常系数递推数列的解法探究

1、常系数递推数列的解法探究数学与信息科学学院数学与应用数学 陈朝斌，指导教师：吴立宝（按教务处要求，本次毕业论文电子文档将使用'中国知 网'大学生论文抄袭检测系统进行检测。为便于此工作开 展，请在学生论文电子文档定稿前增加这样一页，内容为: 论文题目和作者信息，并且本次论文上交的电子文档只能 为一个word文档，不能把目录、摘要、正文分成多个 word文档，请严格按照模板格式排好目录、摘要、正文, 本页不用打印。为此给各位指导老师带来的不便表示歉摘要（四号黑体不加粗）abstract(1引言11.1小四号黑体不加粗11.1.1小四号仿宋体加粗12闭区间套定理在心的推广23闭区间套

2、定理在一般度量空间上的推广44闭区间套定理在卍上的推广55闭区间套定理的应用举例7结束语参考文献8致谢9（注：口录不加页码；%1 中、英文摘要加页码，用罗马数字：i, ii%1 正文另行加页码,用阿拉伯数字：1, 2, 3,）摘 要（四号黑体不加粗）：在介绍了闭区间套定理的基础上，通过综合应用类比法、分析法、演绎推理法将闭区间套定理进行了推广，得到了严格开区间套定理 和严格半开半闭区间套定理以及一般完备度量空间上的闭集套定理和常用完备度量空 间上的闭集套定理，并给出了这些定理的证明.结合典型例题，分析、讨论了闭区间 套定理及推广后的闭集套定理的实际应用，说明了闭区间套定理不仅具有重要的理论 意

3、义，而且还有很好的应用价值.（小四号仿宋体不加粗，“摘要”字数须300字以上）关键词（u!号黑体不加粗）：闭区间套定理；严格开区间套定理；推广；应用（小四号仿宋体不加粗，关键词的个数：35个）abstract（四号 times new roman 体加粗）：the theorem of nested closed interval was extended on the basis of its definition with synthetic application of analogy analysis and deductive reasoning, and got a series

4、of theorems such as the theorem of strict open nested interval, the theorem of strict open and closed nested interval and the theorem of closed nested set on ordinary and popular metric space, which were also testified the real application of the theorem of nested closed interval and the theorem of

5、closed nested set after extension was discussed by analysis of some typical examples so as to demonstrate its important theoretical meaning and useful application.（小四号 times new roman 体不力口粗）key words （四号 times new roman 体加粗）： theorem of nested closed interval; theorem of strict open nested interval;

6、 extension; application （小四号 times new roman体不加粗，每个关键词开头字母均不大写，结尾处无标点符号）1引言（一级标题四号黑体不加粗，段前断后空0.5行.）1.1小四号黑体不加粗（二级标题小四号黑体不加粗，段前断后不空行）1.1.1小四号仿宋体加粗（三级标题小四号仿宋体加粗，段前断后不空行）说明：（1）全文要求：行距：最小值22磅;页边距：上2.2cm、左2.5cm、右2.3cm、 下1.8cm、页眉1.2cm、页脚1.5cm；页眉中，若是论文就删去“设计”二字，若是设 计就删去“论文”二字.（2）各级标题一律顶格，标题末尾不加标点符号.（3）正文屮所

7、引用的文献应加尾注，以文献在文屮岀现的先后顺序依次编号为：1 , 2,，某种文献中的内容被多次引用时以第一次出现时的序号为准，即一种文 献只有一个序号，可以重复出现.添加尾注的格式如下：爱因斯坦说：提出一个问题往往比解决一个问题更重要山.爱因斯坦说：“提出一个问题往往比解决一个问题更重要” tlj.爱因斯坦说：“提出一个问题往往比解决一个问题更重要（4）正文中出现的图象与表格以编号（依出现的先后顺序编号）的方式分别加以 命名.图象：图1,图2,表格：表一，表二，（5）行文要符合文法格式，每段开头应空两个汉字的位置.若一行中只有符号表 达式，则可以居中或居中偏左.（6）正文中所有的标点符号，一律

8、用全角；句号用闭区间套定理是实分析屮的一个重要定理，它同聚点定、冇限覆盖定理、确界原理、 数列的单调有界定理和cauchy收敛准则一样都反映了实数的完备性，也是学习实变函 数、复变函数、点集拓扑学等课程的基础.由于它具有较好的构造性，因此闭区间套 定理在证明与实数相关的命题屮有广泛的应用，如证明闭区间上的连续函数必冇最大 值和最小值、闭区间上的连续函数必定一致连续、闭区间的连续函数的介值性定理 等.故闭区间套定理不仅有重要的理论价值，而且具有很好的应用价值.为了增大闭 区间套定理的应用范围，从闭区间套定理的概念出发，综合运用类比分析法、演绎推 理法推广该定理.首先，将闭区间套定理在一维空间加以

9、推广，形成严格开区间套定理和严格半开 半闭区间套定理，增大了区间套定理的应用范围.紧接着结合一般完备度量空间的特 性，即正定性、对称性、三角不等式性和完备性，把闭区间套定理在一般完备度量空 间上推广，形成一般完备度量空间上的闭集套定理，从而把一维空间上的情景推广到 了更一般化的完备度量空间，使得区间套定理的应用范围更为广泛，并且给出了常用 度量空间川上的闭集套定理.最后结合一些实例分析说明闭区间套定理的应用，比如 证明闭区间上的连续函数必有界、单调有界定理等，通过构造满足题意的闭区间列， 再应用闭区间套定理证明存在满足题意的点.从实际例题屮述可以看出闭区间套定理 反映了实数的稠密性，所以闭区间

10、套定理连同其在一般完备度量空间上推广后的闭集 套定理在证明与实数理论相关命题时发挥着重要的作用.2闭区间套定理在尺的推广康托给分析建立了严格的集合论基础.而在对实数连续性的描述中，闭区间套定 理是一个基本的定理.因此，在对该定理推广前有必要先回顾一下闭区间套定理的内 容.定义2. 1设%,乞 3 = 1,2,3,）是7?中的闭区间列，如果满足：+m+ju色，仇,n = l,2,3,.；（2）limq色）=0；则称色,仇为r中的一个闭区间套，或简称区间套定理2. 12（闭区间套定理）若%&是一个闭区间套，贝ij存在惟一一点使 得ean,btl（斤=1,2,3,），且lime = mbh

11、= § .nsnfg推论2. 13若张色也s = i,2,3,）是区间套%,$确定的点，贝i对任意正 数存在自然数n,当n>n时，总有色心u （§,£）定义2. 2设（色也） 5 = 1,2,3,）是r中的开区间列，如果满足：（1）a <a2 < - <an < <bn < bn_ <<&,农=1,2,3,；（2）lim（化色）=0；htqo则称（"”）为r屮的一个严格开区间套定理2. 2 （严格开区间套定理）若（陽,化）是/?屮的一个严格开区间套，则存在 惟一一点,使得gw （%也）,农=1

12、,2,3,，且lima” = limb” = g ./?>co"too证明由定义2.2条件（1）,仏是一个严格递增月冇上界的数列.由单调冇界定 理,匕有极限，不妨设lima = §,/?>co且< g，= 1,2,3,-同理严格递减有下界的数列仇也有极限.由定义2. 2条件（2）应有lim“ = lima” = g ,ps”t8且b” > g , 71 = 1,2,3, 从而存在百仇）（兀= 1,2,3,）最后证明唯一性.假如另有使得$列色,乞），“1,2,3,，那么有 仇-,心1,2,3,.在上述不等式两边取极限，有x-日wlim（仇一色）=0即0

13、故原命题成立.定义2.3 设%也) 5 = 1,2,3,)是/?中的半闭半开区间列，如果满足：(1) wo? ww v仇 <b“7 <</?, = 1,2,3,；(2) lim(化) = 0；xtoo则称d”,仇)为r中的一个严格半闭半开区间套注：类似可以定义严格半开半闭区间套(陽血定理2. 3 (严格半开半闭区间套定理)如果(色,仇;)是/?中的一个严格半开半闭 区间套，则存在惟一一点使得gh = 1,2,3,，且hman = hmhh = § .mgn->cc仿定理2. 2的证明即可.3闭区间套定理在一般度量空间上的推广完备度量空间具冇正定性、对称性、三角

14、不等式性和完备性.具体到序列，指的 是该序列除了满足一般度量空间的耍求，还应在该空间上收敛.这样闭区间套定理就 叮以在一般度量空间上进行推广.定义3.1设h是一个非空集合，在h上定义一个双变量的实值函数°(x,y),对 任意的x,y,ze h ,有:(1) (正定性)p(兀,y)mo,并且p(x,y) = 0当且仅当x = y成立;(2) (对称性)p(x,y) = p(y,x)；(3) (三角不等式)/?(兀,y) wp(x,z) + /?(z,y);则称h为一个度量空间.定义3.2设f是度量空间h屮的一个子集，对于f屮的任意点列入,若当q(£-xo)to (htoo),

15、有x.ef f则称f为闭集.定义3. 36设（x,°）是一度量空间.x屮的一个序列无，若对任意的实数 £0,存在整数n >0 ,使得当z, j> n时，有pgxj）<£ ,则称匕炫为一个cauchy 序列.定义3. 47如果对度量空间（x,°）中x的每一个cauchy序列都收敛，则称 （x,°）是一个完备度量空间.定理3.17设你是完备度量空间h上的闭集列，如果满足：（1）丘二臨】（"1，2,3,）；（2）hmd（fn） = o（d（fn）= sup则在h中存在唯一一点歹，使得g w 化,刃= 1,2,3,证明 任意

16、取样小的点列兀,当加 >吋，有fm（= fn,所以£ % $ 代，。（兀，兀 ”）w （巧,）t 0 t oo） 即对于任意给定的实数£0,存在整数n>0,使得当门n时，有q3，®）v£, 所以兀”是cauchy序列.又因为打是闭集列，故仇收敛于一点且有§“ = 1,2,3,.现证唯一性.如果另有一点使得介打，兀=1,2,3则由定义3. 1条件（3）, 有p& g w ° （亦）+pg, g w 2d （化）t 0（/1 -> ©,从而歹=了故在h中存在唯一一点、g,使得n = l,2,3,.4闭区

17、间套定理在尺上的推广进一步述可以将闭区间套定理在常用度量空间一实数空间疋上推广.为此，先给出一个有用的概念.定义4.1对于任意的x = （x,x2,%）, y =儿）丘川，令°（兀）彳£（兀-汀，则称°为川空间上的距离.下面验证对于如上肚义的° ,川做成完备的度量空间.证明 对于任意的兀=（州,兀2,，兀）y = （）“2,，儿），z=（zi，z2，,z）wr"= p(”x) j£（z,r）2no,并冃。（兀，刃二0当冃仅当乞=牙.（心1,2,），即兀=厂(2) p(x9y) = jx(xiyi)2 = 令u. = yf -%.和v.

18、 = z. - x由schwarz不等式可以得到£仏+叮s +2 j£%2吃匕2 +亍匕2 ./=!<=1v i=l v i=l /=!)2+所以。满足度屋的定义，又川是完备的，故川是一个完备的度量空间.于是根拯前面的论述，可以得到实数空间rn的闭集套定理:定理4.1设代是川上的闭集列，如果:（0 fn =）fn+l, n = l,2,3；（2） limd（巴）= 0（d（化）=sup则在川屮存在唯一一点歹，使得弘样， =1,2,3，.5闭区间套定理的应用举例闭区间套圮理证明命题的基本思路是分划区间构成闭区间套，从而找到属于每一 个区间的公共点.下面就举几个例子说明这

19、一思路.例1证明：闭区间上连续函数必有界.分析 这个命题如果从正面入手利用闭区间套眾理证明比较困难，但是如果从反 面着手，即假设/在s问上无界，即对任意m>0,存在xqea9bf有则 等分区间后至少有一个子区间上于（兀）无界，记为性质p继续等分那个无界的区间， 可得到如上的性质p无限次重复上述步骤可构造一个满足题意的闭区间套，由闭区 间套定理可以推出f（x）<m ,这与假设矛盾，从而证明原命题成立.证明 我们用反证法设函数/（x）在d问上连续，假设/（兀）在闭区间。,列上无界.将区间二等分，即取“问的中点凹，贝ij 6z,和中至少有一个区2 2 2间使得/在其上无界.（若两个都使/

20、无界，则任取其小一个），记为mq,且再将血等分为两个区间，同样其中至少有一个子区间上/（兀）无界，记为a2,b2,且szeluuq, b2-a2 =*(b| -aj = *(b_a)jj无限次重复上述步骤，便得到一个闭区间列%,$,其中每一个区间色也有如下特性：a,/?二,也=>=）色,仇=）色+,%+=）,且bn -an =*（b-d）t002too） 及/（x）在陽如上无界.由区间套加理，存在一点张（也）5 = 1,2,3,），且lima“ = limb” = g ./>co"too又/（兀）在歹连续，则对任意的£>0,存在5>0,当兀5,歹+ 5）时，有/一 £</©)</(§) + £令m =max©-£|,/(§) + 刮,则fm < m .由推论1,取n充分大可使色也u(5g + 5),上述不等式与/在闭区间 an,梯上无界矛盾.故f(x)在闭区间"问上有界.以下内容省略结束语通过对闭区间套立理的简单分析探究，常握了该疋理的结构形式，学习了运用类 比的思维方法推广该建理的过程，分析讨论了闭区间套建理的实际应用.首先将闭区间套