大学物理习题课——狭义相对论

1、大学物理习题课大学物理习题课狭义相对论狭义相对论张耀辉张耀辉2010-04习题课内容习题课内容 总结总结 例题选解例题选解总结总结 牛顿绝对时空观牛顿绝对时空观 长度和时间的测量与参考系无关。长度和时间的测量与参考系无关。 伽利略坐标变换伽利略坐标变换 伽利略速度变换伽利略速度变换 加速度关系加速度关系ttzzyyutxxttzzyyutxx正变换正变换逆变换逆变换xxyyzzvvuvvvvaa 狭义相对论的基本假设狭义相对论的基本假设爱因斯坦相对性原理爱因斯坦相对性原理物理规律对所有的惯性系都是一样的，不存在任何一个物理规律对所有的惯性系都是一样的，不存在任何一个特殊的惯性系。特殊的惯性系。

2、光速不变原理光速不变原理在任何惯性系中，光在真空中的速率都相等。在任何惯性系中，光在真空中的速率都相等。smc/458,792,299同时性的相对性同时性的相对性)(/122为固有时间tcutt长度收缩长度收缩时间延缓时间延缓)(/122为固有长度lcull麦克尔逊莫雷实验麦克尔逊莫雷实验洛伦兹变换洛伦兹变换相对论动量相对论动量速度变换速度变换坐标变换坐标变换22222/1/1cuxcuttzzyycuutxx2222222/11/111cucuvvvcucuvvvcuvuvvxzzxyyxxx相对论质量相对论质量)(/10220为静质量mcvmm220/1cvvmvmp相对论动量能量关系式相

3、对论动量能量关系式相对论能量相对论能量相对论动能相对论动能2mce 2020cmmceeek420222cmcpe1. 在在s系中系中观察到两个事件观察到两个事件同时同时发生在发生在x轴上，其间距离是轴上，其间距离是1m。在在s系中观察这两个事件之间的距离是系中观察这两个事件之间的距离是2m。求在。求在s系中这两个系中这两个事件的时间间隔。事件的时间间隔。解：解：应用洛伦兹变换。应用洛伦兹变换。由题意知由题意知按照洛伦兹变换有按照洛伦兹变换有从（从（1）式解出）式解出代入（代入（2）式得）式得mxmxt2,1, 0)1 (/1/12222cuxcutuxx)2(/1/1/222222cuxcu

4、cucxutt21xxcusxxcxt8282103321110321s810577. 02. 一根长为一根长为l0的棒，静置在坐标系的的棒，静置在坐标系的x-y平面上，与平面上，与x轴成轴成 0角，相对于实验室参考系角，相对于实验室参考系x-y，棒以速度，棒以速度v沿着沿着x轴向右运动，求轴向右运动，求在此参考系中棒的长度和取向。在此参考系中棒的长度和取向。l0 0vyxoyxo解：解：令棒的两端为令棒的两端为a和和b，在相对棒静止的参考系中，两端的，在相对棒静止的参考系中，两端的坐标分别为坐标分别为要得到相对实验室参考系的棒的长度，需要在某同一时刻要得到相对实验室参考系的棒的长度，需要在某

5、同一时刻t，测得测得a、b两端的坐标。应用洛伦兹两端的坐标。应用洛伦兹可得可得0000sincos:00:lylxbyxabbaayycvvtxx,/122vtxaaayy 00sinlyybb22/1cvvtxxaa0022cos/1lcvvtxxbbvtcvlxb0220cos/100sinlyb于是于是棒的长度棒的长度棒与棒与x轴夹角轴夹角由此可见，运动的棒既收缩，又转向。由此可见，运动的棒既收缩，又转向。2200/1coscvlxxab00sinlyyab022022022022sin)1 (cos)()(lcvlyyxxlabab02220cos1cvlababxxyytg00, l

6、l220/1cvtg3. 一光源在一光源在s系的原点系的原点o发出一光线，其传播方向在发出一光线，其传播方向在xy平面平面内并与内并与x轴夹角为轴夹角为 ，试求在，试求在s系中测得的此光线的系中测得的此光线的传播方向传播方向，并证明在并证明在s系中此光线的系中此光线的速率速率仍是仍是c。xyzxyzu 将（将（1）、（）、（2）代入得）代入得又又设设v与与x轴夹角为轴夹角为 ，则，则由洛伦兹速度变换有由洛伦兹速度变换有光线的传播方向即为其速度方向。在光线的传播方向即为其速度方向。在s系中光传播速度为系中光传播速度为vc, 则其分量则其分量应用洛伦兹速度变换公式。应用洛伦兹速度变换公式。解：解：

7、sin, coscvcvyx)1 (cos1cos122cucuccuvuvvxxx)2(cos1/1sin1/1222222cuccuccuvcuvvxyyuccucvvxycos/1sintan2222yxvvvcv 得证。得证。4. 在一以恒定速度在一以恒定速度v沿平直轨道行驶的车厢中央有一旅客，已沿平直轨道行驶的车厢中央有一旅客，已知他到车厢两端知他到车厢两端a和和b的距离都是的距离都是l0，今旅客点燃一火柴，光，今旅客点燃一火柴，光脉冲以速度脉冲以速度c向各方向传播，并到达车厢两端向各方向传播，并到达车厢两端a和和b，试从车厢，试从车厢和地面两个参考系分别计算光脉冲到达和地面两个参考

8、系分别计算光脉冲到达a和和b的时刻。的时刻。a bl0l0 xyxyoov 设车厢为参考系设车厢为参考系s，轨道为参考系，轨道为参考系s，取，取x轴和轴和x轴平行轴平行且与轨道重合，且与轨道重合，o与旅客所在处重合，车厢沿与旅客所在处重合，车厢沿x轴正方向运动。轴正方向运动。当当o与与o重合时，重合时，t=t=0，此时点燃火柴，光脉冲到达车厢后，此时点燃火柴，光脉冲到达车厢后端端a为一事件，到达前端为一事件，到达前端b为另一事件，则相对于为另一事件，则相对于s系，两事系，两事件的时空点坐标为：件的时空点坐标为：tcltzylxaaaa00, 0, 0,tcltzylxbbbb00, 0, 0,

9、因此，两事件的时间间隔因此，两事件的时间间隔 ，即为同时发生。，即为同时发生。0abtt解：解：cvcvtcvcvltcvcvxttbbb/1/1/1/12220222两事件的时间间隔两事件的时间间隔222022/1/2/1/2/1/1/1/1cvcvlcvctvcvcvtcvcvtttab0abtt光脉冲先到达车厢后端光脉冲先到达车厢后端a，后到达车厢前端，后到达车厢前端b。根据洛伦兹变换，这两个事件相对根据洛伦兹变换，这两个事件相对s系的时间坐标分别为：系的时间坐标分别为：cvcvtcvcvltcvcvxttaaa/1/1/1/122202225. 宇宙射线与大气相互作用时能产生宇宙射线与

10、大气相互作用时能产生 介子衰变，在大气层上介子衰变，在大气层上层放出层放出子。这些子。这些子的速度接近光速（子的速度接近光速（u=0.998c) 。如果在实。如果在实验室中测得静止验室中测得静止子的平均寿命为子的平均寿命为 2.210-6 s ，试问在，试问在8000米米高空由高空由介子放出的介子放出的子能否飞到地面？子能否飞到地面？解解:子速度子速度,998. 0cu 固有寿命固有寿命s60102 . 2以时间延缓效应，在地面参考系，以时间延缓效应，在地面参考系，子的子的 “运动寿命运动寿命“ 为为2201cu飞行距离飞行距离)(10419998. 01048. 35mcul子所在高度子所在

11、高度 8000m ，故能到达地面。，故能到达地面。)(1048. 3998. 01102 . 2526s6. 一个静质量为一个静质量为m0的质点在恒力的质点在恒力 的作用下开始运动，的作用下开始运动，经过时间经过时间t，它的速度和位移各是多少？在时间很短，它的速度和位移各是多少？在时间很短(tm0c/f)的两种极限情况下，的两种极限情况下，v和和x的值又各是多的值又各是多少？少？iff解：解：注意注意m与与v有关。有关。由由积分积分得得ifvmdtddtpdf)(有有fdtcvvmd)/1(220tvdtmfcvvd00022)/1(022/1mftcvv解得解得ccmftcmftv2/120

12、0)(1 又由又由积分可得积分可得dtdxv dtcmftcmftvdtdxxttx2/100000)(1 fcmcmftcmftfcmt202/12002/1202011)(1 22注意注意 则则) 1|.(|2111xxx当当 时时fcmt0当当 时时fcmt000mftccmftv202020211211tmffcmcmftxcv ctx 匀加速直线运动匀加速直线运动7. 两个全同粒子的弹性碰撞。两个全同粒子的弹性碰撞。两个完全相同的质点，静止质量都是两个完全相同的质点，静止质量都是m0，今一质点相对某一惯，今一质点相对某一惯性系静止，另一个质点以恒定速率射向静止质点，其动能为性系静止，

13、另一个质点以恒定速率射向静止质点，其动能为eki，两质点发生弹性碰撞后，入射质点以与入射速度成两质点发生弹性碰撞后，入射质点以与入射速度成 角方向被角方向被散射，散射， 称为散射角。原来静止的质点则沿与入射方向成称为散射角。原来静止的质点则沿与入射方向成 角角方向运动，方向运动， 称为反冲角。设在碰撞过程中，散射角与反冲角称为反冲角。设在碰撞过程中，散射角与反冲角恰好相等。求此散射角。恰好相等。求此散射角。x 解：解： 弹性碰撞的特点是在碰撞前后，不仅体系的动量不变，而弹性碰撞的特点是在碰撞前后，不仅体系的动量不变，而且动能也不变。由于碰撞过程中体系的总能量守恒，故在碰撞且动能也不变。由于碰撞

14、过程中体系的总能量守恒，故在碰撞前后粒子的静质量相同。设两粒子在碰撞前的动量和能量分别前后粒子的静质量相同。设两粒子在碰撞前的动量和能量分别为为 ， 和和e1，e2，碰撞后的动量和能量分别为，碰撞后的动量和能量分别为 ， 和和e3，e4，则有则有2p1p4p3p4321pppp4321eeee依题意依题意 故有故有022, 0eepcoscos431pppsinsin043pp4300eeeeeki因因 ，得，得 p3 = p4由由 e2=c2p2+e02，可得，可得e3=e4x cos231pp 3022eeeki由由)2()(020202021212kikikieeeeeeeepc)4(4

15、1)2(41020202023232eeeeeeeepckikiki于是于是kikieeeepp0023212424cos或或kikieee042cos当当ekie0时，时，0, 12cos即入射质点的动能由小到大变化时，即入射质点的动能由小到大变化时， 由大到小变化。但在非由大到小变化。但在非相对论碰撞中，相对论碰撞中， /2。8. 两质点的非弹性碰撞。两质点的非弹性碰撞。考察两个完全相同的质点，静止质量都是考察两个完全相同的质点，静止质量都是m0，以等值相反的速，以等值相反的速度度u0沿同一直线运动，并发生碰撞。碰撞后，两质点粘成一个沿同一直线运动，并发生碰撞。碰撞后，两质点粘成一个大质点

16、。求大质点的质量。大质点。求大质点的质量。m0m0, u0m0, -u0解：解：按照相对论观点，碰撞前，两个质点有动能，每个质点的能量为按照相对论观点，碰撞前，两个质点有动能，每个质点的能量为系统的总能量系统的总能量根据动量守恒，碰撞后合成的大质点仍处在静止状态。因而无根据动量守恒，碰撞后合成的大质点仍处在静止状态。因而无动能，则系统的能量动能，则系统的能量m0为大质点的静止质量。为大质点的静止质量。222020201/1ecucmcmeek22020121/122cucmeeeei20cmef根据能量守恒，根据能量守恒，fiee 0220002/12mcumm这表示，两质点复合成的大质点的静

17、止质量不仅包括两个质点这表示，两质点复合成的大质点的静止质量不仅包括两个质点的静止质量之和，而且还包括与它们的动能成正比的另一部分的静止质量之和，而且还包括与它们的动能成正比的另一部分质量。在这一非弹性碰撞过程中，存在这动能到质量的转换。质量。在这一非弹性碰撞过程中，存在这动能到质量的转换。即发生非弹性碰撞后，体系的静止质量增加了，注意到即发生非弹性碰撞后，体系的静止质量增加了，注意到2022201121/ucuc )(1)21(222002200200umcumcmm9. 光子的吸收和发射。光子的吸收和发射。一质量为一质量为m0的静止粒子，如原子核或原子，受到一能量为的静止粒子，如原子核或原

18、子，受到一能量为q的的光子的撞击，粒子将光子的能量全部吸收，求此合并系统的速光子的撞击，粒子将光子的能量全部吸收，求此合并系统的速度（反冲速度）及其静止质量。一静止质量为度（反冲速度）及其静止质量。一静止质量为m0的静止粒子的静止粒子发射一能量为发射一能量为q的光子，求发射光子后的粒子的静止质量。的光子，求发射光子后的粒子的静止质量。qm0mq吸收吸收发射发射 设合并系统的质量为设合并系统的质量为m，对应的静止质量为，对应的静止质量为m0，在吸收，在吸收光子的过程中，能量守恒光子的过程中，能量守恒220mcqcm能量为能量为q的光子，具有的光子，具有q/c的动量，在吸收光子过程中动量守恒的动量

19、，在吸收光子过程中动量守恒mucqu为合并系统的速度，求解这两个方程，得为合并系统的速度，求解这两个方程，得qcmqcu2002qmmc由能量动量关系，合并系统的能量由能量动量关系，合并系统的能量4202222)()(cmmucmc代入代入 整理得整理得qcmmc202200021cmqmm即吸收光子后，合并系统的质量增大，且其即吸收光子后，合并系统的质量增大，且其质量异于静止质量质量异于静止质量，这是因为吸收光子后，合并系统因反冲而具有速度这是因为吸收光子后，合并系统因反冲而具有速度u。解：解：在发射光子的过程中，能量也守恒。设粒子发射光子后的质量在发射光子的过程中，能量也守恒。设粒子发射光

20、子后的质量为为m，对应的静止质量为，对应的静止质量为m0，则有，则有qmccm220设粒子发射光子后的速度为设粒子发射光子后的速度为u，则由动量守恒，则由动量守恒cqmu/由动量能量关系由动量能量关系42024202222)()(cmqcmmucmc4202220)(cmqqcm解得解得200021cmqmm若令若令q0代表粒子在发射光子前后静能量之差，即代表粒子在发射光子前后静能量之差，即02020qcmcm得得)21 (200cmqqq即发射光子的能量即发射光子的能量q比粒子处在初态和末态之间得静能差小，比粒子处在初态和末态之间得静能差小，这是由于发射光子后，粒子因反冲获得动量，即具有速度

21、。粒这是由于发射光子后，粒子因反冲获得动量，即具有速度。粒子静能一部分变成光子能量，一部分变成粒子自身动能。子静能一部分变成光子能量，一部分变成粒子自身动能。 狭义相对论狭义相对论 练习题练习题一一. 选择题选择题 1. 宇宙飞船相对于地面以速度宇宙飞船相对于地面以速度 v 做匀速直线飞行，某一时刻做匀速直线飞行，某一时刻飞船头部的宇航员向飞船尾部发出一个光讯号，经过飞船头部的宇航员向飞船尾部发出一个光讯号，经过 t （飞（飞船上的钟）时间后，被尾部的接受器收到，则由此可知飞船的船上的钟）时间后，被尾部的接受器收到，则由此可知飞船的固有长度为（固有长度为（ c 表示真空中光速）表示真空中光速）

22、.)(tca.)(tvb.)/(1)(2cvtcc2)/(1)(cvtcd解：解：答案答案 ：(a). tcl 2. 一宇航员要到离地球为一宇航员要到离地球为 5 光年的星球去旅行，如果宇航光年的星球去旅行，如果宇航员希望把这路程缩短为员希望把这路程缩短为 3 光年，则他所乘的火箭相对地球的光年，则他所乘的火箭相对地球的速度应是（速度应是（ c 表示真空中光速）表示真空中光速）.21)(ca.53)(cb.54)(cc.109)(cd解：解：答案答案 ：(c),1220cull,5,30lyllyl据题意据题意22153cu.54cu 3. 在某地发生两件事，静止位于该地的甲测得时间间隔为在某

23、地发生两件事，静止位于该地的甲测得时间间隔为4s ，若相对甲做匀速直线运动的乙测得时间间隔为，若相对甲做匀速直线运动的乙测得时间间隔为 5s ，则乙，则乙相对于甲的运动速度是（相对于甲的运动速度是（ c 表示真空中光速）表示真空中光速）.54)(ca.53)(cb.51)(cc.52)(cd解：据题意，原时为解：据题意，原时为答案答案 ：(b),40s2201cu即即,14522cu由时间延缓效应由时间延缓效应.53cu 4. 一宇宙飞船相对地球以一宇宙飞船相对地球以 0.8c （ c 表示真空中光速）的速度表示真空中光速）的速度飞行。一光脉冲从船尾传到船头，飞船上的观察者测得飞船长飞行。一光脉冲从船尾传到船头，飞船上的观察者测得飞船长为为90m ，地球上的观察者测得光脉冲从船尾发出和到达船头两，地球上的观察者测得光脉冲从船尾发出和到达船头两个事件的空间间隔为个事件的空间间隔为.90)(ma.54)(mb.270)(mc.150)(md解：由空间间隔的变换公式解：由空间间隔的变换公式答案答案 ：(c)221cutuxx