专题16空间角(教师版)

1、实用标准文案专题16 空间角高考在考什么【考题回放】1.如图，直线 a、b相交与点 0且a、b成60°,过点O与a、 b都成60°角的直线有(C )A. 1条 B . 2条 C . 3条 D . 4条45°角，则此直线与2 .在一个45°的二面角的一个平面内有一条直线与二面角棱成二面角的另一个面所成的角为(A )A. 30°B . 45°C . 60°D . 90°3.直三棱住 ABC ABC / BCA=9°°，点 D、Fi 分 别是 AB、AC的中点，BC=CA=CC贝U BD与AF 所成角

2、的余弦值是(A )A.3° B .丄 C .3° D .1527704 .已知正四棱锥的体积为12,底面对角线的长为 2. 6 ,则侧面与底面所成的二面角等于-.35.PA,PB,PC是从P点引出的三条射线,他们之间每两条的夹角都是60° ,则直线PC与平面PAB所成的角的余弦值为E、F分别为BC与AD的中点,6 .在棱长为 a的正方体 ABCA1B1C1D ,(1) 求直线AC与DE所成的角；(2) 求直线AD与平面B1EDF所成的角；(3) 求面B1EDF与面ABCD所成的角。【专家解答】(1)如图，在平面 ABCD内，过C作CP/DE交直 线AD于 P,则.

3、ACP (或补角)为异面直线 A1C与 DE所成的角。在 A1CP中，易得文档厂:A1C =3a,CP =DE5a, A1-2-故异面直线AC与DE所成的角为2v'15 arccosW5 由余弦定理得cos AQP二1515(2)ADE "ADF , AD在面BEDF内的射影在/ EDF的平分线上。 而BiEDF是菱形， DB为/ EDF的平分线。故直线 AD与面B1EDF所成的角为/ ADB.在 Rt BAD中，jt_ oAD = a, AB1 = 2a, B1D = . 3a,则 cosADB1。3 BBiDEFCi实用标准文案故直线AD与平面BiEDF所成的角为arcc

4、os- 。3（3）连结EF、BD,交于点0,显然0为Bi D的中点，从而0为正方体 ABCABCD 的中心，作 OHL平面ABCD贝U H为正方形 ABCD的中心。再作 HML DE垂足为 M，连 结0M则OML DE （三垂线定理），故/ OMH为二面角Bi-DE-A的平面角。在 Rt A D0冲 0E=F0D=FD一戶，则由面积关系得0D 0EDE10在 Rt A 0HM中 sin . OMH0H 30O " 6故面B1EDF与 面ABCD所成的角为arcsin3065文档高考要考什么考点透视】异面直线所成角，直线与平面所成角，求二面角每年必考，作为解答题可能性最大. 【热点透析

5、】1 转化思想： 线线平行线面平行面面平行，线线= 线面=面面 将异面直线所成的角，直线与平面所成的角转化为平面角，然后解三角形2 求角的三个步骤：一猜，二证，三算猜是关键，在作线面角时，利用空间图形的平行,垂直，对称关系，猜斜线上一点或斜线本身的射影一定落在平面的某个地方，然后再证3 二面角的平面角的主要作法：定义三垂线定义 垂面法 高考将考什么【范例1】在1200的二面角： -a -中，Aw*,B，已知点A和B到棱的距 离分别为2和4,且AB=10求（1）直线AB与棱a所成的角；（2）直线AB与平面B所成的角。解：（1 ）如图所示，在平面a内，过 A作AC丄a，垂足为C;在平面B内，过 B

6、作BDL3,垂足为D;又在平面B内，过B作BE/ CD连结CE则/ ABE为AB与a所成的角， CE/ BD, 从而 CELa,Z ACE=120,/ AEB=90。在A ACE中，由余弦定理得AE = AC EC -2AC EC cos120=2 2 42 - 2 2 4cos1200 =2.7在 Rt A AEB中, sin. ABE 二竺 AB(2)过点A作AA .1则垂足。故直线AB与棱a所成的角为arcsinA 在：的另一半平面上。在 Rt A AA C中，AA AC sin 600 =$3。实用标准文案A/ B17、DBD-(-壬-令乙)=吕1，-1,2),2 2 2取n0 = (

7、 -1, -1,2),贝U n0是一个与平面:向量 AA 1 = (0,0,2)与平面 CDE其中垂直C1 DE垂直的向量.n0与AA 1所成的角n为二面角C - DE - C1的平面角V6COS T1n 0 * AA 1 | n。| |AA；|、2-1 0-1 0 2 21T 4 x 004(II )设2EC与FD所成角为则EC1 * FD11 (-4)3 22 221COS :| EG 卜 I FD1 | 的2 +32 +22 乂 J(V)2 +22 +22【点晴】空间向量在解决含有三维直角的立体几何题中更能体现出它的优点，但必 须注意其程序化的过程及计算的公式，本题使用纯几何方法也不难，

8、同学不妨一试。O14【范例2】如图，在四棱锥 P ABC右，底面ABCD 为矩形，侧棱 PA!底面 ABCD AB=/3 , BC=1, PA=2, E为PD的中点(I)求直线(n)在侧面 并求出 解法一 ：(i)AC与PB所成角的余弦值；PAB内找一点N,使NE!面PACN点至U AB和AP的距离 建立如图所示的空间直角坐标系，则A、B C DP、E的坐标分别为在 Rt AA B 中，sin ABA =兰 3。AB 10故直线AB与平面B所成的角为 arcsin 310【点晴】本题源于课本，高于课本，不难不繁，体现了通过平移求线线、通过射影 求线面角的基本方法。【文】 如右下图，在长方体 A

9、BCD-A1B1C1D1中，已知AB= 4, AD =3, AA 1= 2 . E、F分别是线段 AB BC上的点，且 EB= FB=1.(1) 求二面角C- DE- C的正切值；(2) 求直线EG与FD所成的余弦值.解：(I )以A为原点，AB, AD, AA分别为x轴，y轴，z轴的正向建立空间直角坐标系，则有D(0,3,0) 、D(0,3,2)、E(3,0,0) 、F(4,1,0) 、O(4,3,2故 DE =(3,-3,0),EC1 =(1,3,2),FD1 =(4,2,2) 设向量n= (x, y, z)与平面CDE垂直，则有DE l3x_3y=0EC 1x+3y+2z=0文档A（0，

10、0, 0），B（ ,3，0, 0），C（、.3，1, 0），D（0，1，0），P（0，0, 2），E（0, 1，2）.2从而 AC =(3， 1，0)， PB =(3，0，-2 ）.设AC与PB的夹角为二，则costAC PB3. 7_ 3|AC | | PB |2、714 AC与PB所成角的余弦值为上丄141(H) N点在侧面PAB内，故可设N点坐标为(x, 0, z),则ME =(-X, ,1 - z)2NE AP 二 0,由NE!面PAC可得NE AC =0,1（-x , ； ,1 - z）21（-X,1-z）2（0,0,2）= 0,（31,0）=0,Z!PXEz -1 =0,化简得1-

11、、3x -I 23x =6z =1.J3即N点的坐标为（,0,6解法二：（1）设 ACn BD=O 连 OE 贝y OE/PB,1 .,71OE PB= , AE= PD= ,2 222i),从而N点至U AB或其补角，在厶AOE中，AO=1,<3AP的距离分别为 1,6/ EOA即为AC与PB所成的角51 2 cos EOA 二 44V72 12二色卫,即AC与PB所成角的余弦值为143.1714(H)在面 ABCD内过D作AC的垂线交 AB于F,则.ADF二一6Ad2 3连 PF,则在 Rt ADF中 DF= , AF = AD tan ADFcos ADF3设N为PF的中点，连 N

12、E,则NE/DF ,/ DF丄 AC, DF丄 PA. DF丄面 PAC从而 NE!面 PAC1 1Q 3 N点到AB的距离=AP=1, N点到AP的距离=AF=2 2 6【点晴】由线线、线面、面面的位置寻找满足某些条件的点的位置，它能考查学生 分析问题、解决问题的能力，两种方法各有优缺点，在向量方法中注意动点的设法，在 文档方法二中注意用分析法寻找思路。ACD【文】在梯形 ABCD中，AB=BC=1 AD=2, Z CBA=NBAD=90 沿对角线 将折起，使点B在平面ACD内的射影0恰在AC上。1）求证：AB_平面BCD2）求异面直线BC与AD所成的角。解：在梯形ABCD, AC =DC

13、-、.2AC2 DC -AD2, AC _ DC又BO丄平面ACD故AB丄CD又 AB _ BC，且 BC 一 CD 二 C.AB _ 平面 BCD（2）因为 BA=BC BO 丄 AC，.0为AC中点，取 CD中点E，AB中点OF/BC，所以AD与BC所成的角为.EOF或其补角作FH/BO交AC于H,连结HE,则FH_平面ACD.EF2 二 FH 2 EH 2 二 FH 2 HC2 EC1 在三角形EOF中，又；FO ，EO=121 由余弦定理知 cos EOF EOF =1202本题使用空间向量的方法故异面直线BC与AD所成的角为120 【点晴】折叠问题必须注意折叠前后之间的关系和区别,

14、也不失一种好方法。【范例3】如图，在斜三棱柱 ABC -ABjG中，.AjAB r/AjAC, AB = AC,AAnAiBna，侧面B1BCC1与底面ABC所成的二面角为120，E、F分别是棱BjG、A1A的中点（I）求A1A与底面ABC所成的角（H）证明A1E /平面B1 FC（川）求经过A,、A、B、C四点的球的体积. 解：（I）过A1作A1H -平面ABC，垂足为H 连结AH，并延长交BC于G ,于是.A1AH为AA与底面ABC所成的角 . A1AB r/fACAG 为 BAC 的平分线又 AB = AC , AG _ BC，且G为BC的中点由三垂线定理 A.A _ BC . A1A/

15、 B1B，且 EG/ B1B , EG _ BC .于是 AGE为二面角 A-BC - E的平面角，即/AGE =120 .由于四边形 A1AGE为平行四边形，得 AAG二60 .（n）证明：设 EG与B1C的交点为P，则点P为EG的中点.连结PF .在平行四边形 AGEA1中，因F为A A的中点，故A1E/FP .实用标准文案而FP 平面B1 FC , AjE二平面B1FC，所以A1E/平面B1FC .（川）连结 A1C .在：A1AC 和：A1AB 中，由于 AC = AB , A1AB/A1AC , Ai A = Ai A，贝V l A AC = l Ai AB，故 AiC = Ai B

16、 .由已知得 AiA = AB = AiC = a 又 AH _平面ABC , H为. ABC的外心设所求球的球心为 0,则O AiH，且球心O与A A中点的连线OF _ A A在 Rt AiFO 中,A-|O =AiFcos AAi H12 a3acos303文档故所求球的半径 R-a，球的体积v =红R3工4"3二a3.3 327【点晴】（i）（n ）两小题注意使用二面角属于简单立几问题。（川）要注意球 的几何性质以及平面几何知识的合理利用。【文】在四棱锥 P-ABCD中，ABCD正方形，P从面ABCD PA= AB= a, E为BC中 占八、-（1）求平面PDE与平面PAB所成

17、二面角的大小；（2）求平面PBA与平面PDC所成二面角的大小解：（i）延长AB DE交于点F,贝U PF为平面PDE与平面PAD所成二面角的棱,/ PA!平面 ABCD- ADL PA AB, PA n AB=A75atc tan 2 DA!平面 BPA于 A, 过A作AOL PF于O,连结 OD, 则/ AOD即为平面PDE与平面PAD所成二面角的平面角。得tan AOD 5，故面PDE与面PAD所成二面角的大小为245°。（2）解法 1 （面积法）如图 T ADL PA AB, PA n AB=A DA!平面 BPA于 A,同时 BCL平面 BPA于 B, PBA是厶PCD在平面

18、PBA上的射影,设平面PBA与平面PDC所成二面角大小为B ,cos 0 =Sapae/S pcc= _ /2 0 =45即平面BAP与平面PDC所成的二面角的大小为 45°。 解法2 （补形化为定义法）如图将四棱锥P-ABCD补形得正方体 ABCD-PQMN贝U PQL PA PD,于是/ APD是两 面所成二面角的平面角。在Rt PAD中，PA=AD则/ APD=45。即平面 BAP与平面PDC所成二面角的大小为【点晴】求线面角、面面角关键在于准确作出角，同样遵循一作二证三计算的步骤,但应用面积射影法求二面角可避免找角，同学们注意经常使用。【范例4】如图，已知平行六面体 ABCD

19、 - A1B1C1D1的底 面 ABCD是菱形，且 CQB = GCD 二 BCD =60°.（I ）证明：CiC丄BD3（II ）假定 CD=2 CiC=，记面 GBD为a,面 CBC为B,2求二面角a BD B的平面角的余弦值；CD(HI )当_CD的值为多少时，能使 AC丄平面CBD?请给出证明。CCi(I )证明：连结 A1C1、AC AC和BD交于O,连结C1O .c/ 四边形 ABCD是菱形， ACL BD BC=CD又 v /BCC1 /DCC1 ,C1C =C1C , lCtBC 三.:C1 DC ,. G B = C1D ,/ DGOB- CQ_BD 但 ACL B

20、DACn C1O =O,:. BD丄平面 AC1 .又 C1C 平面 AC1 , C1C_BD宀7TZ?(II )解：由(I )知 ACL BD C1O_BD,- _C1OC是二面角- BD -的平面角.3在.C1 BC 中，BC=2 , C1C, BCC1 =60 ,22- C1B2 =223-2 2 - cos60 二13 .139S，2 24 OB/ / OCB30 , O1BC=1.a C1O2 =C1B23二CQ=即CQ-CQ .作C1H丄OC垂足为2OHC1OJ3点H是OC勺中点，且OH飞，所以cos CiOCCDCC1（III ）当1时，能使A,C丄平面C1BD .CD证法一：v

21、1 , BC=C=C1C ,又 BCD =/C1CB 二/GCDCC1由此可推得 BD=C1C1D .三棱锥 C C1BD是正三棱锥设 A1C 与 C1O 相交于 G v A1C1 H AC 且 A1C1 : OC2 : 1 , C1G : GO2 : 1.又C1O是正三角形C1BD的BD边上的高和中线，点G是正三角形 C1BD的中心， CGL平面C1BD .即A,C丄平面C1BD证法二：由（I ）知，BD丄平面AC1 , v AC 平面AC1 , BDL AC .CD当_CD =1时，平行六面体的六个面是全等的菱形，CC1同BDL AC的证法可得 BC1丄AC .又BDn BC1 =B ,

22、A1C丄平面C1BD .III ）作为开放题有一定难C【点晴】 本题综合考查了立体几何的各种基础知识，（ 度，常使用猜测（或特殊情形猜测）再分析证明的解决方法。【文】如图，在四棱锥 P-ABCD中，底面ABCD是边长 为a的正方形，并且 PD=a , PA=PC= 2a。（1）求证：PD丄平面ABCD2）求异面直线PB与AC所成的角；3）求二面角 A-PB-D的大小。(4)在这个四棱锥中放一个球，求球的最大半径。解：(1)PC=/2a，PD=PC=a APDC是 RtA，且 PD丄 DC 同理PD丄AD,又ADA DC=D- PD丄平面 ABCD(2) 连BD因ABCD是正方形， BDL AC

23、,又PD丄平面 ABCDBD是PB在面ABCDh的射影，由三垂线定理得 PB!AC PB与 AC成90°角。(3) 设 ACH BD=O 作 AE丄 PB于 E ,连 0E/ AC! BD,又 PD丄平面 ABCD AC 平面 ABCD - PDL AC,又PDA BD=D ACL平面PDB贝U OE是AE在平面 PDB上的射影。由三垂线定理逆定理知 OE! PB,. AEO是二面角A-PB-D的平面角。又 AB=a, PA=. 2a , PB=、3a ,/ PDL平面 ABCD DAL AB, Pa! AB,在 Rt.PAB 中，AE? PB=P/? AB： AE= ' 2

24、 a ,又 A0=-2 aJ32AO V3- sin AEO =,ZAEO=60 ,二面角 A-PB-D 的大小为 60°。 OE 2(4) 设此球半径为 R,最大的球应与四棱锥各个面相切，球心为S,连SA SB SCSD SP,则把此四棱锥分为五个小四棱锥,它们的高均为R,由体积关系得：1Vp _ABCDR(S PDC ' S PBC ' S PAB ' S PDA ' S正方形 ABCD )3R( a 亘 2 a2)1 R(2a22a2) Ja33 222233R=*厂=(2-血)a。2 ”2【点晴】解决(4)的关键是确定球与四棱锥具有怎样的位置关

25、系时，半径最大， 此时怎样建立关于球的半径的等量关系式。立体几何中的最值问题，常有两种解决方法:(1) 建立所求量的函数关系式，再求最值；(2) 根据立体几何的有关知识，确定在什么位置时，所求量取最值。 自我提升1.平面的斜线AB交于点B ,过定点A的动直线l与AB垂直，且交于点(D)双曲线的一支3倍，那么这条斜线与平面C ,则动点C的轨迹是(A )(A) 条直线(B) 个圆 (C) 一个椭圆2 如果平面的一条斜线长是它在这个平面上射影长的所成角的余弦值为(A)12 322A 3 B . W C .飞 D . 33 .如图在正三角形 ABC中,E、D、F分别为各边的中点，G H、I、J分别为A

26、F、AD BE、DE的中点, 将三角形沿DE EF、DF折成三棱锥以后，GH与 IJ所成角的度数为(B )A. 90° B . 60° C . 45°D . 30°4. 已知二面角二T -的大小为60°, m, n为异面直线，且 m_ n_ ：,则实用标准文案CE2 EG2 -GC22AC与PB所成的角为'10arccos .m, n所成的角为(B )A. 30°B . 60°C . 90° D . 120°5. 在厶ABC中,M,N分别是 AB,AC的中点,PM丄平面 ABC,当BC=18,PM

27、=3 3时,PN和 平面ABC所成的角是 30 ° .'6 .正六棱柱 ABCDED-/BiCDEiFi的底面边长为1，侧棱长为寸2，则这个棱柱的侧面对角线EiD与BG所成的角为 60 °。7 .在正四面体 ABCD中, E、F分别为AD BC的中点。(1)求CE与 AF所成的角；(2)求直线CE与平面BCD所成的角。解：(1)连结FD,取FD的中点G,连结GE T E、G分别是ADFD的中点，二GE/AF , 故/ CEG(或其补角)即为 CE与AF所成的角。设 AB=a在厶CEG中,EG ' 3 a, EC 3 a, CG7a,COS._CEG 二424

28、2故CE与AF所成的角为 arccos。3(2)v 正四面体 ABCD 二 BC丄 AF, BC丄 DF, BCL面 AFD 面 AFDL面 BCD 过 E作 EH丄DF于 H, 则EH丄面BCD则/ ECH为CE与面BCD所成的角。在 Rt CEH中 , sin. ECH 2,3即CE与平面BCD成的角为arcSi门二。38.已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB/ DC /DAB =90 ,PA _底面ABCD1且 PA=AD=DC=AB=1, M是 PB的中点.2(I)证明：面 PADL面PCD(n)求AC与PB所成的角；(川)求面 AMC与面BMC所成二面角的大小. 方法一：(I)证明： PA丄面 ABCD CD丄AD由三垂线定理得 CDL PD.因而，CD与面PAD内两条相交直线 AD PD都垂直，二CDL面PAD又 CD 面 PCD 面 PADL面 PCD(n)解：过点 B作 BE/CA ,且 BE=CA 则/ PBE是AC与PB所成的角.连结 AE,可知 AC=CB=BE=AE=2 ,又 AB=2, 所以四边形ACBE为正方形.由 PA丄面 ABC得/ PEB=90在 Rt PEB中 BE= 2, PB= .5,. cos PBE5文档(川)解：作 AN!C