北航空气动力学课后题答案

1、习题解答1-2两平行豳，直径都是D,两者相距h,下盘固定，上盘以角谨度3旋转，盘间有一种粘度为注的祓体.假设与直径D相比两盘的h为小莺 两盘之间潑体的 速度分布呈线性关系.试推导枯度"与转矩T及角速度g之间的关系.解 如右图建立坐标系，垃的周向速度 饰为：u(r, h) = d)r因为两盘之碗体的谨度分布呈线性 关系，所以两盘之间液体的周向潼度 分布为； nu (r , n ) = a> rh 摩擦应3匕帝du w尸dn hJj&drSt不的转矩为；dT = t ds r / ds = rd 6 dr.小丝2 nr 2 dr =习题解答必处京以玄統久“的压强为多少？请将

2、该压强值和相同高度下标准大气的对应值相比 较，并解释产生差别的主要原因。解：单位质量的彻体力是fx = 0, fy = -g, f2 = 0由欧拉方程的综合形式有 dp = p(-gdy) = -g/?dy所以 J" = gp dy由气体状态方程，f从而可以得到.SPdpgdydyRTpRT今丨 v EX1TJ习题解答T=288.15K, R=287 m2 /(s2 K), g=9.80665m/s2pdp_= _g_ p dy> 2U-= e_fr h = 5000m 时，= 0.55272 Jp。p RT Jo PoPoph = O.55272po = 0.55272x1.

3、013252x10s = 5.600x2 p.5.25588Po288.15 - 0.0065 x 5000相同高度下标准大气的压强为I288.15=0.53313x1.013252 105 = 5402*10° p。ph /p'= 1.03665产生差别的主要原因是因为压强梯度与密度成正匕而气体的密度与 温度有关，在本题中的温度与标准大气的温度随高度的变化规律不同。 1. EX1TJJT1'07 "iw ytiivaat»rv2-1什么是流线、流管？流线和迹线有什么区别？解：流场中有一条曲线，线上任何一点的切线方向均与占据该点的流体质点速度方向一

4、致，这样曲线称为雌。流管是在流场中通过一任意的非流线的封闭曲线上每一点作流线所 围成的管状面。迹线是流体质点在空间运动的轨迹线。迹线：同一质点不同时刻的轨迹线。迹线是流场中实际存在的。流线：同一时刻，由不同流体质点组成的反映流场瞬时流速方向的曲 线。流线是假想的线。在定常流中流线与迹线重合；不定常流中流线与迹线不重合。I J !EXIT|习题解答2- 2 fi角坐标系中，流场速度分量的分布为u = 2xyv=Zx2y , 试证过点（1, 7的流线方程为y2-x2 = 48-解：由流线微分方程=UVxdx = ydy积分后得到 /-扩过（人7）的流线方程为：x2-y2 = l-49 = -48即

5、 yx2 = 48习题解答23设流场中的速度大小及流线的表达式为旳二&?+2心+", /+2&二常数， 求速度分量的表达式。解：由流线方程y + 2今=常数求微分，+ 2xdy + 2ydx = 2ydx + (2x + 2y)dy = 0=,u = c(x,y)-(x + y v = -c(x,y)yx + y -y |r |= lu2 + v2 = yc2 (x,y)-(x2 + 2xy + 2y2) = y/x2 + 2xy + 2y2 c(x,y) = ±l一+y或严tW = _y W = y* I V EXIT* | EXITJ26在不可压流中，下

6、列哪几个流动满足质量守恒条件?(b) u=x3 siny, v = -3x2 cosy(d) |F| = A <+八常数解：(b) = 3x2sin/, = 3x2 sin7dx,dy+ = 6x3 sin 7 * 0& 卽'：( IWARG y vf BIT v所以此流动不满足质量守恒条件。习题解答 2加 + lydy =0,=，y 一天u = c(x.y)y, v = -c(x,y)x卩| = J/+，= c(x,y)x2+y2 =与c(x，7)= ±x+h)色=色尸车3切fix dxdv dedy dy5(x2 +y2ydii 加所以此流动满足质量守恒条件

7、。v | EXIT!习题解答其京JU玄純氏天爭I kA«A y<> vt tit v2-8有不可压流作定常运动，其速度场为式中a为常数。求：u ax< v = ayw » -2az9(1) 线变形率.角变形率;(2) 流场是否有旋；<3)是否有速度位函数存在。«=Ot这是一个无旋流场，存在速度位(3) d<f> = udx 七 vdy+ 'wdz axdx+ aydy- lazdz0二加* +比处积常数取0 |. 4 L A 丨 EXIT习题解答乙9设不可压流动的流函数为/=3x2y-y3，问是否有位函数存在？如 有，求

8、出位函数。解： 2斗+ £苓=6y - 6=0,有位函数存在dx2 dyd=udx+vd.y=-dx-dy = (3x2內 dx=3x2cix-3d(xy2)积分得 f=x3-3x)P© =庆心 + v矽=GF-3y2)dx-6xydy=- 3y2 )dx - 6xydy +-3y2)dx-6xydy-3x2dx +- ydy = x3 - 3xy2* | EXITJ习题解答2-10二维位流流场为 卄牛宀砂+几 求曲线x V = -4上点(2,-1 处的切向速度分量。解:曲线兀b = _4, /(x，7)= x27 + 4 = 0切向单位向量乙晟疔於严法歹'歹盍 &

9、amp;=*札 切向遞度分屋 spg把x=2zy =-1代入，得沪=570 = T + J = (x-2x-y)r + (-x + 2y)j = f-4 Jdx dy2xy(1 r 丄 1 J 33-tj2l+12Jr'2* l-2J/ EXIT.加一&<§&/¥ + + + <§¥<§¥力一 + + + 加 一 &加一 <8加一宠加一龛 : + av莎 -卽 + + <8 一比加一ote a(4习题解答< 11 EXIT习题解答2-13二维点祸诱导的无旋流场是否满足

10、连续条件?解：设点涡强度为r，点涡的诱导速度为及=一乙cos 6 =F°2tv x* 1 2 + y厂 x2tt x2 + y2=厂 2期2tt (x2 + y 2)2 dv °+ = 0dvr 2xydy2/r (x2 + 72)2所以二维点涡诱导的无旋流场满足连续条件.ef I!> I Vi tlf v习题解答1,丨I EXI T习题解答2-16有一救火机，出水口直径7.5cm，入水直径30cm，流量是 3640L/min,进水口处水压为2xlO5N/m i求救火机所受的作用力。流量。二36401000 x60进口面积出口面积=6.066667 xl0*2m3；s

11、=7.068584 x 10 -2m2=4 417865 xW3m2进口流速出口流速V. =-2-= 0.8582577 m/sAV2 =2-= 13.73212 m/sA进水压 Pi= 2xlO5N/m2V I JEXIT习题解答出水口处水压为大气压p2=pa =1.013252xl05 帕设救火机所受的反作用力为Fx,Fy,由积分形 式的动量定理P/-P2冬 cos30。一代=jpu7ndS= pV2 cosBO% - s-$企 sin 30°-化=砂 VndS = £冬 sin 30%s代入数据后求得F入=1.30801x104N=-6.403616x102N | E

12、XIT习题解答3-1设有直匀流乙以正x轴方向流过位于原点的点源，点源强度为Q,试求半无限体表面上最大垂直分速卩嘶的位置及速度值，并证明在该点处，合速度的大小正好等于直匀流速度卩8。解：流动的流函数是Q y 0>,刃=乙丿 + arctg - 27T 两个分速是卯Q Xdy/_Q y dx In x2 +护 驻点A的位置由uA =0,=0求得"二2松儿=0习题解答过驻点的流线方程为：乙卩+ 学 arctg乙=A儿+ 字arctg2tt x2tt即 y = (力-arctg )2必x Q 3 - &)2 开 g sin 0在半无限体上垂直方向速度为： IEX1T1Q y Q

13、 sill。兀sii?8V =«2tt +y2 2tt r 7t-0F面求极佰dv2乙 sin&cos& K. sin2 0 八d0=z * =71-0sin =0, 7 = =0吕=-2, 汕 JFXIT |习题解答只京狀玄社比天爭/ 11wara yHivtasir 用迭代法数值求解- 2，解得兀_ e6 =1.9760315 = 113.2183° 时，v = |v_A = 4.3071538= 246.7817° 时，v 二一” _yzmaxq 二巧= 0.201850/乙0 y _Q sin&一乙血讪2n x2 + y 2tt r

14、 n-0+字亠讥+字叱并In x + y2/r r兀_e可计算出。二 q 时，v = 0.724611 Vu = 0.6891574O = O2 时，V = -pl = -0.724611 Vu = 0.6891574 在&二q,。=&2处，合速度大小为V = lu2+v2=Vw今 i V I EXIT习题解答 t f WAKO vHi Vt tlV v3-3在正三角形的三个角点,0), (-°,0), (0,的0处放入三个等强度点源 ,试写出该流动的流函数，确定其驻点坐标，并粗略地勾画出对应的流谱。解:设点源强度为Q，流动的流函数是甲=2 mg厶+ £&q

15、uot;窗丄+纟a吨隹2tt x-a 2/r x + a 2jtx两个分速是IL =% _Qdy 27Tx- ax+ax(x - a)2 + y2 (x + a)2 + y2 x2 + ()z - Jia)2v = _d=Q_ +2!+_厂岳_Ox 2兀(x- a)2 + y2 (x+ a)2 + y2 x2 + (y - 3a)2 驻点A的位置由uA =0, vA= 0求得戈4 = °, yA = -a习题解答I WAna phi vr b nr v3- 5在（-60）和（Q,0）处分别放入强度相等的点源和点汇，直匀流乙沿X 轴流来。设点源强度Q =,试求流动的流函数、前后驻点的位

16、置及寒流线的形状"该零流线所代表的封闭物称之为兰金卵形，试确定该兰 金卵形的短半轴值。w：该流动的流函数为QyQy厂 + 丁 arctgarctg 2jtx+a 2ttx-ayy” =A) + 尬 arctg _ £ a arctg x+ ax-两个分速是du/M = -T=乙 +ys + h-L*l EXIT(x + a)2 + y2 (x习题解答由H = 0, V = 0求得驻点的位置住辰,0）零流线方程为：yyNy + A(z "c 绘Va -arctg= 0X + (2即 y + a- arctg-a arctg = 0x+ax-ax-a卜面求解该兰金卵形

17、的短半轴值，设 为亿a。把（Ojq）代入零流线方程得 ry + arctgfy -O-arc览与）=0 r + 2arctgf； = 7：零流线方程可写为：lay伽0 /7）lay tan(y / a) 可得卩=±1306542 a采用数值迭代求解，可得5=1.306542 ,即该兰金卵形的短半轴为1.306542 a oJ EXIT$解答只舍JU玄状氏大宇习题解答aBlNAlK IV4 |if v3-7位于(-d,0)和(°,0)有等强度的点源和点汇，试证它们对无限远处的作 用和一个位于原点的偶极子的作用完全一样。证明：设点源和点汇的强度为Q,流动的位函数是0 = $ I

18、n (x + a)2 + y2 _ $ in (x-a)2+y2LnLn= n(x+y +2xa+a)-iii(x2+72 -2xa+a2)'4开2x<2+a2 '1T4tt=Q_4tfIn (x2+/) 1 +L l厂+厂丿24/rIn (X2+/) 1 +-2xa+a22 2 x +y丿= -§-ln4tt)4ttIX +y2 丿1+导习题解答aBlNAlK IV4 |if v习题解答aBlNAlK IV4 |if v | EXIT |习题解答当厂=&彳+尹2 q时.x2 + y2x+y2xa+a-一 2xaa-2xa+a« T习题解答aB

19、lNAlK IV4 |if v习题解答aBlNAlK IV4 |if v24/rQ_2tt x2+y上式说明，位于(p,0)和,0涔强度的点源和点汇，它们对无限远处的作 用和一个位于原点处强度 必=金凹的偶极子的作用完全一样。2兀习题解答共京JU立從R大爭位于（0（）和（0厂°）处有两个等强度的旋转方向相反的点祸，当a TO 时保持2祝厂为常数，试证其对应的流动与谕上的偶极子完全相同。证明：设（0卫泌的点涡强度为-厂，设（0,P观的点涡强度为 厂，该 流动的流函数为0 = £ln Jx2 + （y_a）2_£ln yjx2+（y+a）2=1n（x2 + y2 -2

20、ya+a2）- n（x2 + y2 +2yn+a2）4tf4tf3& + h）Q+耳呼）+x+y-2ya+cPx2+b-£ln ("/)Q+喀)+弩蔦2)4/r（疋+b丿4/r习题解答当a TO时保持2观厂为常数，即a厂为常数，此时 zlimln 144穴 QTO、V+厂丿v r -Zyaa2 r lya+a2 =lim + limy。亠4兀 x +y qT4;t x +y i x -rclT y=lim22 =5TaT 4兀 x +y71 x4兀 x +y一“厂 _4*x +y6其京狀左氤氏大于w"2*+去、TJC +丿丿上式说明，位于（0卫）和（0厂。

21、）两个等强度的旋转方向相反的点漏 当OT0 时保持2观厂为常数，其对应的流动与谕上的强度为M = ± 的偶极子完 全相同。”今 I. V EXIT习题解答39在（-。,0）和0,0）处分别布置强度为Q的点汇和点源，直匀流 乙沿涮 流来，试写出合成流动的流函数，并证明包含驻点的舷方程为y =0云 +才 _ a?tan（2 祝 y/Q）当a=|/ =g/2/r=l时，请画出合成流动对应的物体形状。解:该流动的流函数为OyQy申=卩防一三 arctg一+ 二 arctg一2jtx+a 2jtx-a由流场的对称性知，驻点处尸0,所以包含驻点的流线方程为W =人丫 - 2 arctg一+ 2

22、arctg一=0</,只京狀左尿氏大乎2jt x+a 2tt x-a习题解答上面流线方程改写为2憎8yy y = arctgarctg Q& x+a & x-a七血（2毗 y/0= tan（arc/g -x+a宀八1 =容易看出A =0满足上面方程，当.y h0时，包含驻点的流线方程可2 2x +y亠一2今tan（2 松y/0）写为当a=Q/27r=l时，包含驻点的流线方程为:2y tan（刃 I EXIT习题解答习题解答=1习题解答人=2习题解答八京41比毗氏大爭习题解答4光滑平板长06m，宽2m，气流速度为30m/§，试求国际标准海平面大气 下平板所受的摩擦

23、阻力（设流动保持为层流。解：醛=空竺竽七32256佔1#1.7 894x10“平板上下两面所受的总摩擦阴力为11 只 1ID. =2C上代S = 2上必Sf巧2厂9、慈2宀= 2x- .1328x-xl.225x3tfx0.6x271.23225&1O 2= L580 丄 < !上 I Exm习题解答4- 2若速度变化为Us = VQXmM,为边界层外边界处的流速，仏为常数。试 证明相应的压强变化为& °因此，Q0代表顺压梯度，m0代表逆压梯度.解：沿边界层外边界，伯努力方程成立12 cP +咎=C% = -pu& 字=-pV.xm . mVQxm: axoxm > 0时，< 0； m < 0时，空 >dxdx因此m>0代表Wl压梯度，m<0代表逆压梯度。39280 f I WAH0 yH« v« SIT v由牛顿粘性定律:= A42 8习题解答#4假定平板边界层内的速度分布为（平板长为/：式中6为边界层厚度。试用动量积分关系式方法求解，计算出(Q)(b)(c)(d)C巧応;习题解答解：u _ 31S 22丿2UJ宀烏F面求解积分关系式。因为求的是平板边界