运用米勒定理简解最大角问题(2)

1、运用米勒定理简解最大角问题1.米勒问题和米勒定理1471 年，德国数学家米勒向诺德尔教授提出了如下十分有趣的问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长？即在什么部位，视角最大？最大视角问题是数学史上100 个著名的极值问题中第一个极值问题而引人注目，因为德国数学家米勒曾提出这类问题，因此最大视角问题又称之为“米勒问题”，更一般的米勒问题如下：米勒问题 ：已知点是角MON的边上的两个定点，点是边上的动点，则当在何处时，角ACB最大？对米勒问题有如下重要结论我们不妨称之为米勒定理。米勒定理 ：已知点是角MON的边上的两个定点，点是边上的一动点，则当且仅当三角形ABC的外圆与边相切于点时，角

2、ACB最大。证明 ：如图 1，设是边上不同于点的任意一点，连结，因为角ACB 是圆外角，角 ACB是圆周角，易证角AC B小于角 ACB，故角 ACB最大。图根据切割线定理得，即，于是我们有：角ACB最大等价于三角形ABC的外圆与边相切于点等价于等价于。2.米勒定理在解题中的应用最大视角问题在数学竞赛、历届高考和模拟考试中频频亮相，常常以解析几何、平面几何和实际应用为背景进行考查。若能从题设中挖出隐含其中的米勒问题模型，并能直接运用米勒定理解题，这将会突破思维瓶颈、大大减少运算量、降低思维难度、缩短解题长度，从而使问题顺利解决。 否则这类问题将成为考生的一道难题甚至一筹莫展， 即使解出也费时化

3、力。下面举例说明米勒定理在解决最大角问题中的应用。2.1 用米勒定理确定最大视角的点的位置例 1（ 1986 年全国高考数学试题理科第五大题）如图2，在平面直角坐标系中，在轴的正半轴上给定两定点，试在轴的正半轴上求一点，使取得最大值。图分析 ：这是一道较早的 “米勒问题” 的高考题， 该题背景简单解题思路入口宽解法多样，是一道难得的好题。若用米勒定理求解则可一步到位，轻而易举地拿下此题简解 ：设，由米勒定理知，当且仅当时，最大，故点的坐标为例 2如图 3，足球场长100 米，宽 60 米，球门长7.2 米 , 有一位左边锋欲射门, 应在边的何处才使射门角度最大?解：依题意，由米勒定理知当（米）

4、时，最大。故边锋应在边距约米处射门才能使射门角度最大。图3图4图 5例 3（ 2004年全国数学竞赛试题）在直角坐标系中，给定两点，在轴的正半轴上求一点，使最大，则点的坐标为。解：如图 4，设直线与轴相交于点，则，因为，所以，所以，所以，由两点间的距离公式得，由米勒定理知，当且仅当时，最大，此时点的坐标为。2.2 用米勒定理探索最大视角的条件例 4（ 2010 年高考江苏理科第17 题）某兴趣小组要测量电视塔的高度（单位：），如示意图5，垂直放置的标杆的高度，仰角。（1）该小组已测得一组的值，算出了，请据此算出的值；（2）若该小组分析若干测得的数据后，认为适当调查整标杆到电视塔的中距离（单位：

5、），使之差较大，可以提高测量精度。若电视塔的实际高度为，试问为多少时，最大？解：（ 2）设，由米勒定理知， 当且仅当即时，最大。又由得，得，将其代入得，所以，故当为时，最大。点评 ：第（ 2）问以实际应用和平面几何为背景考查最大角问题，本解法以米勒定理和相似三角形等知识为突破口，结合方程思想求解，综合性强能力立意高有一定难度。2.3 用米勒定理求最大视角或其三角函数值例 5（ 2001 年希望杯数学竞赛培训题）是椭圆的左右焦点，是椭圆的准线，点，求的最大值。解：如图6，易求得，不妨设为左准线交轴于点，则其方程为，由米勒定理知，当且仅当时，最大。当最大值时，因为，由差角的正切公式得，所以最大值为

6、。图 6更一般地我们有如下结论：例 6设是椭圆的左右焦点，是椭圆准线上的动点，椭圆的离心率是，则为锐角且（当且仅当点到椭圆的长轴的距离为时取等号）。证明 ：设准线交轴于点，则。由米勒定理知，当且仅当时，为锐角且最大。当最大值时，又，由差角的正切公式得，所以。故为锐角且（当且仅当点到椭圆的长轴的距离为时取等号）。点评 ：由例 6 结论知，当取最大值时有或，易求得最大值为。2.4 用米勒定理求视角最大时有关线段之比例 7（2006 年全国高中数学竞赛题）已知椭圆的左右焦点是，点在直线上，当最大时，求：。解：如图 7，设直线与轴相交于点，图 7易求得，则，由米勒定理知，当且仅当与直线相切于点，由弦切

7、角定理得时，最大，此时，又的外拉圆，所以，所以。点评：本解法不仅用到米勒定理的结论， 而且还要熟悉定理证明的几何背景及图形间的内在联系，用相似三角形对应边成比例求线段比，运算量小解法简单快捷。2.5 用米勒定理求视角最大时的综合问题例 8设是椭圆的短轴顶点，是椭圆焦点相应的长轴顶点。证明当且仅当椭圆为黄金椭圆（离心率的椭圆）时，最大，且最大角的正弦值为。解：如图 8，由米勒定理知，当且仅当时，最大。故，所以，所以，即，图 8即，解得，故当且仅当椭圆为黄金椭圆时，ABF最大。设ABF=q ，则，所以。另外我们求最大角的正弦值还可用正弦定理切入，在中，由正弦定理得，下面解法同上，略。点评 ：本题以椭圆为载体，重点考查椭圆的离心率等有关知识，考查三角公式、