大数定理与正态分布ppt课件

1、第十一讲第十一讲 大数定理与正态分布大数定理与正态分布 本次课讲授第四章第1-5节，正态分布，中心极限定理； 下次课讲授第四章第5节，第五章第1-4节;数理统计根底知识； 下次上课时交作业P41-42页； 重点：正态分布的概率、期望与方差； 难点：正态分布的概率、期望与方差；covariance )( )( YEYXEXE ),(YXc co ov v协方差协方差(相关矩相关矩):. 0),cov( YXYX独独立立，则则、若若),cov(2)()()()()()(),cov(YXYDXDYXDYEXEXYEYX )()(,)()(cov(),cov(),(*YYEYXXEXYXYXR 相关系

2、数：相关系数：.1),()2( YXR性性质质定定理理：1相关系数的计算相关系数的计算: )()(),cov(),(YDXDYXYXR (3)(3)强相关定理强相关定理,bXaY 1),( YXR（证明略）（证明略）时时时时且且. 10; 10 RbRb一、回想：两个变量的相关特征一、回想：两个变量的相关特征第十一讲第十一讲 大数定理与正态分布大数定理与正态分布不不相相关关。与与则则称称随随机机变变量量即即若若YXYEXEXYEYXR),()()(, 0),( (4)(4)不相关概念不相关概念由定义容易得到不相关的几个等价结论由定义容易得到不相关的几个等价结论; 0),()1( YXR式得到）

3、式得到）（由相关系数的计算公（由相关系数的计算公; 0),cov()2( YX到）到）由协方差的均值定理得由协方差的均值定理得)()()()3(YEXEXYE 公公式式推推出出。提提示示：该该式式方方差差的的加加法法)()()()4(YDXDYXD ),cov(2)()()(YXYDXDYXD 第十一讲第十一讲 大数定理与正态分布大数定理与正态分布10-2-1 将一枚硬币反复掷将一枚硬币反复掷n次，次，X 和和Y 分别表示正面向上和反分别表示正面向上和反面向上的次数，那么面向上的次数，那么X和和Y的相关系数等于的相关系数等于解解,nYX 1),()1, YXRbnaXnY（1),(, 01 Y

4、XRb又又选选(A).(A) -1 (B) 0 (C) 0.5 (D) 1. 2001年年例题例题10-2-22000，3分分2222222222)()()()()();()()()()()()()();()(),YEYEXEXEDYEXECYEYEXEXEBYEXEAYXYXYX （）不不相相关关的的充充要要条条件件为为（与与则则随随机机变变量量）的的方方差差期期望望都都存存在在，设设二二维维随随机机变变量量（ 0),cov(0),( R不相关不相关与与分析：分析：)()()(),cov(),cov(0YXEYXEYXYXEYXYX )()()()()()()(22222222YEYEXEX

5、EYEXEYXE B故选故选第十一讲第十一讲 大数定理与正态分布大数定理与正态分布三、切比雪夫定理三、切比雪夫定理 1.背景：假设知一个随机变量分布的均值与方差，那么随机变量值的是以什么方式集中在均值附近？例如某年级1000名学生线性代数课程成果的均值为85分，我们关怀的是，有多少学生的成果集中在均值附近？2.2.切比雪夫定理不等式：切比雪夫定理不等式：。即即：内内的的概概率率不不小小于于（取取值值在在则则对对于于任任一一设设22211)(.11), 0,)(,)(kkxPkkkxkXDXE 0 dxxfxxExD)()()()(222 证证：为为密密度度函函数数，且且非非负负。其其中中)(x

6、f第十一讲第十一讲 大数定理与正态分布大数定理与正态分布 非非负负且且由由于于域域分分成成三三部部分分证证：将将积积分分按按照照积积分分区区 kkkkkkdxxfxdxxfxdxxfxdxxfxdxxfxx)()()()()()()()()()()(,2222222222222)(,)(, kxkxkxkxkx 得出：得出：同理，第二个积分也可同理，第二个积分也可所以所以对第一个积分，由于对第一个积分，由于 kkdxxfkdxxfk)()(22222 即即： kkdxxfdxxfk)()(12 21)()(21xxdxxfxXxP：由由区区间间概概率率和和密密度度关关系系第十一讲第十一讲 大数

7、定理与正态分布大数定理与正态分布)()()()( xkPkxPdxxfdxxfkk 所所以以：)()()(12 kxPdxxfdxxfkkk 即即：211)(1)(kkxPkxP )()()( kxPkxPkxP )(1112 kxPk 即即：22)(1)(;)()(, xDXExPxDxExPk ：则得到切比雪夫不等式则得到切比雪夫不等式在切比雪夫定理中，令在切比雪夫定理中，令第十一讲第十一讲 大数定理与正态分布大数定理与正态分布例题例题10-3-1(2001，数一，数一_)2)(2 xExPx估估计计，根根据据切切比比雪雪夫夫不不等等式式的的方方差差为为设设变变量量2122)()2)(2)

8、(222 xDxExPxD所所以以，由由已已知知中中，令令解解；在在切切比比雪雪夫夫不不等等式式设独立随机变量设独立随机变量 ,21nXXX并且方差是一致有上界的，即存在某并且方差是一致有上界的，即存在某, 2 , 1,)( niKXDi 那么对于任何正数那么对于任何正数 ，恒有，恒有 定理定理2切比雪夫大数定理切比雪夫大数定理分别有数学期望分别有数学期望 ),(,),(),(21nXEXEXE,),(,),(2 nXDXD及方差及方差 D(X1),一常数一常数K，使得，使得第十一讲第十一讲 大数定理与正态分布大数定理与正态分布1)(11lim11 niiniinXEnXnP证证)(1)1()

9、()()(1)1()()(,1121111 niiniiniiniiniiXDnXnDXDzDXEnXnEXEzEXnXz对对随随机机变变量量)(1 11 )(11 ,1,)(1)(1221112 niiniiniiniiXDnXEnXnPXnXzzDzEzP 即即：代代入入由由切切比比雪雪夫夫不不等等式式，第十一讲第十一讲 大数定理与正态分布大数定理与正态分布2211nnK .12 nK 所以上式：所以上式：因为因为,)(KXDi )(1 11 )(11 12211 niiniiniiXDnXEnXnP 1)1lim)(11lim211 nKXEnXnPnniiniin（1lim, 1 PP

10、n即即又又由由概概率率性性质质1)(11lim11 niiniinXEnXnP推推论论视视为为切切比比雪雪夫夫不不等等式式的的该该不不等等式式可可)(1 11 )(11 12211 niiniiniiXDnXEnXnP 第十一讲第十一讲 大数定理与正态分布大数定理与正态分布3.3.依概率收敛定义依概率收敛定义：时时趋趋于于的的概概率率当当事事件件若若对对任任何何正正数数1, naXn 1lim aXPnnanXn时依概率收敛于时依概率收敛于当当则称随机变量则称随机变量 推论：推论： 存在存在:;,2, 1,)(,)(2 niXDXEii 11lim1 niinXnP设独立随机变量设独立随机变量

11、服从同一分布服从同一分布,期望及方差期望及方差nXXX,21 那么对于任何正数那么对于任何正数 ，有，有代代入入即即可可，在在切切比比雪雪夫夫大大数数定定理理中中 nnXEnniXDXEniiii1)(1;,2, 1,)(,)(12 第十一讲第十一讲 大数定理与正态分布大数定理与正态分布在独立实验序列中在独立实验序列中,设事件设事件 A 的概率的概率P(A) = p， . 1)(lim pAfPnn定理定理3(3(伯努利定理伯努利定理按概率收敛于事件按概率收敛于事件 A 的概率的概率p.即对于任何正数即对于任何正数那么事件那么事件 A在在 n 次独立实验中发生的频率次独立实验中发生的频率fn(

12、A),当实验次当实验次数数时，时， n , 有有证证设随机变量设随机变量 Xi 表示事件表示事件A 在第在第 i 次实验中发生的次数次实验中发生的次数(i=1,2, ,n, ),那么这些随机变量相互独立，服从一样的那么这些随机变量相互独立，服从一样的0-10-1分布，分布，且有数学期望与方差：且有数学期望与方差：, 2 , 1,)(,)(nipqXDpXEii 由切比雪夫定理的推论即得由切比雪夫定理的推论即得11lim1pXnPniin)(11AfnmXnnnii 而而 niiX1就是事件就是事件A在在n次实验中发生的次数次实验中发生的次数m，由此可知，由此可知 . 1)(lim pAfPnn

13、 第十一讲第十一讲 大数定理与正态分布大数定理与正态分布一、正态分布的密度与分布一、正态分布的密度与分布1.1.背景：正态分布是现代统计学的根底。背景：正态分布是现代统计学的根底。1818世纪科学家发现丈世纪科学家发现丈量的误差具有惊人的规律性，这种规律性满足类似于某种特殊量的误差具有惊人的规律性，这种规律性满足类似于某种特殊的的“中间大，两头小的特征，现实中众多的问题都具有这种特中间大，两头小的特征，现实中众多的问题都具有这种特性，棣美佛、拉普拉斯、高斯是最初研讨类似景象并发现了其性，棣美佛、拉普拉斯、高斯是最初研讨类似景象并发现了其密度和分布的数学家。他们将这种分布称为正态分布。密度和分布

14、的数学家。他们将这种分布称为正态分布。2.2.正态分布的密度正态分布的密度 21)()()()()()()()()()(1221xxxdxxfxFxFxXxPxFxfdxxfxFxFxXPX，或或且且的的密密度度与与分分布布关关系系如如下下我我们们已已知知连连续续随随机机变变量量第十一讲第十一讲 大数定理与正态分布大数定理与正态分布.,2 N记作记作 1.1.定义定义其中其中 及及 0 0都为常数，这种分布叫做正态分布或高斯分布。都为常数，这种分布叫做正态分布或高斯分布。设延续型随机变量设延续型随机变量 X X 的概率密度为的概率密度为 xexfx,21)(222)( dxxfdxex2222

15、1 xtdtet2221 1)21(1 02222dtet ）（21,21,02212dssdtst 则则令令dsesdtest 212212 dsesdtedxxfst 021022122222 第十一讲第十一讲 大数定理与正态分布大数定理与正态分布奇偶伽马求奇偶伽马求正态积分三步走，标准正态积分三步走，标准特别地，当特别地，当 时，正态分布时，正态分布 叫做规范正态分布。叫做规范正态分布。 其概率密度为其概率密度为 xexx,2122 1,0N1, 0 2.2.正态分布正态分布 的密度曲线的密度曲线 2, NO 21 xfx 22221 xexf假设固定假设固定=0 O xfx第十一讲第十

16、一讲 大数定理与正态分布大数定理与正态分布第十一讲第十一讲 大数定理与正态分布大数定理与正态分布3.正态密度函数的性质正态密度函数的性质 积积分分的的特特殊殊性性函函数数，还还具具有有对对称称区区间间标标准准正正态态密密度度由由于于是是偶偶，数数的的非非负负规规范范性性，另另外外首首先先都都具具有有一一般般密密度度函函和和标标准准正正态态密密度度的的密密度度正正态态密密度度22222221)(21)(),(xxexexfN 12122212221)(1)()(02022222 dxedxedxexdxxdxxfxxx 是是偶偶函函数数且且212121020222 dxedxexx 第十一讲第十

17、一讲 大数定理与正态分布大数定理与正态分布O1 xFx0.5 的的表表达达式式为为：因因此此，正正态态分分布布2, N dtexFxt222 21 4.4.正态变量的分布函数正态变量的分布函数 xdxxfxFxFxf)()(),()(的的关关系系式式是是首首先先：分分布布函函数数与与密密度度的的关关系系式式为为：与与其其密密度度，则则为为量量的的分分布布函函数数特特殊殊地地，设设标标准准正正态态变变)()()(xxx dtedxxxxxtxx2221)()(),()( dxexFxFxXxPxxx 2122 2122121)()( )(). 5xFx 求求（用用 1222 2 22121xtx

18、tdtedte xt 212221xxtdte)()()()()()()(12121221 xxttxFxFxXxP查表查表)()()()(,22221 xxxXPxx也可求单侧概率：也可求单侧概率： 注注11 xx 1)()(xXPxXPy 轴轴对对称称，即即标标准准正正态态分分布布密密度度关关于于)1)(1)()()xxXPxXPxXPx（即即 注注22可以推出单侧概率可以推出单侧概率，上式，上式 21,5 . 0)0(, 1)(xx第十一讲第十一讲 大数定理与正态分布大数定理与正态分布。标标准准积积分分时时，关关注注偶偶奇奇均均分分，标标准准求求口口诀诀：正正态态;P 11-1-1 ,2

19、 , 12NX若若求求 .4 ;1 ;30XPXPXP解解 30 XP 210 213 5 . 0 1 15 . 0 1 16915. 08413. 0 .5328. 0 )1(1 XP 211 0 . 5 . 0 4 XP 2141 41XP 5 . 11 .0668. 0 , 3, 2, 1k 假设假设 , 求求X 落在区间落在区间 内的概率，内的概率， kk,其中其中例题例题11-1-2 2, NX第十一讲第十一讲 大数定理与正态分布大数定理与正态分布解解 kXkP kXP k 12k 查表得查表得 6826. 0112 XP 9544. 01222 XP 9973. 01323 XP

20、99994. 01424 XP kk k 9999994. 01)5(25 XP 9973. 01323 XP注注意意到到：003. 0002. 09973. 013 XP第十一讲第十一讲 大数定理与正态分布大数定理与正态分布O 21 xfx 2 3 2 3 拐点拐点 拐点拐点 随机变量随机变量 X 落在落在 3,3之外的概率小于之外的概率小于3。 通常以为这一概率很小，根据小概率事件的实践不能够性通常以为这一概率很小，根据小概率事件的实践不能够性 原理，我们常把区间原理，我们常把区间 3,3看作是随机变量看作是随机变量 X 的的 实践能够的取值区间这一原理叫做三倍规范差原理或实践能够的取值区

21、间这一原理叫做三倍规范差原理或3 法那么。法那么。第十一讲第十一讲 大数定理与正态分布大数定理与正态分布第十一讲第十一讲 大数定理与正态分布大数定理与正态分布例题例题11-1-32021，4分分. 2)(; 1)(; 423)(; 432)(, )0, 0( ,0),(0),()(3, 1)()(2121 baDbaCbaBbaAbabaxxbfxxafxfxfxf）应应满满足足（则则若若均均匀匀分分布布的的概概率率密密度度，上上的的为为密密度度，为为标标准准正正态态分分布布的的概概率率设设1)()(, 031,41)(,21)()(, 0)(2212 dxxfxfxxfexxfxfx所所以以

22、满满足足规规范范性性：是是密密度度函函数数，因因为为。其其它它由由题题设设：分分析析，显显然然 第十一讲第十一讲 大数定理与正态分布大数定理与正态分布 0201)()()(1dxxbfdxxafdxxf即即：代代入入规规范范性性取取值值区区间间根根据据由由已已知知xbaxxbfxxafxf, )0, 0( ,0),(0),()(21 , 1432143214202300222 babdxeadxbdxeaxx )(, 432Aba选答案选答案故：故： 二、正态分布的数字特征二、正态分布的数字特征1.1.数学期望数学期望 dxxxfXE)()(义义：根根据据数数学学期期望望即即均均值值定定代代入

23、入公公式式的的密密度度函函数数将将正正态态分分布布021)(),(222)(2 xexfNxdxxeXEx222)(21)( xtdtett22)(21 dttedtett 2222221分分，后后者者为为奇奇函函数数对对称称积积）（前前者者为为区区间间积积分分加加倍倍且且分分为为零零，而而偶偶函函数数对对称称注注意意奇奇函函数数对对称称区区间间积积 第十一讲第十一讲 大数定理与正态分布大数定理与正态分布1.1.方差方差 将将正正态态分分布布密密度度代代入入由由方方差差定定义义 dxxfXExXD)()()(2 dxexXDx222)(2)(21)( xtdtett22222 ),(2 NX0

24、21)(222)( xexfx )(XE3.3.中心矩中心矩 dxxfXExXkk)()( 由由中中心心矩矩公公式式是偶函数是偶函数dtett 0222222 stesdtest 2,221222则则令令22202120212)21(212)23(222222)( dsesdsessXDss第十一讲第十一讲 大数定理与正态分布大数定理与正态分布dxexXxkk222)()(21)( xtdtettkk222 假设假设 k 为偶数，为偶数，2122kkk , 6, 4, 2!)!1( kkk 22tz dzzekkzk02122 假设假设 k 为奇数，奇函数对称积为奇数，奇函数对称积分分, 5,

25、 3, 10 kk 那么：那么：dtettkkk02222 的的一一切切奇奇数数的的阶阶乘乘到到表表示示从从注注意意1!)!1( kk1第十一讲第十一讲 大数定理与正态分布大数定理与正态分布例题例题11-2-1(87,数学一数学一._)(_,)(,1)(122 xDxEexfXxx则则的的概概率率密密度度为为已已知知 度度恒恒等等变变形形为为正正态态分分布布密密解解：将将X222)(21)( xexf222)212(121221211)(xxxxeexf 21)(, 1)(),21, 1(2 xDxENX其中：其中：则则22)212()1(2121 xe 第十一讲第十一讲 大数定理与正态分布大

26、数定理与正态分布第十一讲第十一讲 大数定理与正态分布大数定理与正态分布例题11-2-22021，4分._)()(),21(7 . 0)(3 . 0)( XExxxxFX函函数数，则则为为标标准准正正态态分分布布的的分分布布其其中中的的分分布布函函数数为为设设随随机机变变量量2121)21(7 . 0)(3 . 0)()(),(的的复复合合函函数数是是注注意意由由密密度度与与分分布布的的关关系系：的的密密度度为为分分析析：设设xxxxxFxfxfX dxxxdxxxdxxxfEX)21(35. 0)(3 . 0)( 故只要积第二个即可故只要积第二个即可，为为为奇函数对称区间积分为奇函数对称区间积

27、分是偶函数，是偶函数，注意到注意到0)()(xxx dttdtttdtttEX)(7 . 0)(4 . 12)()12(35. 0 7 . 0)(7 . 0)(700 dtt .二维随机变量二维随机变量( X,Y ) ( X,Y ) 的正态分布概率密度表示如下：的正态分布概率密度表示如下： 22 22 22121 2121,yyyxyxxxyyxrxryxeryxf 其中，参数其中，参数 及及 分别是随机变量分别是随机变量 X X 及及 Y Y 的数学期望，的数学期望， x y 及及 分别是它们的规范差，分别是它们的规范差，x y 参数参数参数参数 r r 是它们的相关系数。是它们的相关系数。

28、三、二维正态分布三、二维正态分布1.1.二维正态分布的密度二维正态分布的密度2.2.二维正态分布的边缘密度二维正态分布的边缘密度 根据二维分布密度函数定义根据二维分布密度函数定义 yxdudvvufyxFyx,),(),(第十一讲第十一讲 大数定理与正态分布大数定理与正态分布 dxyxfyfdyyxfxxFxfYX),()(),(),()(，则则：（若若：),(),22yyxxNYNX dyerxfyxgyxX,2121)( 222)(21xxxxe .,2xxX 即即： 22222)()(2)()1 ( 21),(yyyxyxxxyyxrxryxg 其其中中：222)(21),()(yyxY

29、Yedxyxfyf 同同理理),(2YYNY ).,(),(),(2222YYXXYXYXNNrN ，分分别别为为分分布布都都是是一一维维正正态态分分布布的的两两个个边边际际因因此此，二二维维正正态态分分布布推导繁琐略）推导繁琐略）(第十一讲第十一讲 大数定理与正态分布大数定理与正态分布3.3.二维正态分布的数字特征二维正态分布的数字特征.)(,)(,)(,)(),(2222YXYXYXYXYDXDYExErN 中中二二维维正正态态分分布布127.),(;),cov(),(),(),(22PrYXRrYXYXRYXCovrNYXYXYX可可参参考考相相关关教教材材证证明明繁繁琐琐略略，有有兴兴

30、趣趣者者分分别别为为：与与相相关关系系数数的的协协方方差差布布可可以以证证明明：二二维维正正态态分分 假设随机变量假设随机变量X与与 Y 独立独立, 并且都服从正态分布并且都服从正态分布,那么那么 yfxfyxfYX,第十一讲第十一讲 大数定理与正态分布大数定理与正态分布。独独立立且且都都服服从从正正态态分分布布与与充充要要条条件件是是）的的不不相相关关（、变变量量定定理理：二二维维正正态态分分布布的的YXrYXr00 22 22 22121 2121,yyyxyxxxyyxrxryxeryxf .21)()(222221 yyxxyxyxYXeyfxf 0, ryfxfyxfYX，得得：由由

31、反之反之, 假设设假设设 r = 0, 那那么得么得 22222121,yyxxyxyxeyxf 222222 2121yyxxxyyxee yfxfYX 第十一讲第十一讲 大数定理与正态分布大数定理与正态分布，等效独立。，等效独立。口诀：二维正态不相关口诀：二维正态不相关例例11-3-1 设随机变量设随机变量X 与与Y 独立独立, 并且都服从正态分布并且都服从正态分布 N (0, 1) ,求求22YXZ 的概率密度的概率密度. 解解 ,21),(2 22yxeyxf , 0 时时当当 zzyxyxZdxdyezF22222 21)( zrrdred02 20221 2 1ze)()( zFd

32、zdzfZZ 0 , 00 ,2121 zzezzxyo22YXZ ) 2(2 . 0, 0 zZPzFz时时当当第十一讲第十一讲 大数定理与正态分布大数定理与正态分布第十一讲第十一讲 大数定理与正态分布大数定理与正态分布例题例题11-3-22007，4分分.)()()();()()();()();()()()/()(),(/yfxfDyfxfCyfBxfAyxfXyYYXyfxfYXYXYXYXYXYXYX 密密度度的的条条件件概概率率的的条条件件下下，的的概概率率密密度度，则则在在、分分别别表表示示不不相相关关，与与服服从从二二维维正正态态分分布布，且且和和设设随随机机变变量量独独立立。与

33、与由由已已知知，于于独独立立，因因此此布布情情况况下下，不不相相关关等等效效分分析析：因因为为二二维维正正态态分分YX)()/()()/(),()/(/xfyxfBPABPAPBAPXYX 密度与分布同理：密度与分布同理：独立时的等价定义：独立时的等价定义：来来判判断断。并并求求出出及及等等效效独独立立性性代代入入注注：也也可可根根据据)(),()/()()(),(0/yfyxfyxfyfxfyxfrYYXYX 四、正态变量的线性函数的分布四、正态变量的线性函数的分布1.Y= a+bX 1.Y= a+bX 的分布的分布定理定理1., ,222 bbaNbXaYNX则则设设第十一讲第十一讲 大数

34、定理与正态分布大数定理与正态分布服服从从一一维维正正态态分分布布。未未必必独独立立；与与服服从从二二维维正正态态分分布布；一一定定独独立立；和和们们不不相相关关，则则：都都服服从从正正态态分分布布，且且它它和和设设随随机机变变量量YXDYXCYXBYXAYX )()(),)()(例题例题11-3-32003，数三，数三，4分分CABYXYX也也不不成成立立，显显然然选选因因此此二二维维正正态态分分布布条条件件下下，不不相相关关等等效效独独立立指指在在不不能能选选，同同时时二二维维正正态态因因此此，答答案案服服从从正正态态分分布布，味味着着服服从从正正态态分分布布，并并不不意意与与分分析析：),

35、(证证 22221 xXexfX的的概概率率密密度度函函数数为为：的的分分布布函函数数为为（)0 bbXaY bayfbyfbXY1)(0 时时的的密密度度为为同同理理求求 222221)(1)()( bbayXYYebbayfbyFyf 由于由于 bxay是单调函数，且反函数为是单调函数，且反函数为 ,bayx,1bxy.1 , 0*,2NXXNX 则则设设推论推论)()()()()(bayFbayXPybXaPyYPyFX 则则得得：在在如如上上定定理理中中，若若令令,1, ba第十一讲第十一讲 大数定理与正态分布大数定理与正态分布22,yyxxNYNXYX ，独独立立，且且与与设设定理定

36、理2.,22yxyxNYXZ 则则证证 ,21222xxxxXexf 的的概概率率密密度度函函数数为为与与YX .21222yyyyYeyf 的的概概率率密密度度函函数数为为YXZ .)(dxxzfxfzfYXZdxezfyyxxxzxyxZ22222121)( 第十一讲第十一讲 大数定理与正态分布大数定理与正态分布直接得结论直接得结论题没有什么帮助，下略题没有什么帮助，下略该积分比较繁琐且对解该积分比较繁琐且对解)(2)(22222 21yxyxzyxe niNXXXXiiin, 2 , 1,221，独独立立，且且设设 定理定理321211,iniiniiiniiiccNXc 则则222)(

37、)()()()()()()(YXZYXZYDXDYXDZDYEXEYXEZEYXZ 时时并并且且态态，随随机机变变量量的的和和仍仍服服从从正正定定理理表表明明，独独立立的的正正态态以上结论还可以推行到更普通的情况以上结论还可以推行到更普通的情况第十一讲第十一讲 大数定理与正态分布大数定理与正态分布，方方差差均均值值。口口诀诀：正正态态独独立立可可加加减减第十一讲第十一讲 大数定理与正态分布大数定理与正态分布值值。；独独立立可可加加减减，方方差差均均二二维维不不相相关关，等等效效独独立立；标标准准积积分分时时，关关注注偶偶奇奇；均均分分，标标准准求求正正态态P 正态分布需求关注和其它分布的不同点

38、，除了分布函数与密正态分布需求关注和其它分布的不同点，除了分布函数与密度函数的方式不同以外，它区别于其它分布的几个重点如下：度函数的方式不同以外，它区别于其它分布的几个重点如下：例题例题11-4-1(1999,3分分);21)1()(;21)0()(;21)1()(;21)0()(),1 , 1(),1 , 0( YXPDYXPCYXPBYXPANNYX则则：分分别别服服从从正正态态分分布布与与设设两两个个独独立立的的随随机机变变量量)2 , 1(),2 , 1(, NYXTNYXZYXTYXZ也服从正态分布，且也服从正态分布，且差均值。因此差均值。因此分析：独立可加减，方分析：独立可加减，方

39、21)0()()()(, ，考考虑虑到到即即由由题题要要求求，标标准准求求 zzFzZPPZ第十一讲第十一讲 大数定理与正态分布大数定理与正态分布21)0()211()1()1()1( ZFZPYXPB故选故选例题例题11-4-21998，6分分的的方方差差。量量的的正正态态分分布布，求求随随机机变变，方方差差为为值值为为相相互互独独立立，且且都都服服从从均均设设两两个个随随机机变变量量YXYX 210,为为标标准准正正态态分分布布即即为为服服从从正正态态分分布布，且且均均值值也也，因因此此独独立立可可加加减减，方方差差均均值值解解：令令)1 , 0(. 1, 0,NZDYDXDZEYEXEZ

40、ZYXZ ), 0(,2,2221)(,)()(220222 tzdzdtztdzzedzezZEdzzzZEzz令令偶偶偶偶的的偶偶： 第十一讲第十一讲 大数定理与正态分布大数定理与正态分布 0202222)(2dtedzzeZEtz 222)1(22 101)()()(),(1, 02222 ZEDZZEZEZEDZEZ即：即：求求由已知由已知 21)()()()(2222 ZEZEZDYXDEXEXDX由由方方差差的的均均值值公公式式：五、中心极限定理五、中心极限定理1.1.背景：大数定理通知我们，随机变量个数很大时，独立随背景：大数定理通知我们，随机变量个数很大时，独立随机变量之和收敛

41、于其均值的和。此时，独立随机变量之和的机变量之和收敛于其均值的和。此时，独立随机变量之和的规范变量的概率分布应是什么形状？中心极限定理通知我们，规范变量的概率分布应是什么形状？中心极限定理通知我们，变量个数很大时，和的分布依概率收敛于规范正态分布。变量个数很大时，和的分布依概率收敛于规范正态分布。设随机变量之和为设随机变量之和为: ,1 niinXY且数学期望和方差都存在：且数学期望和方差都存在： , ,.2()()01,2,iiiiE X D Xin 设随机变量设随机变量 ,21nXXX相互独立相互独立, )(nYE()nD Y那么那么,1nii=21 nii=.n2s1()1()()nnn

42、niii=nnY - E YZX - sD Y那么和的规范变量为：那么和的规范变量为：2.2.中心极限定理变量的设定中心极限定理变量的设定第十一讲第十一讲 大数定理与正态分布大数定理与正态分布1.1.林德伯格条件及其意义林德伯格条件及其意义设独立随机变量设独立随机变量 ,21nXXX有有, 2211lim()( )0 inniix-sninx-f x dxs ( )if x其中其中iX是随机变量是随机变量 的概率密度的概率密度,假设对于恣意的正假设对于恣意的正数数 , 满满足足林林德德伯伯格格条条件件则则称称nXXX,211)(, 0)( nnZDZE即即具具体体不不去去证证明明。限限。小小不

43、不影影响响整整体体求求和和的的极极很很大大时时部部分分项项的的由由于于很很即即非非常常小小，所所以以都都趋趋于于和和的的每每一一项项它它是是说说条条件件式式子子中中林林德德伯伯格格条条件件的的意意义义：n0 第十一讲第十一讲 大数定理与正态分布大数定理与正态分布那么当那么当 时，时，n2-2-1lim,2tznnP Zze dt 有有设独立随机变量设独立随机变量 ,21nXXX有有,2211lim()( )0 inniix-sninx-f x dxs ( )if x其中其中是随机变量是随机变量 的概率密度的概率密度,iX即对于恣意的正数即对于恣意的正数 , 2-12-()1lim,2ntiiz

44、i=nnX - Pzedts (z 为恣意实数为恣意实数) 即即2.2.林德伯格定理林德伯格定理时时服服从从标标准准正正态态分分布布当当个个变变量量和和的的标标准准变变量量氏氏条条件件，则则个个独独立立随随机机变变量量满满足足林林要要林林德德伯伯格格定定理理指指出出，只只 nYYEYznnnnn)()( 第十一讲第十一讲 大数定理与正态分布大数定理与正态分布服从一样的分布，服从一样的分布，并且有数学期望和方差：并且有数学期望和方差： ., 2 , 1, 0)(,)(2 niXDXEii那么当那么当 时，时，n,21lim212ztniindteznnXP (z 为恣意实数为恣意实数) 设独立随

45、机变量设独立随机变量 ,21nXXX它们和的极限分布是正态分布，即它们和的极限分布是正态分布，即 在中心极限定理中，我们重点关注列维-林德伯格定理和拉普拉斯中心定理需需要要熟熟练练地地记记住住：所所以以，它它的的条条件件和和结结论论出出现现在在考考试试题题中中，列列维维中中心心极极限限定定理理经经常常不不进进行行详详细细解解说说，但但是是帮帮助助不不大大，我我们们推推导导一一样样，对对我我们们解解题题该该定定理理的的证证明明和和条条件件的的第十一讲第十一讲 大数定理与正态分布大数定理与正态分布112=nii=XnxnxnPnnn 121()nii =PxXx )1 , 0()()(,)1(121NnnXYYEYznXXXnniinnnn ：即即：变变量量服服从从标标准准正正态态分分布布时时，它它们们的的和和的的标标准准林林氏氏条条件件，即即存存在在，就就说说明明它它们们满满足足，期期望望方方差差只只要要满满足足独独立立，同同分分布布个个随随机机变变量量dtezZPzFzt 2221)()( 即即：)()()(12221212zzdtezZzPzz