高中数学常用公式及结论

1、1  元素与集合的关系: , .2 集合 的子集个数共有  个；真子集有 个；非空子集有 个；非空的真子集有 个.3 二次函数的解析式的三种形式：(1) 一般式 ;(2) 顶点式 ;（当已知抛物线的顶点坐标 时，设为此式）(3) 零点式 ；（当已知抛物线与 轴的交点坐标为 时，设为此式）（4）切线式： 。（当已知抛物线与直线 相切且切点的横坐标为 时，设为此式）4 真值表：      同真且真，同假或假5 常见结论的否定形式;

2、原结论反设词原结论反设词是不是至少有一个一个也没有都是不都是至多有一个至少有两个大于不大于至少有 个至多有（ ）个小于不小于至多有 个至少有（ ）个对所有 ，成立存在某 ，不成立或且对任何 ，不成立存在某 ，成立且或6 四种命题的相互关系(下图):（原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假.）  原命题互逆逆命题若则若则互互互为为互否否逆逆否否否命题逆否命题若非则非互逆若非则非  充要条件： (1)、 ，则P是q的充分条件，反之，q是p的必要条件；（2）、 ，且q > p，则P是q的充分不必要条件；(3)、p >

3、p ，且 ，则P是q的必要不充分条件；4、p > p ，且q > p，则P是q的既不充分又不必要条件。7 函数单调性:增函数：(1)、文字描述是：y随x的增大而增大。（2）、数学符号表述是：设f（x）在x D上有定义，若对任意的 ，都有成立，则就叫f（x）在x D上是增函数。D则就是f（x）的递增区间。减函数：(1)、文字描述是：y随x的增大而减小。（2）、数学符号表述是：设f（x）在x D上有定义，若对任意的 ，都有成立，则就叫f（x）在x D上是减函数。D则就是f（x）的递减区间。单调性性质：(1)、增函数+增函数=增函数；（2）、减函数+减函数=减函数； 

4、   (3)、增函数-减函数=增函数；(4)、减函数-增函数=减函数；注：上述结果中的函数的定义域一般情况下是要变的，是等号左边两个函数定义域的交集。复合函数的单调性：函数               单调单调性内层函数外层函数复合函数等价关系：(1)设 那么上是增函数；上是减函数.(2)设函数 在某个区间内可导，如果 ，则 为增函数；如果 ，则 为减函数.8函数的奇偶性：（注：是奇偶函数的前提条件是：定义域必须关于原点对称）

5、奇函数：定义：在前提条件下，若有 ，则f（x）就是奇函数。性质：（1）、奇函数的图象关于原点对称；（2）、奇函数在x>0和x<0上具有相同的单调区间；（3）、定义在R上的奇函数，有f（0）=0  .偶函数：定义：在前提条件下，若有 ，则f（x）就是偶函数。性质：（1）、偶函数的图象关于y轴对称；（2）、偶函数在x>0和x<0上具有相反的单调区间；奇偶函数间的关系：(1)、奇函数·偶函数=奇函数；  （2）、奇函数·奇函数=偶函数；(3)、偶奇函数·偶函数=偶函数；  (4)、奇函数±

6、;奇函数=奇函数（也有例外得偶函数的）(5)、偶函数±偶函数=偶函数；    (6)、奇函数±偶函数=非奇非偶函数奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数9函数的周期性：定义：对函数f（x），若存在T 0，使得f（x+T）=f（x），则就叫f（x）是周期函数，其中，T是f（x）的一个周期。周期函数几种常见的表述形式：(1)、f（x+T）= - f（x），此时周期为2T ；（2）、 f（x+m）=f（x+n），此

7、时周期为2  ；(3)、 ，此时周期为2m  。10常见函数的图像：             11 对于函数 ( ), 恒成立,则函数 的对称轴是 ;两个函数 与  的图象关于直线 对称.12 分数指数幂与根式的性质：(1) （ ，且 ）.（2） （ ，且 ）.（3） .（4）当 为奇数时， ；当 为偶数时， .13 指数式与对数式的互化式: .指数性质：  

8、;      (1)1、   ；    （2）、 （ ）  ； (3)、(4)、   ；  (5)、   ； 指数函数：(1)、 在定义域内是单调递增函数；（2）、 在定义域内是单调递减函数。注：  指数函数图象都恒过点（0，1）对数性质： (1)、  ；（2）、  ；    (3)、   ；(4)

9、、  ；  (5)、(6)、    ；        (7)、       对数函数：(1)、  在定义域内是单调递增函数；（2）、 在定义域内是单调递减函数；注： 对数函数图象都恒过点（1，0）(3)、 (4)、  或14 对数的换底公式 :  (,且,且,). 对数恒等式： (,且,).推论 (,且,).15对数的四则运算法则:若a0

10、，a1，M0，N0，则(1) ;    (2) ;(3) ;    (4) 。16 平均增长率的问题（负增长时 ）：如果原来产值的基础数为N，平均增长率为 ，则对于时间 的总产值 ，有 .17 等差数列：通项公式： （1）  ，其中 为首项，d为公差，n为项数， 为末项。（2）推广：（3）   （注：该公式对任意数列都适用）前n项和： （1）  ；其中 为首项，n为项数， 为末项。（2）（3）     （注：该公式对任意数列都

11、适用）（4）     （注：该公式对任意数列都适用）常用性质：（1）、若m+n=p+q ，则有  ；注：若 的等差中项，则有2 n、m、p成等差。（2）、若 、 为等差数列，则 为等差数列。（3）、 为等差数列， 为其前n项和，则 也成等差数列。（4）、  ； （5）  1+2+3+n=等比数列：通项公式：（1）  ，其中 为首项，n为项数，q为公比。（2）推广：（3）     （注：该公式对任意数列都适用）前n项和：（1）   （注：该公式对任意数列都适用）（2）

12、     （注：该公式对任意数列都适用）             （3）  常用性质：（1）、若m+n=p+q ，则有  ；注：若 的等比中项，则有 n、m、p成等比。（2）、若 、 为等比数列，则 为等比数列。18分期付款(按揭贷款) ：每次还款 元(贷款 元, 次还清,每期利率为 ).19三角不等式：（1）若 ，则 .(2) 若 ，则 .(3) .20&

13、#160;同角三角函数的基本关系式 ： ， = ，21 正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）22 和角与差角公式    ; ;.=(辅助角 所在象限由点 的象限决定,  ).23 二倍角公式及降幂公式  .             24 三角函数的周期公式函数 ，xR及函数 ，xR(A, 为常数，且A0)的周期 ；函数 ， (A

14、, 为常数，且A0)的周期 .三角函数的图像： 25 正弦定理 ： （R为 外接圆的半径）. 26余弦定理：; ; .27面积定理：（1） （ 分别表示a、b、c边上的高）.（2） .(3) . 28三角形内角和定理 ：在ABC中，有.29实数与向量的积的运算律:设、为实数，那么：(1) 结合律：( )=() ;(2)第一分配律：(+) = + ;(3)第二分配律：( + )= + .30 与 的数量积(或内积)： · =| | | 。31平面向量的坐标运算：(1)设 = , =

15、60;，则 + = .(2)设 = , = ，则 - = .     (3)设A ，B ,则 .(4)设 = ，则 = .(5)设 = , = ，则 · = .32 两向量的夹角公式：( = , = ).33 平面两点间的距离公式：  = (A ，B ).34 

16、;向量的平行与垂直 ：设 = , = ，且 ，则：| =   .（交叉相乘差为零） ( )   · =0 .（对应相乘和为零）35 线段的定比分公式 ：设 ， ， 是线段 的分点, 是实数，且 ，则（ ）.36三角形的重心坐标公式： ABC三个顶点的坐标分别为 、 、 ,则ABC的重心的坐标是 .37三角形五“心”向量形式的充要条件：设 为 所在平面上一点，角 所对边长分别为 ，则（1） 为 的外心 .（2） 为 的重心 .（

17、3） 为 的垂心 .（4） 为 的内心 .     （5） 为 的 的旁心 .38常用不等式：（1） (当且仅当ab时取“=”号)（2） (当且仅当ab时取“=”号)（3）（4） .（5） (当且仅当ab时取“=”号)。39极值定理:已知 都是正数，则有（1）若积 是定值 ，则当 时和 有最小值 ；（2）若和 是定值 ，则当 时积 有最大值 .（3）已知 ，若 则有。（4）已知 ，若 则有 40 一元二次不等式 ，如果 与 同号，则其解集在两根之外；如果 与 异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.即：

18、；.41 含有绝对值的不等式 ：当a> 0时，有.或 .42 斜率公式 ：（ 、 ）.43 直线的五种方程：（1）点斜式  (直线 过点 ，且斜率为 )（2）斜截式 (b为直线 在y轴上的截距).（3）两点式 ( )( 、  ( ).两点式的推广： （无任何限制条件！）(4)截距式  ( 分别为直线的横、纵截距， )（5）一般式 (其中A、B不同时为0).直线 的法向量： ，方向向量：44 夹角公式：(1) .(

19、0;， ,)(2) .( , ,).直线 时，直线l1与l2的夹角是 .45 到 的角公式：(1) .( ， ,)(2) .( , ,).直线 时，直线l1到l2的角是 .46 点到直线的距离 ： (点 ,直线 ： ).47 圆的四种方程：（1）圆的标准方程 .（2）圆的一般方程 ( 0).（3）圆的参数方程 .（4）圆的直径式方程 (圆的直径的端点是 、 ).48点与圆的位置关系：点 与圆 的位置关系有三种：若 ，则 点 在圆外;点 在圆上;     &

20、#160;   点 在圆内.49直线与圆的位置关系：直线 与圆 的位置关系有三种( ):; ; .50 两圆位置关系的判定方法:设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2， ，则：;.51 椭圆 的参数方程是 .离心率 ，准线到中心的距离为 ，焦点到对应准线的距离(焦准距) 。过焦点且垂直于长轴的弦叫通经，其长度为： .52 椭圆 焦半径公式及两焦半径与焦距构成三角形的面积:， ； 。53椭圆的的内外部:（1）点 在椭圆 的内部 .（2）点 在椭圆 的外部 .54 椭圆的切线方程:(1) 椭圆 上一点 处的切

21、线方程是 .   （2）过椭圆 外一点 所引两条切线的切点弦方程是 .   （3）椭圆 与直线 相切的条件是 .55 双曲线 的离心率 ，准线到中心的距离为 ，焦点到对应准线的距离(焦准距) 。过焦点且垂直于实轴的弦叫通经，其长度为： .焦半径公式 ， ，两焦半径与焦距构成三角形的面积 。  56 双曲线的方程与渐近线方程的关系:(1）若双曲线方程为 渐近线方程： .    (2)若渐近线方程为 双曲线可设为 .(3

22、)若双曲线与 有公共渐近线，可设为（ ，焦点在x轴上， ，焦点在y轴上）.(4) 焦点到渐近线的距离总是 。57双曲线的切线方程: (1)双曲线 上一点 处的切线方程是 .     (2)过双曲线 外一点 所引两条切线的切点弦方程是 .    （3）双曲线 与直线 相切的条件是 .58抛物线 的焦半径公式:抛物线 焦半径 .过焦点弦长 .59二次函数 的图象是抛物线：（1）顶点坐标为 ；（2）焦点的坐标为 ；（3）准线方程是 .60 直线与圆锥曲线相交的弦长公式或（弦端点A

23、，由方程  消去y得到, 为直线 的倾斜角， 为直线的斜率， .61证明直线与平面的平行的思考途径:（1）转化为直线与平面无公共点；（2）转化为线线平行；（3）转化为面面平行.62证明直线与平面垂直的思考途径:（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面。63证明平面与平面的垂直的思考途径：（1）转化为判断二面角是直二面角；（2）转化为线面垂直；(3) 转化为两平面的法向量平行。64 向量的直角坐标运算：设  ， 则：(1)

24、60; ；(2)  ；(3)   (R)；(4) · ；65 夹角公式：设  ， ，则 .66 异面直线间的距离 ：( 是两异面直线，其公垂向量为 ， 是 上任一点， 为 间的距离).67点 到平面 的距离：（ 为平面 的法向量， ， 是 的一条斜线段）.68球的半径是R，则其体积 ,其表面积 69球的组合体：   (1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球

25、的直径是长方体的体对角线长.   (2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.   (3)球与正四面体的组合体: 棱长为 的正四面体的内切球的半径为(正四面体高 的 ),外接球的半径为 (正四面体高 的 ).70 分类计数原理（加法原理）： .分步计数原理（乘法原理）： .71排列数公式 ： = = .( ， N*，且 )规定 .72 组合数公式： =

26、 = = ( N*， ，且 ).组合数的两个性质:(1) =  (2) + = .规定 .73 二项式定理  二项展开式的通项公式 .的展开式的系数关系：； ； 。74 互斥事件A，B分别发生的概率的和：P(AB)=P(A)P(B)个互斥事件分别发生的概率的和：P(A1A2An)=P(A1)P(A2)P(An)75 独立事件A，B同时发生的概率：P(A·B)= P(A)·P(B).n个独立事件同时发生的概率：P(A1· A2·· An)=P(A1)· P(A2)··

27、 P(An)76 n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率：77 数学期望：数学期望的性质（1） .  （2）若 ,则 .(3)  若 服从几何分布,且 ，则 .78方差：标准差： = .方差的性质：(1) ；(2）若 ，则 .(3) 若 服从几何分布,且 ，则 .方差与期望的关系： .79正态分布密度函数： ，式中的实数， （ >0）是参数，分别表示个体的平均数与标准差.对于 ，取值小于x的概率： . 80 在 处的导数（或变化率）：.瞬时速度： .瞬时加速度： .81  函

28、数 在点 处的导数的几何意义：函数 在点 处的导数是曲线 在 处的切线的斜率 ，相应的切线方程是 .82 几种常见函数的导数：(1) （C为常数）.(2) .(3) .(4) .(5) ； .(6) ; .83 导数的运算法则：（1） .（2） .（3） .84 判别 是极大（小）值的方法：当函数 在点 处连续时，（1）如果在 附近的左侧 ，右侧 ，则 是极大值；（2）如果在 附近的左侧 ，右侧 ，则 是极小值.85 复数的相等： .（ ）86 复数 的模（或绝对值） = = .87 复平面上的

29、两点间的距离公式：（ ， ）.88实系数一元二次方程的解 实系数一元二次方程 ，若 ,则 ;若 ,则 ;若 ，它在实数集 内没有实数根；在复数集 内有且仅有两个共轭复数根 .      高中数学公式提升一、集合、简易逻辑、函数1    研究集合必须注意集合元素的特征即三性(确定,互异,无序); 已知集合A=x,xy,lgxy,集合B=0,x,y,且A=B,则x+y=     2    研究集合,首先必须弄清代表元素,

30、才能理解集合的意义。已知集合M=yy=x2 ,xR,N=yy=x2+1,xR,求MN；与集合M=（x,y）y=x2 ,xR,N=(x,y)y=x2+1,xR求MN的区别。3    集合 A、B， 时，你是否注意到“极端”情况： 或 ；求集合的子集 时是否忘记 . 例如： 对一切 恒成立，求a的取植范围，你讨论了a2的情况了吗？4    对于含有n个元素的有限集合M, 其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为     如满足条件 的集合M共有多少个5   解集合问题的基本工具是韦恩图; 某

31、文艺小组共有10名成员,每人至少会唱歌和跳舞中的一项,其中7人会唱歌跳舞5人会,现从中选出会唱歌和会跳舞的各一人，表演一个唱歌和一个跳舞节目,问有多少种不同的选法？6     两集合之间的关系。7    (CUA)( CU B) = CU(AB)  (CUA)( CUB) = CU(AB)； ；8、可以判断真假的语句叫做命题.逻辑连接词有“或”、“且”和“非”.p、q形式的复合命题的真值表: （真且真，同假或假） pqP且qP或q真真真真真假假真假真假真假假假假9、  命题的四种形式及其相互关系原命题若p则q逆命题若q则p否命题若则q逆否命题若则:互逆 互互互为互否逆逆否否否否否否互逆 原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假