏变换 )(0 xx d

6、dF F)2exp()(0 xfixxdF F7二、梳状函数二、梳状函数的的傅里叶变换傅里叶变换)comb()comb(xfxF F第一章 数学基础 1.7 常用函数的傅里叶变换 )comb(combxafaaxF F普遍型普遍型 二维情况二维情况)comb()comb(combcombyxbfafabbyaxF F结论结论comb 函数的函数的傅里叶变换傅里叶变换仍是仍是comb 函数函数8三、矩形函数三、矩形函数的的傅里叶变换傅里叶变换 ?)rect( xF F第一章 数学基础 1.7 常用函数的傅里叶变换 根据定义根据定义dxxfjxxx2exp)rect()rect(F Fdxxfjx

7、/2exp212/11/2-1/2xxff)sin(xfjfjxx2exp21结论：结论：rect（x） sinc（fx）F.T. 其其它它 , ,rect02ax1ax)(sincxf9普遍型普遍型第一章 数学基础 1.7 常用函数的傅里叶变换 axrectF Fxxafafa)sin()sinc(xafa证明：根据相似性定理10第一章 数学基础 1.7 常用函数的傅里叶变换 四、高斯函数四、高斯函数的的傅里叶变换傅里叶变换Gaus(x) = exp- x2F Gaus(x) = F exp- x2dxxfjxx2exp exp-2= exp- fx2= Gaus(fx)结论：结论：Gaus

8、（x） Gaus（fx）F.T. 推导一维情况推导一维情况11第一章 数学基础 1.7 常用函数的傅里叶变换 五、余弦函数五、余弦函数的的傅里叶变换傅里叶变换F cos（2 f0 0 x） 其中其中 u0 0 1 / T T 1 / T T 为周期为周期 2exp 2cos0dxfxjxf 2exp )2exp(-)2exp(2100dxfxjxfjxfj)()(2100ffffdd1/2-u0u00uF (u)结论结论:余弦函数的傅里叶变换是余弦函数的傅里叶变换是 d d 函数组合函数组合122.tri(x)= rect(x)*rect(x)= rect(x) rect(x) = sinc(

9、f) sinc(f) = sinc2(f) rect(x)x01/21/21rect(x)x01/21/21*tri(x)x0111fsinc(f)01-11sinc(f)01-11 xsinc2(x)01-11F.T.F.T.F.T. tri(x) = sinc2(f )六、三角形函数六、三角形函数的的傅里叶变换傅里叶变换?)(xtriF F13七、符号函数七、符号函数的的傅里叶变换傅里叶变换fjx1)sgn(F F第一章 数学基础 1.7 常用函数的傅里叶变换 请自行证明请自行证明留待推算留待推算yxfjfjyx11)sgn(sgn(F F二维二维八、八、 函数函数的的傅里叶变换傅里叶变换

10、expxj )21(expfxjdF F14七、圆域函数七、圆域函数的的傅里叶变换傅里叶变换第一章 数学基础 1.7 常用函数的傅里叶变换 )2()(circ122Jyx F F一阶第一类贝塞尔函数一阶第一类贝塞尔函数 )2()(circ122aJayx F F普遍型：普遍型：请自行证明请自行证明半径半径15七、七、step函数函数的的傅里叶变换傅里叶变换第一章 数学基础 1.7 常用函数的傅里叶变换 )(2121)step(ffjxdF F请自行证明请自行证明提示：提示：利用关系式利用关系式)sgn(1-)2step(xx 以及傅里叶变换的定理进行推导以及傅里叶变换的定理进行推导162、求下

11、列函数的傅里叶变换，并作简图：、求下列函数的傅里叶变换，并作简图：1)rect()comb( xx)rect()comb()(xxxf)2cos()rect()(0 xfxxg)(sin)(xxh2 )rect()comb()(x5x51xi 1）2）3）4）综综 合合 练练 习习 题题1、用至少两种方法证明、用至少两种方法证明)rect()comb()(xxxf )(xd d F.T.117 3、写出下列光阑的透过率函数表达式，并求出写出下列光阑的透过率函数表达式，并求出 它的傅里叶变换（要求作图）：它的傅里叶变换（要求作图）： 1）缝宽为缝宽为 a 的双狭缝，中心分别在的双狭缝，中心分别在

12、 x = + d / 2 处，处， （d a）；）； 2）有一块多狭缝板，其有效宽度为）有一块多狭缝板，其有效宽度为B ，缝宽为，缝宽为a， 缝间隔为缝间隔为d； 提示：提示：用矩形函数和梳状函数表达用矩形函数和梳状函数表达 3）有一余弦光栅，周期为）有一余弦光栅，周期为d，有效宽度为，有效宽度为B。 接前页接前页181)rect()comb( xx1、用至少两种方法证明、用至少两种方法证明1） )2rect()1rect()2rect()1rect()rect(xxxxx)rect()comb(xx )rect()(xnx d d左边左边1 -110 x23-2-31 192）两边作傅里叶变换：）两边作傅里叶变换：1)rect()comb( xx左边左边 )rect()comb(xx F F)(sinc)comb(ff1 -110f23-2-3a1)(fd右边右边20)rect()comb()(xxxf 1 -110 x23-2-31）2、