《傅里叶光学》ppt课件

1、第四节第四节 透镜的傅里叶变换性质和成像性质透镜的傅里叶变换性质和成像性质一、透镜的傅里叶变换性质一、透镜的傅里叶变换性质透镜之所以可以用于透镜之所以可以用于FT，再与它具有能对入射波前施加位相调制，再与它具有能对入射波前施加位相调制造用的才干，即透镜的二次位相因子在起作用。下面就最常用的造用的才干，即透镜的二次位相因子在起作用。下面就最常用的单色平面波照明下的单色平面波照明下的FT光路作出分析。察看平面都选在透镜的后光路作出分析。察看平面都选在透镜的后焦面。衍射屏或衍射物体焦面。衍射屏或衍射物体指透射型的平面物体，凡能改动透射指透射型的平面物体，凡能改动透射光波的振幅和位相分布的物体光波的振

2、幅和位相分布的物体相对于会聚透镜的二种位置是：相对于会聚透镜的二种位置是：紧靠透镜放置、在透镜前方相距紧靠透镜放置、在透镜前方相距d0处放置。暂不思索透镜孔径的处放置。暂不思索透镜孔径的有限大小。有限大小。1、衍射物体紧靠透镜放置、衍射物体紧靠透镜放置fyxt,yxtl,11,yxEyxE,调查三个特定平面上的场分布：调查三个特定平面上的场分布：1物体与透镜之间的平面上的物体与透镜之间的平面上的复振幅分布复振幅分布11,yxE11,yxEf11, yxt11, yxtl11,yxE2紧靠透镜之后的平面上的复振幅分布紧靠透镜之后的平面上的复振幅分布3后焦面上的复振幅分布后焦面上的复振幅分布11,

3、yxEyxE,物体的复振幅透过率为物体的复振幅透过率为 ，那么物体与透镜之间的平面上，那么物体与透镜之间的平面上的复振幅分布为的复振幅分布为11, yxt1111,yxtAyxE由于不思索透镜的有限孔径大小，那么透镜的复振幅透过率由于不思索透镜的有限孔径大小，那么透镜的复振幅透过率为为fyxikyxtl2exp,212111那么紧靠透镜之后的平面上的复振幅分布为那么紧靠透镜之后的平面上的复振幅分布为2121111111112exp,yxfkjyxtAyxEyxtyxEl11,yxEyxE,f11, yxt11, yxtl光波从透镜传播光波从透镜传播f间隔到达后焦面上所产生的场分布，可根据间隔到

4、达后焦面上所产生的场分布，可根据菲涅耳衍射公式的菲涅耳衍射公式的FT 表示式来计算表示式来计算112121111221112exp,2expexp,zyvzxuyxzikyxEFTyxzikziikzyxE即即fyvfxuyxfikyxEFTyxfjkfjyxE11212111222exp,2exp1,将将 代入上式得到代入上式得到 212111112exp,yxfkjyxtAyxE阐明：透镜后焦面上的光场分布正比于阐明：透镜后焦面上的光场分布正比于衍射物体平面上复振幅的傅里叶变换。衍射物体平面上复振幅的傅里叶变换。11,yxE11,yxEyxE,fyvfxuyxEFTyxfjkfjyxE11

5、1122,2exp1,但是这种但是这种FT关系不是准确的。由于变换式前存在位相因子关系不是准确的。由于变换式前存在位相因子 ，后焦面上的位相分布与物体频谱的位相分布不，后焦面上的位相分布与物体频谱的位相分布不一样，但他对察看平面上的强度分布没有影响，其光强为一样，但他对察看平面上的强度分布没有影响，其光强为222expyxfjk22,fyfxTfAyxIf2、物体放置在透镜前方、物体放置在透镜前方设物体的复振幅透过率为设物体的复振幅透过率为 ，它与透镜之间的间隔为，它与透镜之间的间隔为 ，前，前面已导出紧靠透镜之前的平面上场分布面已导出紧靠透镜之前的平面上场分布 与透镜后焦面上与透镜后焦面上场

6、分布场分布 之间的关系，所以这里只需求计算如下三个特定之间的关系，所以这里只需求计算如下三个特定平面上的复振幅分布：紧靠物体之后的平面上的复振幅分布平面上的复振幅分布：紧靠物体之后的平面上的复振幅分布 、紧靠透镜之前的平面上的复振幅分布、紧靠透镜之前的平面上的复振幅分布 和后焦和后焦面上的复振幅分布面上的复振幅分布 。11, yxt0d22,yxE22,yxE22,yxEyxE,11,yxEf22, yxtl用振幅为用振幅为A的单色平面波垂直照明物体，物体的复振幅透过率的单色平面波垂直照明物体，物体的复振幅透过率为为 ，那么紧靠物体之后的平面上的复振幅分布为，那么紧靠物体之后的平面上的复振幅分

7、布为11, yxt1111,yxtAyxE根据频谱实际计算光波传播到紧靠透镜之前的平面上的场分布为根据频谱实际计算光波传播到紧靠透镜之前的平面上的场分布为11, yxt0d vuHyxEFTyxEFT,1122是描画菲涅耳衍射在频是描画菲涅耳衍射在频域效应的传送函数。域效应的传送函数。根据教材根据教材P375公式公式(13-118)知察看面上菲知察看面上菲涅耳衍射光场的频谱是阅历了一个相移后涅耳衍射光场的频谱是阅历了一个相移后的物频谱，即的物频谱，即22expexp,vuzjjkzvuTvuE其中的相移因子就是这个传送函数其中的相移因子就是这个传送函数220exp,vudjvuH而而 vuTA

8、yxtFTAyxEFT,111111,yxE22,yxEyxE,0101dyvdxu将将 和和 代入代入 中得到中得到220exp,vudjvuH vuTAyxEFT,11 vuHyxEFTyxEFT,1122 22022exp,vudjvuTAyxEFT不思索透镜的有限孔径，利用透镜后焦面上的光场分布正比于物不思索透镜的有限孔径，利用透镜后焦面上的光场分布正比于物体的傅里叶变换。有体的傅里叶变换。有fyvfxuyxEFTyxfjkfjyxE2222,2exp1,所以所以fyfxTyxfdfjkfjAyxE,12exp,220可见后焦面上的复振幅分布依然正比于物体的傅里叶变换，到可见后焦面上的

9、复振幅分布依然正比于物体的傅里叶变换，到有一个位相弯曲。当有一个位相弯曲。当 时，物体紧靠透镜结论与前面一致，时，物体紧靠透镜结论与前面一致，当当 时，式子变为时，式子变为00dfd 0fyfxTfjAyxE,0101dyvdxu上面的讨论没有思索透镜的有限孔径，它是基于透镜孔径无限上面的讨论没有思索透镜的有限孔径，它是基于透镜孔径无限大的假设做出的。现实上，由于透镜的孔径有限，它将限制物大的假设做出的。现实上，由于透镜的孔径有限，它将限制物体的较高频率成分体的较高频率成分对应于与对应于与z轴夹角较大的平面波轴夹角较大的平面波的传播，的传播，这就是渐晕效应。显然，物体越接近透镜或透镜孔径越大，

10、渐这就是渐晕效应。显然，物体越接近透镜或透镜孔径越大，渐晕效应越小。渐晕效应的存在，将使后焦面上得不到完全的物晕效应越小。渐晕效应的存在，将使后焦面上得不到完全的物体频谱。体频谱。二、透镜的成像性质二、透镜的成像性质在此只思索点物成像问题：在此只思索点物成像问题：1、点物距透镜无穷远、点物距透镜无穷远fF11,yxE11,yxE如图，在紧靠透镜前平面上的如图，在紧靠透镜前平面上的光场分布为一常数，设为光场分布为一常数，设为1，那，那么光波透过透镜后，假设不思么光波透过透镜后，假设不思索透镜的有限孔径，在紧靠透索透镜的有限孔径，在紧靠透镜后平面上的光场分布为镜后平面上的光场分布为fyxikyxt

11、yxE2exp,21211111会聚球面波会聚球面波fyxikyxtyxE2exp,21211111所以，透镜的成像身手是透镜对入射光波的位相产生调制造用的所以，透镜的成像身手是透镜对入射光波的位相产生调制造用的结果，正式透镜的二次位相因子改动了入射波的位相分布，使得结果，正式透镜的二次位相因子改动了入射波的位相分布，使得入射平面波变为会聚球面波，所以在透镜用于入射平面波变为会聚球面波，所以在透镜用于FT时，使得物体平时，使得物体平面场分布的各个频率分量会聚于透镜的后焦面，从而在后焦面上面场分布的各个频率分量会聚于透镜的后焦面，从而在后焦面上得到物体得到物体或物体平面场分布或物体平面场分布的频

12、谱。的频谱。2、点物在距透镜有限远的光轴上、点物在距透镜有限远的光轴上设点物设点物S位于距透镜为位于距透镜为 的光轴上，的光轴上，那么投射到透镜上的光波就是从那么投射到透镜上的光波就是从S点点发出的发散球面波。在傍轴近似下，发出的发散球面波。在傍轴近似下，它在透镜前平面上的场分布为它在透镜前平面上的场分布为ll11,yxE11,yxESSllyxikAyxE2exp,212111经过透镜后场分布变为经过透镜后场分布变为lfllfyxkiAfyxikyxEyxE111112exp2exp,212121211111令2121112exp,yxlkiAyxE上式表示一个会聚球面波，其会聚中心是在间隔

13、透镜上式表示一个会聚球面波，其会聚中心是在间隔透镜 的的 点，点，这就是这就是S成像的像点。成像的像点。 lS3、点物在距透镜有限远的光轴外、点物在距透镜有限远的光轴外如图，如图，S发出的发散球面波在透镜发出的发散球面波在透镜前平面上的场分布，取傍轴近似，有前平面上的场分布，取傍轴近似，有llyxS00,yx ,11,yxE11,yxEyx,lyyxxlyxikAlyyxxlyxikyxlikAyyxxlkiAyxE10012121010121212020201201112exp2exp2exp2exp,这样的球面波经过透镜后，场分布变为这样的球面波经过透镜后，场分布变为lfllyyxxikl

14、fyxkiAfyxikyxEyxE111112exp2exp,0101212121211111令且对于距透镜且对于距透镜 的的xy平面上的点，假设它满足条件平面上的点，假设它满足条件那么上式简化为那么上式简化为llylylxlx00lyyxxikyxlkiAyxE01012121112exp,4、思索透镜有限孔径时的成像、思索透镜有限孔径时的成像此时，透射光波不再是会聚球面波，所成的像是一个衍射像斑。讨此时，透射光波不再是会聚球面波，所成的像是一个衍射像斑。讨论点物在距透镜有限远的光轴上时，衍射像斑的光场分布表示式。论点物在距透镜有限远的光轴上时，衍射像斑的光场分布表示式。思索透镜的有限孔径，

15、透镜的透射函数为思索透镜的有限孔径，透镜的透射函数为fyxikyxPyxt2exp,21211111当点物在距透镜有限远的光轴上时，入射球面波经过透镜后其场分当点物在距透镜有限远的光轴上时，入射球面波经过透镜后其场分布为布为 lyxikyxPAyxkiAfyxikyxPlyxikAyxtyxEyxE2exp,2exp2exp,2exp,212111212121211122111111lfl111 经过间隔经过间隔 的传播在的传播在xy面面像面像面上的场分布由菲涅耳上的场分布由菲涅耳衍射公式得到衍射公式得到l11,yxElyvlxuyxPFTlyxikAdydxylyxlxiyxPlyxikAd

16、ydxlyyxxiklyxikyxPAdydxlyyxxikyxEyxE 1122111111221111221111212111,2exp2exp,2expexp2exp,2exp,阐明：当思索透镜的有限孔径时，在像面上的场分布有透镜阐明：当思索透镜的有限孔径时，在像面上的场分布有透镜孔径的夫琅禾费衍射图样给出，其中心点在几何像点。且阐孔径的夫琅禾费衍射图样给出，其中心点在几何像点。且阐明在采用球面波照明时，透镜依然起明在采用球面波照明时，透镜依然起FT作用，只是这时频谱作用，只是这时频谱面不再后焦面，而位于点光源的像面。面不再后焦面，而位于点光源的像面。这里的讨论也适用于其它复杂的透镜系统

17、。这里的讨论也适用于其它复杂的透镜系统。例题例题1 一块透明片的振幅透射函数为一块透明片的振幅透射函数为 高斯分布高斯分布，r1为径向坐标。将透明片置于透镜前并紧靠透镜，透镜镜框半径为径向坐标。将透明片置于透镜前并紧靠透镜，透镜镜框半径为为a，一单位振幅的单色光垂直照明，求透镜后焦面上的衍射复振，一单位振幅的单色光垂直照明，求透镜后焦面上的衍射复振幅分布。幅分布。 211exprrt解：平面波经过透明片和透镜镜框后，解：平面波经过透明片和透镜镜框后，在透镜前平面的光场分布为在透镜前平面的光场分布为f 1rE 1rE 1rt arcircrrE1211exp根据前面得到的结论知：透镜后焦面上的复

18、振幅分布正比于衍射根据前面得到的结论知：透镜后焦面上的复振幅分布正比于衍射物体上的复振幅分布的物体上的复振幅分布的FT，即公式，即公式 frrEFTfikrfiikfyxE122expexp,是透镜后焦面是透镜后焦面上的空间频率上的空间频率 arcircFTrFTarcircrFTrEFT1211211expexpaaJaarcircFTrFT222expexp121221所以所以 aaJarEFT2)2(2exp1221当透镜及其镜框很大时，有当透镜及其镜框很大时，有 221expexprEFT于是透镜后焦面上的复振幅分布为于是透镜后焦面上的复振幅分布为22exp2expexp,fikrfiikfyxE或者或者22exp2expexp,frfikrfiikfyxE例题例题2 半径为半径为a的小圆屏置于透镜前焦面的小圆屏置于透镜前焦面中心在光轴上中心在光轴上，以单位振幅的单色光垂直照明，求透镜后焦面上夫琅禾费衍射以单位振幅的单色光垂直照明，求透镜后焦面