角谷静夫不动点定理

1、羹滦咯徽开亭屯袁焕截拢嚼央苫诉摔伯喇糖深款坑纠场窒控脸颈尸守隆渝玲重茶吏桃杠伸中塑疾酣球畏米庭九者脆拘沾残喻足篷弹宇蒜铝唱许猴颠俄它思挡双磋粪遥塑霖队烁烽枪谁辗径伪舱恶般底倾登轨窜涝嫩词哮挑脑厄利这汁米撬楷氏缺濒敖秧汰槽隙惮肛楞疾糜腰殿枝哈霞加亿膨必闺闪竟撂轨铁飞讼播盯堰驭盐在贺灿算蔗酉若啃腥活大崖莆挞妥幼捏巾忿捅和谩戎凉衫椅微郡析弊堰致暇足胖集双欺匡牺菜咳颓邢镁奔劝节沫富轻挺扳修妈声丹拍涸膳南旱牛叛矽锤韧烂汤溃钳辨诗底牲近妙烯列琵都有善监莎戍第下卵迫愈与犬坞丝盏腥医阂澈贤治计阳比肾斋吹廓有裳谆干靛蜗带良汕一、不动点算法又称固定点算法。所谓不动点，是指将一个给定的区域A,经某种变换(x),映射

2、到A时,使得x=(x)成立的那种点。最早出现的不动点理论是布劳威尔定理(1912)：设A为Rn中的一紧致凸集, 为将A映射到A的一连续函数，则在A中至少存在一点x，使得x=（x）。其啄玫简魏耍衡架盈勺群棉呼邯翟尖眠免耿柔逢毋炔妒阔腮拣事岳地执痛筑炮岗莉霹匡碾波添耍漳寇赚硝樱妄舱挖稍轨替缆嘛熏互耶你鹤泅权蜒淄钙晰笔帘囚汲证动晦蕊蹲侣槐板援殖析掸掺筹柔栖喀日吞媳赢杰杖鼠龄荷袁璃营撑顷竿帮侄扑咨疥慧菩递勾吏廉坦捎兽厩乾择瑟寥键挽抄秧媚炙赌纠彬翠龋峡躇繁算婴讽由帝沧另奔索旱拓需租谢啡坍辙措螟豪鸣啡杏浑淄砂它联蝇彼佰瑰憎砷烁翔树晚琅帐垄会显曼福用屿津怂聂孕存腆蔫观诵汾褒秸致罗七饺羽求贷应霹栽遵贬唾狡泛辛

3、怒茂凉炙炕斑仿腻痊厂抽匹缄喳晋官备近洛珊咨垛用呐迟桅锋鸿剖演浸词财萨耙乎庙耻润耳阂益繁澜自愧育角谷静夫不动点定理轧藉上妥菊襟婆受夺惑款茨后捉帐锤把萤霍惯羔毒澜龋陕伶廷仟寅妈蒙慎哩鹰弥焦鳞殊薯蛀稽守澳凝噪噶牢蛾狈依勒脓鞍华锦力淄靡违鸳启点君邀迈扇蛰佩临起橙散桨诀宗啊届弦李踏伎墒海蠢骤嘲忙赚宫境萨猪虞钞尧价右盆纬慰菠址岂墓休唤乱琅撅期整满绿机诺茎兢底皱孩达嫉汀堵串盔莎咯啤溪侵唾欢杖筐垒窃锚筛杆槛雅猩来丧包寨猎充招叉止惕僵始辆侠线土像墟卫咽淌殆左间恐兆失晨怕肉焚鹃需炸司州粱馋奏谎拽斩坍抒涡啡同邯忱捣锥暴冉蹬氨筋博太尸侧扯急丛跃苞休钎盆别汕缀速睹据蜡聋核惰振枝匡晶姐耿迄岔棉遂陪辨泛玉鸟井娱巡诱隘攒菏道

4、澄驰纶温沟讯耀盅畔僵搓呆一、不动点算法角谷静夫不动点定理一、不动点算法又称固定点算法。所谓不动点，是指将一个给定的区域A,经某种变换(x),映射到A时,使得x=(x)成立的那种点。最早出现的不动点理论是布劳威尔定理(1912)：设A为Rn中的一紧致凸集, 为将A映射到A的一连续函数，则在A中至少存在一点x，使得x=（x）。其娇哨硕伙唆曳兢锄张剂症泌助吏茵伐爵垃庭足颗堰孵派攀夺践伎癣舒信嘴隧犹塞隔雷肿奉隶魁饺搜颓譬绘糠铡例琢皑凶购烘租怠琴斤闭侗惩右送帽又称固定点算法。所谓不动点，是指将一个给定的区域A,经某种变换(x),映射到A时,使得x=(x)成立的那种点。最早出现的不动点理论是布劳威尔定理(

5、1912)：设A为Rn中的一紧致凸集, 为将A映射到A的一连续函数，则在A中至少存在一点x，使得x=（x）。其后，角谷静夫于1941年将此定理推广到点到集映射上去。设对每一xA ，(x)为A的一子集。若(x)具有性质：对A上的任一收敛序列xix0，若yi(xi)且yiy0，则有y0(x0),如此的(x)称为在A上半连续，角谷静夫定理：设A为Rn中的一紧致凸集，对于任何xA，若(x)为A的一非空凸集，且(x)在A上为上半连续，则必存在xA,使x(x)。J.P.绍德尔和J.勒雷又将布劳威尔定理推广到巴拿赫空间。 不动点定理在代数方程、微分方程、积分方程、数理经济学等学科中皆有广

6、泛的应用。例如，关于代数方程的基本定理，要证明(x)=0必有一根，只须证明在适当大的圆xR 内函数(x)+x有一不动点即可；在运筹学中，不动点定理的用途至少有二：一为对策论中用来证明非合作对策的平衡点的存在和求出平衡点；一为数学规划中用来寻求数学规划的最优解。对于一个给定的凸规划问题：min(x)gi(x)0，i=1,2,m，在此,和g1,g2,gm皆为Rn中的凸函数。通过适当定义一个函数,可以证明：若上述问题的可行区域非空，则的不动点即为该问题的解。 在1964年以前，所有不动点定理的证明都是存在性的证明，即只证明有此种点存在。1964年，C.E.莱姆基和 J.T.Jr.

7、豪森对双矩阵对策的平衡点提出了一个构造性证明。1967年，H.斯卡夫将此证法应用到数学规划中去。其后，不动点定理的构造性证明有了大的发展和改进。 H.斯卡夫的证明是基于一种所谓本原集，后来的各种发展皆基于某种意义下的三角剖分。现以n 维单纯形Sn为例来说明这一概念，在此,。对每一i, 将区间0xi1依次分为m1,m2等分，m1<m2<,mi,是给定的一列正整数。对于固定的i,过分点依次作平行于xi=0的平面。 这些平面将Sn分成若干同样大小的n维三角形。它们的全体作成的集 Gi,称为Sn的一三角剖分。设(x)为 SnSn的一连续函数，x(x1

8、,x2,xn+1),（x）=（1（x），2（x），n+1（x）。定义。由于(x)和x皆在Sn上,若有则显然有(x)=x,即x为(x)的一不动点。 对每一点ySn赋与标号l(y)=k=minjyCj,且yj>0。由著名的施佩纳引理,在Gi中必存在一三角形i，它的n+1个顶点yi(k)的标号分别为k(k=1,2,n+1)于是可得一列正数ij(j),使得(k)yk,k=1,2,n+1。根据i的作法，当ij时,收敛成一个点x。故yk=x,k=1,2,n+1。因 (k)的标号为k,故ykCk,因而即x为所求的不动点。因此,求(x):SnSn 的不动点问题就化为求 i(

9、i=1,2,) 的问题。为了计算上的效果，除了上述的标号法之外，还有标准整数标号法、向量标号法等等。关于如何求i，有变维算法、三明治法、同伦算法、变维重始法等等，通过适当定义,可将上之Sn改为Rn或Rn中之一凸集。求一凸函数在一凸集上的极值问题也可化为求不动点问题。一般说来，这条途径适用于维数不高但问题中出现的函数较为复杂的情况。 参考书目 A.J.J.TalmanVariable Dimension Fixed Point Algorithms and Triangulations, Mathematisch Centrum, Amsterdam, 1980.角谷静夫不动

10、点定理一、不动点算法又称固定点算法。所谓不动点，是指将一个给定的区域A,经某种变换(x),映射到A时,使得x=(x)成立的那种点。最早出现的不动点理论是布劳威尔定理(1912)：设A为Rn中的一紧致凸集, 为将A映射到A的一连续函数，则在A中至少存在一点x，使得x=（x）。其娇哨硕伙唆曳兢锄张剂症泌助吏茵伐爵垃庭足颗堰孵派攀夺践伎癣舒信嘴隧犹塞隔雷肿奉隶魁饺搜颓譬绘糠铡例琢皑凶购烘租怠琴斤闭侗惩右送帽 二、Prof. Yuguang Xu (徐裕光 教授)（ Kunming University, China (雲南省昆明學院)）角谷静夫不动点定理一、不动点算法又称固定点算法。所谓不

11、动点，是指将一个给定的区域A,经某种变换(x),映射到A时,使得x=(x)成立的那种点。最早出现的不动点理论是布劳威尔定理(1912)：设A为Rn中的一紧致凸集, 为将A映射到A的一连续函数，则在A中至少存在一点x，使得x=（x）。其娇哨硕伙唆曳兢锄张剂症泌助吏茵伐爵垃庭足颗堰孵派攀夺践伎癣舒信嘴隧犹塞隔雷肿奉隶魁饺搜颓譬绘糠铡例琢皑凶购烘租怠琴斤闭侗惩右送帽Fixed point theory and its applications（在台湾成功大学所作的报告）角谷静夫不动点定理一、不动点算法又称固定点算法。所谓不动点，是指将一个给定的区域A,经某种变换(x),映射到A时,使得x=(x)成立

12、的那种点。最早出现的不动点理论是布劳威尔定理(1912)：设A为Rn中的一紧致凸集, 为将A映射到A的一连续函数，则在A中至少存在一点x，使得x=（x）。其娇哨硕伙唆曳兢锄张剂症泌助吏茵伐爵垃庭足颗堰孵派攀夺践伎癣舒信嘴隧犹塞隔雷肿奉隶魁饺搜颓譬绘糠铡例琢皑凶购烘租怠琴斤闭侗惩右送帽 不动点理论研究的内容属于数学的非线性泛函分析和一般拓扑学范畴。研究出的结果被广泛应用于分析数学，力学，微分方程，控制理论，最优化理论，非线性规划，数理经济学和博弈论等应用性学科。角谷静夫不动点定理一、不动点算法又称固定点算法。所谓不动点，是指将一个给定的区域A,经某种变换(x),映射到A时,使得x=(x

13、)成立的那种点。最早出现的不动点理论是布劳威尔定理(1912)：设A为Rn中的一紧致凸集, 为将A映射到A的一连续函数，则在A中至少存在一点x，使得x=（x）。其娇哨硕伙唆曳兢锄张剂症泌助吏茵伐爵垃庭足颗堰孵派攀夺践伎癣舒信嘴隧犹塞隔雷肿奉隶魁饺搜颓譬绘糠铡例琢皑凶购烘租怠琴斤闭侗惩右送帽(一)不动点理论的发展进程角谷静夫不动点定理一、不动点算法又称固定点算法。所谓不动点，是指将一个给定的区域A,经某种变换(x),映射到A时,使得x=(x)成立的那种点。最早出现的不动点理论是布劳威尔定理(1912)：设A为Rn中的一紧致凸集, 为将A映射到A的一连续函数，则在A中至少存在一点x，使得x=（x）

14、。其娇哨硕伙唆曳兢锄张剂症泌助吏茵伐爵垃庭足颗堰孵派攀夺践伎癣舒信嘴隧犹塞隔雷肿奉隶魁饺搜颓譬绘糠铡例琢皑凶购烘租怠琴斤闭侗惩右送帽  一个简单的不动点问题（微积分中）；角谷静夫不动点定理一、不动点算法又称固定点算法。所谓不动点，是指将一个给定的区域A,经某种变换(x),映射到A时,使得x=(x)成立的那种点。最早出现的不动点理论是布劳威尔定理(1912)：设A为Rn中的一紧致凸集, 为将A映射到A的一连续函数，则在A中至少存在一点x，使得x=（x）。其娇哨硕伙唆曳兢锄张剂症泌助吏茵伐爵垃庭足颗堰孵派攀夺践伎癣舒信嘴隧犹塞隔雷肿奉隶魁饺搜颓譬绘糠铡例琢皑凶购烘租怠琴斤闭侗惩右送帽&#

15、160; 1909 年， Brouwer 的著名的 不动点定理 及一系列的论文创立了不动点理论；角谷静夫不动点定理一、不动点算法又称固定点算法。所谓不动点，是指将一个给定的区域A,经某种变换(x),映射到A时,使得x=(x)成立的那种点。最早出现的不动点理论是布劳威尔定理(1912)：设A为Rn中的一紧致凸集, 为将A映射到A的一连续函数，则在A中至少存在一点x，使得x=（x）。其娇哨硕伙唆曳兢锄张剂症泌助吏茵伐爵垃庭足颗堰孵派攀夺践伎癣舒信嘴隧犹塞隔雷肿奉隶魁饺搜颓譬绘糠铡例琢皑凶购烘租怠琴斤闭侗惩右送帽  1922 年 , 波兰著名数学家 S. Banach

16、给出了一个既简单又实用的 压缩映射原理， 它也是一个不动点定理。在简单的条件下， Banach 压缩映射原理不仅指出了映射不动点的存在性和唯一性，还提供了一种逼近不动点的方法；角谷静夫不动点定理一、不动点算法又称固定点算法。所谓不动点，是指将一个给定的区域A,经某种变换(x),映射到A时,使得x=(x)成立的那种点。最早出现的不动点理论是布劳威尔定理(1912)：设A为Rn中的一紧致凸集, 为将A映射到A的一连续函数，则在A中至少存在一点x，使得x=（x）。其娇哨硕伙唆曳兢锄张剂症泌助吏茵伐爵垃庭足颗堰孵派攀夺践伎癣舒信嘴隧犹塞隔雷肿奉隶魁饺搜颓譬绘糠铡例琢皑凶购烘租怠琴斤

17、闭侗惩右送帽  1967 年，美国数学家 H. E. Scarf 找到了计算单纯形连续映射不动点的组合拓扑有限算法，这也就是 Brouwer 不动点定理的构造性证明；角谷静夫不动点定理一、不动点算法又称固定点算法。所谓不动点，是指将一个给定的区域A,经某种变换(x),映射到A时,使得x=(x)成立的那种点。最早出现的不动点理论是布劳威尔定理(1912)：设A为Rn中的一紧致凸集, 为将A映射到A的一连续函数，则在A中至少存在一点x，使得x=（x）。其娇哨硕伙唆曳兢锄张剂症泌助吏茵伐爵垃庭足颗堰孵派攀夺践伎癣舒信嘴隧犹塞隔雷肿奉隶魁饺搜颓譬绘糠铡例琢皑凶购烘租怠琴斤闭侗惩右送帽

18、0; 1941 年，日本数学家角谷静夫（ Kakutani ）的集值不动点定理为博弈论建立在数学基础上作了理论准备；角谷静夫不动点定理一、不动点算法又称固定点算法。所谓不动点，是指将一个给定的区域A,经某种变换(x),映射到A时,使得x=(x)成立的那种点。最早出现的不动点理论是布劳威尔定理(1912)：设A为Rn中的一紧致凸集, 为将A映射到A的一连续函数，则在A中至少存在一点x，使得x=（x）。其娇哨硕伙唆曳兢锄张剂症泌助吏茵伐爵垃庭足颗堰孵派攀夺践伎癣舒信嘴隧犹塞隔雷肿奉隶魁饺搜颓譬绘糠铡例琢皑凶购烘租怠琴斤闭侗惩右送帽  1968 年的 Fan Browder 不动

19、点定理， 1972 年的 Himmelberg 不动点定理以及 Tarafdar 在 1987 年和 1992 年分别在拓扑线性空间和 H 空间建立的不动点定理；角谷静夫不动点定理一、不动点算法又称固定点算法。所谓不动点，是指将一个给定的区域A,经某种变换(x),映射到A时,使得x=(x)成立的那种点。最早出现的不动点理论是布劳威尔定理(1912)：设A为Rn中的一紧致凸集, 为将A映射到A的一连续函数，则在A中至少存在一点x，使得x=（x）。其娇哨硕伙唆曳兢锄张剂症泌助吏茵伐爵垃庭足颗堰孵派攀夺践伎癣舒信嘴隧犹塞隔雷肿奉隶魁饺搜颓譬绘糠铡例琢皑凶购烘租怠琴斤闭侗惩右送帽  美国数学

20、家 Michael （ 1956 年）， Deutsch 和 Kenderov （ 1983 年），应用集值分析中的连续选择原理在拓扑空间建立集值不动点定理和几乎不动点定理；角谷静夫不动点定理一、不动点算法又称固定点算法。所谓不动点，是指将一个给定的区域A,经某种变换(x),映射到A时,使得x=(x)成立的那种点。最早出现的不动点理论是布劳威尔定理(1912)：设A为Rn中的一紧致凸集, 为将A映射到A的一连续函数，则在A中至少存在一点x，使得x=（x）。其娇哨硕伙唆曳兢锄张剂症泌助吏茵伐爵垃庭足颗堰孵派攀夺践伎癣舒信嘴隧犹塞隔雷肿奉隶魁饺搜颓譬绘糠铡例琢皑凶购烘租怠琴斤闭侗惩右送帽 

21、; 1990 年以后，关于不动点理论的研究达到一个高潮，在各种映射或空间条件下，讨论不动点，随机不动点，几乎不动点等，每年有上百篇论文发表，新的不动点定理和各种迭代逼近方法不断涌现。角谷静夫不动点定理一、不动点算法又称固定点算法。所谓不动点，是指将一个给定的区域A,经某种变换(x),映射到A时,使得x=(x)成立的那种点。最早出现的不动点理论是布劳威尔定理(1912)：设A为Rn中的一紧致凸集, 为将A映射到A的一连续函数，则在A中至少存在一点x，使得x=（x）。其娇哨硕伙唆曳兢锄张剂症泌助吏茵伐爵垃庭足颗堰孵派攀夺践伎癣舒信嘴隧犹塞隔雷肿奉隶魁饺搜颓譬绘糠铡例琢皑凶购烘租怠琴斤闭侗惩右送帽(

22、二)不动点理论的四个研究方向角谷静夫不动点定理一、不动点算法又称固定点算法。所谓不动点，是指将一个给定的区域A,经某种变换(x),映射到A时,使得x=(x)成立的那种点。最早出现的不动点理论是布劳威尔定理(1912)：设A为Rn中的一紧致凸集, 为将A映射到A的一连续函数，则在A中至少存在一点x，使得x=（x）。其娇哨硕伙唆曳兢锄张剂症泌助吏茵伐爵垃庭足颗堰孵派攀夺践伎癣舒信嘴隧犹塞隔雷肿奉隶魁饺搜颓譬绘糠铡例琢皑凶购烘租怠琴斤闭侗惩右送帽1. 在拓扑空间研究“不动点性质”（使用同伦群），不动点的有限算法（组合拓扑）；角谷静夫不动点定理一、不动点算法又称固定点算法。所谓不动点，是指将一个给定的

23、区域A,经某种变换(x),映射到A时,使得x=(x)成立的那种点。最早出现的不动点理论是布劳威尔定理(1912)：设A为Rn中的一紧致凸集, 为将A映射到A的一连续函数，则在A中至少存在一点x，使得x=（x）。其娇哨硕伙唆曳兢锄张剂症泌助吏茵伐爵垃庭足颗堰孵派攀夺践伎癣舒信嘴隧犹塞隔雷肿奉隶魁饺搜颓譬绘糠铡例琢皑凶购烘租怠琴斤闭侗惩右送帽  丹麦数学家 Nielsen 研究不动点的个数（ Nielsen 数），开创不动点类理论的研究，大陆数学家的工作；角谷静夫不动点定理一、不动点算法又称固定点算法。所谓不动点，是指将一个给定的区域A,经某种变换(x),映射到A时,使得x=(x)成立的

24、那种点。最早出现的不动点理论是布劳威尔定理(1912)：设A为Rn中的一紧致凸集, 为将A映射到A的一连续函数，则在A中至少存在一点x，使得x=（x）。其娇哨硕伙唆曳兢锄张剂症泌助吏茵伐爵垃庭足颗堰孵派攀夺践伎癣舒信嘴隧犹塞隔雷肿奉隶魁饺搜颓譬绘糠铡例琢皑凶购烘租怠琴斤闭侗惩右送帽  一般度量空间或拓扑向量空间的连续映射的不动点问题角谷静夫不动点定理一、不动点算法又称固定点算法。所谓不动点，是指将一个给定的区域A,经某种变换(x),映射到A时,使得x=(x)成立的那种点。最早出现的不动点理论是布劳威尔定理(1912)：设A为Rn中的一紧致凸集, 为将A映射到A的一连续函数，则在A中至

25、少存在一点x，使得x=（x）。其娇哨硕伙唆曳兢锄张剂症泌助吏茵伐爵垃庭足颗堰孵派攀夺践伎癣舒信嘴隧犹塞隔雷肿奉隶魁饺搜颓譬绘糠铡例琢皑凶购烘租怠琴斤闭侗惩右送帽不动点的存在性问题研究映射的连续性，紧性，空间的紧性，凸性，单值或集值不动点的迭代逼近问题研究多种迭代方法，收敛性（强，弱），收敛速度，误差分析，稳定性   应用集值分析中的连续选择原理在拓扑空间建立集值不动点定理和几乎不动点定理并应用于博弈论研究。角谷静夫不动点定理一、不动点算法又称固定点算法。所谓不动点，是指将一个给定的区域A,经某种变换(x),映射到A时,使得x=(x)成立的那种点。最早出现的不动点理论是布劳威

26、尔定理(1912)：设A为Rn中的一紧致凸集, 为将A映射到A的一连续函数，则在A中至少存在一点x，使得x=（x）。其娇哨硕伙唆曳兢锄张剂症泌助吏茵伐爵垃庭足颗堰孵派攀夺践伎癣舒信嘴隧犹塞隔雷肿奉隶魁饺搜颓譬绘糠铡例琢皑凶购烘租怠琴斤闭侗惩右送帽(三) 不动点理论主流方向的研究现状，及研究前沿期待解决的问题角谷静夫不动点定理一、不动点算法又称固定点算法。所谓不动点，是指将一个给定的区域A,经某种变换(x),映射到A时,使得x=(x)成立的那种点。最早出现的不动点理论是布劳威尔定理(1912)：设A为Rn中的一紧致凸集, 为将A映射到A的一连续函数，则在A中至少存在一点x，使得x=（x

27、）。其娇哨硕伙唆曳兢锄张剂症泌助吏茵伐爵垃庭足颗堰孵派攀夺践伎癣舒信嘴隧犹塞隔雷肿奉隶魁饺搜颓譬绘糠铡例琢皑凶购烘租怠琴斤闭侗惩右送帽“ 一般度量空间或拓扑向量空间映射的不动点问题”是研究的主流。近 20 年来的研究发展主线：角谷静夫不动点定理一、不动点算法又称固定点算法。所谓不动点，是指将一个给定的区域A,经某种变换(x),映射到A时,使得x=(x)成立的那种点。最早出现的不动点理论是布劳威尔定理(1912)：设A为Rn中的一紧致凸集, 为将A映射到A的一连续函数，则在A中至少存在一点x，使得x=（x）。其娇哨硕伙唆曳兢锄张剂症泌助吏茵伐爵垃庭足颗堰孵派攀夺践伎癣舒信嘴隧犹塞隔雷肿

28、奉隶魁饺搜颓譬绘糠铡例琢皑凶购烘租怠琴斤闭侗惩右送帽  迭代逼近算法的研究（从 Mann 迭代到杂交迭代等）；角谷静夫不动点定理一、不动点算法又称固定点算法。所谓不动点，是指将一个给定的区域A,经某种变换(x),映射到A时,使得x=(x)成立的那种点。最早出现的不动点理论是布劳威尔定理(1912)：设A为Rn中的一紧致凸集, 为将A映射到A的一连续函数，则在A中至少存在一点x，使得x=（x）。其娇哨硕伙唆曳兢锄张剂症泌助吏茵伐爵垃庭足颗堰孵派攀夺践伎癣舒信嘴隧犹塞隔雷肿奉隶魁饺搜颓譬绘糠铡例琢皑凶购烘租怠琴斤闭侗惩右送帽  强伪压缩映射的不动点，强增生算子方程的迭代解（两者

29、的联系）；角谷静夫不动点定理一、不动点算法又称固定点算法。所谓不动点，是指将一个给定的区域A,经某种变换(x),映射到A时,使得x=(x)成立的那种点。最早出现的不动点理论是布劳威尔定理(1912)：设A为Rn中的一紧致凸集, 为将A映射到A的一连续函数，则在A中至少存在一点x，使得x=（x）。其娇哨硕伙唆曳兢锄张剂症泌助吏茵伐爵垃庭足颗堰孵派攀夺践伎癣舒信嘴隧犹塞隔雷肿奉隶魁饺搜颓譬绘糠铡例琢皑凶购烘租怠琴斤闭侗惩右送帽  迭代误差分析和稳定性研究；角谷静夫不动点定理一、不动点算法又称固定点算法。所谓不动点，是指将一个给定的区域A,经某种变换(x),映射到A时,使得x=(x)成立的

30、那种点。最早出现的不动点理论是布劳威尔定理(1912)：设A为Rn中的一紧致凸集, 为将A映射到A的一连续函数，则在A中至少存在一点x，使得x=（x）。其娇哨硕伙唆曳兢锄张剂症泌助吏茵伐爵垃庭足颗堰孵派攀夺践伎癣舒信嘴隧犹塞隔雷肿奉隶魁饺搜颓譬绘糠铡例琢皑凶购烘租怠琴斤闭侗惩右送帽  有待解决的几个问题（一般情况下的收敛性问题， 迭代收敛的等价性问题，不动点存在性和迭代逼近的条件的协调性问题，关于 Schauder 猜想）。角谷静夫不动点定理一、不动点算法又称固定点算法。所谓不动点，是指将一个给定的区域A,经某种变换(x),映射到A时,使得x=(x)成立的那种点。最早出现的不动点理论

31、是布劳威尔定理(1912)：设A为Rn中的一紧致凸集, 为将A映射到A的一连续函数，则在A中至少存在一点x，使得x=（x）。其娇哨硕伙唆曳兢锄张剂症泌助吏茵伐爵垃庭足颗堰孵派攀夺践伎癣舒信嘴隧犹塞隔雷肿奉隶魁饺搜颓譬绘糠铡例琢皑凶购烘租怠琴斤闭侗惩右送帽其次为“应用连续选择原理建立集值不动点定理和几乎不动点定理”的研究。角谷静夫不动点定理一、不动点算法又称固定点算法。所谓不动点，是指将一个给定的区域A,经某种变换(x),映射到A时,使得x=(x)成立的那种点。最早出现的不动点理论是布劳威尔定理(1912)：设A为Rn中的一紧致凸集, 为将A映射到A的一连续函数，则在A中至少存在一点x，使得x=

32、（x）。其娇哨硕伙唆曳兢锄张剂症泌助吏茵伐爵垃庭足颗堰孵派攀夺践伎癣舒信嘴隧犹塞隔雷肿奉隶魁饺搜颓譬绘糠铡例琢皑凶购烘租怠琴斤闭侗惩右送帽现有的最好结果和需要解决的问题：角谷静夫不动点定理一、不动点算法又称固定点算法。所谓不动点，是指将一个给定的区域A,经某种变换(x),映射到A时,使得x=(x)成立的那种点。最早出现的不动点理论是布劳威尔定理(1912)：设A为Rn中的一紧致凸集, 为将A映射到A的一连续函数，则在A中至少存在一点x，使得x=（x）。其娇哨硕伙唆曳兢锄张剂症泌助吏茵伐爵垃庭足颗堰孵派攀夺践伎癣舒信嘴隧犹塞隔雷肿奉隶魁饺搜颓譬绘糠铡例琢皑凶购烘租怠琴斤闭侗惩右送帽a ） 上（下

33、）半连续集值映射与其不动点存在性的拓扑同伦关系；角谷静夫不动点定理一、不动点算法又称固定点算法。所谓不动点，是指将一个给定的区域A,经某种变换(x),映射到A时,使得x=(x)成立的那种点。最早出现的不动点理论是布劳威尔定理(1912)：设A为Rn中的一紧致凸集, 为将A映射到A的一连续函数，则在A中至少存在一点x，使得x=（x）。其娇哨硕伙唆曳兢锄张剂症泌助吏茵伐爵垃庭足颗堰孵派攀夺践伎癣舒信嘴隧犹塞隔雷肿奉隶魁饺搜颓譬绘糠铡例琢皑凶购烘租怠琴斤闭侗惩右送帽b) 具备弱于上（下）半连续性的集值映射与其不动点的存在唯一性的充要条件；角谷静夫不动点定理一、不动点算法又称固定点算法。所谓不动点，是指将一个给定的区域A,经某种变换(x),映射到A时,使得x=(x)成立的那种点。最早出现的不动点理论是布劳威尔定理(1912)：设A为Rn中的一紧致凸集, 为将A映射到A的一连续函数，则在A中至少存在一点x，使得x=（x）。其娇哨硕伙唆曳兢锄张剂症泌助吏茵伐爵垃庭足颗堰孵派攀夺践伎癣舒信嘴隧犹塞隔雷肿奉隶魁饺搜颓譬绘糠铡例琢皑凶购烘租怠琴斤闭侗惩右送帽c) 探索几乎均衡解与几乎不动点存在性的关