第一篇以二次函数为基架探究点的存在性问题六以面积为条件的存在问题

1、学习必备欢迎下载第一篇以二次函数为基架探究点的存在性问题六 . 以多边形面积为条件的存在问题24(2010 宜宾市本题满分l2分 )将直角边长为6 的等腰Rt放在如图所示的平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点、分别在x、y轴的正AOCC A半轴上，一条抛物线经过点A、 C及点 B( 3， 0) (1) 求该抛物线的解析式；(2)若点P是线段上一动点，过点P作的平行线交于点，连接，当的面积最大时，求点P的坐BCABACEAPAPE标；(3)在第一象限内的该抛物线上是否存在点，使的面积与（ 2）中的最大面积相等 ?若存在，请求出点GAGCAPEG的坐标；若不存在，请说明理由解： (1) 如图，抛物

2、线 y=ax2 +bx+c( a 0)的图象经过点A(0，6)，c=61 分y抛物线的图象又经过点( 3，0)和(6，0)，0=9 3 +6ab 2 分A0=36 +6 +6ab1Ea =解之，得 3 分3b = 1故此抛物线的解析式为：y= 12x +x+64 分C3B(2) 设点 P 的坐标为 ( m，0) ，PO则1·=1=6 ， ABC =×9×6=275 分PCm S2BC AO2 PEAB， CEP CAB6分SPC 2S6m2 CEP CEP)=(),即= (S CABBC279 CEP =1)2. 7分(6 S3mAPC =11·= (6

3、 ) 6=3(6 )S2PC AO2mm APE = APC CEP=3 (6 ) 1)213 227S(6 = ()+ .SSm3m3m243273当 m = 2时， S APE有最大面积为 4 ；此时，点 P 的坐标为 ( 2,0) 8 分(3) 如图，过 G作 GHBC于点 H，设点 G的坐标为 G( a，b) ，9 分连接 AG、GC，1 S 梯形 AOHG=2a ( b+6),x学习必备欢迎下载S CHG =1(6 a) b21a ( b+6) +1 S 四边形 AOCG=(6 a) b=3( a+b) 10 分22SS四边形S AGC=AOCG AOCy27 4 =3( a+b)

4、18 11 分点 G( a， b) 在抛物线 y= 12的图象上，AGx +x+63E12 b= 3a+a+6. 27= 3(a 12+ +6) 18BC43aaO化简，得 4224 +27=0PHaa3 9解之，得 a1= 2， a2= 2故点 G的坐标为 (3,27) 或(9，15) 12 分242426. （2005 宜宾市中考 本小题满分12 分）x如图（ 16），已知抛物线的顶点为M（ 2， 4），且过点 A（ 1，5），连结 AM交 x 轴于点 B（ 1）求这条抛物线的解析式；（ 2）求点 B 的坐标；（ 3）设点（ x，y ）是抛物线在x 轴下方、顶点左方一段上的动点，连结，以P

5、为顶角、为腰的等腰PMPOPO三角形的另一顶点在 x 轴上，过Q作 x 轴的垂线交直线于点，连结设的面积为 S。求 S 与 x 之间QAMRPRPQR的函数关系式；(4) 在上述动点 P（x ， y ）中，是否存在使 S PQR = 2 的点？若存在，求点 P 的坐标；若不存在，说明理由26、解：（ 1）抛物线的顶点为M（ 2，-4 ）.可设抛物线的解析式为y=a(x-2) 2-4(1分)这条抛物线过点 A（ -1 ， 5）， 5=（-1-2） 2-4 ，解得 a=1(2 分)所求抛物线的解析式为y=(x-2)2 -4, 即 y=x2 -4x(3分)(2) 设直线 AM的解式为 y=kx+b;

6、A(-5,5)、M(2,-4). -k+b=52k+b=-4, 解得 k=-3,b=2直线 AM的解析式为 y=-3x+2.当 y=0 时，得 x= 2 ，即 AM与 x 轴的交点 B( 2 ,0)(6分 )33（ 3）显然，抛物线 y=x 2-4x 过原点 O(0,0)当动点 P(x,y) 使 POQ是以 P 为顶点、PO为腰且另一顶点Q在 x 轴上的等腰三角形时，由对称性有点Q(2x,0).动点 P 在 x 轴下方、顶点 M左方 , 0<x<2当点 Q与 B( 2 ,0) 重合时， PQR不存在， x1.33学习必备欢迎下载1动点 (Px,y) 应满足条件为0<x<

7、2 且 x.(7分)3 QR与 x 轴垂直且与直线 AM交于点 R， R点的坐标应表为 (2x,-3(2x)+2) ，即 R(2x,-6x+2).作 PHQR于 H，则 PH| xQxP |=|2x-x|=x,QR=|-6x+2|.而 S=PQR的面积 = 1 QR?PH=1|-6x+2|x.（8 分）22下面分两种情形讨论：i) 当点 Q在点 B 左方时，即 0<x< 1 时，点 R 在 x 轴上方， -6x+2>0.3 S= 1 (-6x+2)x=-3x2+x(9分 )2ii) 当点 Q在点 B 右方时，即 1 <x<2 时，点 R 在 x 轴下方， -6x+

8、2<0.3 S=1-(-6x+2)x=-3x2 -x(10分)21即 S 与 x 之间的函数关系式可表示为S=-3x 2 +x(0<x<)1 <x<2)33x2-x(3解得 x1 =1,x 2 = 2当 S=2 时，应有 -3x2+x=2, 即 3x2-x=0 ，显然 <0，此方程无解 . 或有3x2-x=2 ，即 3x2 -x-2=03(11 分)当 x=1 时， y=x 2-4x=-3 ，即抛物线上的点 P(1,-3)可使 S=2.2当 x=-<0 时，不合条件，应舍去 .3存在动点 P，使 S=2,此时 P 点坐标为 (1,-3)(12 分)23

9、 (2010 德州市本题满分 11 分 )已知二次函数yax2bx c的图象经过点ABC，-3) (3，0) ， (2，-3) ， (0(1) 求此函数的解析式及图象的对称轴；(2) 点 P 从 B 点出发以每秒 0.1 个单位的速度沿线段 BC向 C点运动，点Q从O点出发以相同的速度沿线段向A点运动，其中一个动点到达端点时，另一个也随之停止运动设运动OA时间为t秒。当t为何值时，四边形为等腰梯形；设与对称轴的交点为，过点作轴的平行线交ABPQPQMMx于点，设四边形的面积为，求面积S关于时间t的函数解析式，并指出t的取值范围；当t为何值时，ABNANPQSyS有最大值或最小值yQQ E DO

10、AOGAxxMNMNCP BCF PB第23题图学习必备欢迎下载解：(1) 二次函数yax2bxc 的图象经过点C(0 ， -3) ， c =-3 将点 A(3 ， 0) ， B(2 ，-3) 代入yax2 bx c 得09a3b3，34a2b3.解得： a=1， b=-2 y x22x 3 -2分2配方得： y （ x1）4 ，所以对称轴为x=1 -3分(2) 由题意可知： BP= OQ=0.1 t 点 B，点 C的纵坐标相等， BCOA过点 B，点 P 作 BDOA，PEOA，垂足分别为 D， E要使四边形 ABPQ为等腰梯形，只需 PQ=AB即 QE=AD=1又 = =(2-0.1t)-

11、0.1t=2-0.2t，QE OE OQ2-0.2 t =1解得 t =5即 t=5 秒时，四边形ABPQ为等腰梯形25(2010 绵阳市 )设对称轴与BC， x 轴的交点分别为F， G对称轴 x=1 是线段 BC的垂直平分线，BF=CF=OG=1又 BP=OQ，PF=QG又 PMF=QMG， MFP MGQMF=MG点 M为 FG的中点-8分 S=S四边形 ABPQ - S BPN ，= S四边形 ABFG - S BPN 由 S四边形 ABFG1 (BF AG)FG =922S BPN1 BP1 FG3 t 2240S= 93 t -10分2 40又 BC=2， OA=3，点 P运动到点

12、C 时停止运动，需要20 秒 0<t 20当 t =20 秒时，面积 S 有最小值 3-11分如图，抛物线 y = ax2 + bx + 4 与 x 轴的两个交点分别为A（ 4，0）、B（2， 0），与 y 轴交于点 C，顶点为 DE（ 1， 2）为线段 BC的中点， BC的垂直平分线与x 轴、 y 轴分别交于 F、Gy（ 1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；DC（ 2）在直线EF上求一点 H，使 CDH的周长最小，并求出最小周长；GE（ 3）若点 K 在 x 轴上方的抛物线上运动，当K 运动到什么位置时，AFOB x EFK的面积最大？并求出最大面积学习必备欢迎下载解：（ 1

13、）由题意，得16a4b40,解得 a1 ， b = 14a2b40,2所以抛物线的解析式为y1 x2x 4 ，顶点 D的坐标为（ 1， 9 ）22（ 2）设抛物线的对称轴与x轴交于点因为EF垂直平分，即C关于直线的对称点为，连结交于MBCEGBBDEF于一点，则这一点为所求点H，使 DH+CH最小，即最小为DH+CH= DH+HB=BD= BM 2DM 2313 而 CD12(94) 25 222 的周长最小值为+=5313 CDHCDDR CH2设直线 BD的解析式为 y =k1x +b，则2k1b10,解得k13 ，b1 = 3 9k1b1,22所以直线的解析式为y=3x+ 3 BD2由于

14、 BC= 25 ，CE=BC2 =5 ， Rt CEG COB，得:=:，所以=2.5 ，= 1.5 （0，1.5 ）CECOCGCBCGGOG同理可求得直线EF的解析式为 y = 1 x + 3 22联立直线与EF的方程，解得使的周长最小的点（ 3，15）BDCDHH48（ 3）设（，1t2t4），FtxE过K作x轴的垂线交于 K t2xEF N则 KN=yK yN =1 t 2t4 （ 1 t + 3 ） = 1 t 23 t5 222222所 EFK= KFN+ KNE= 1（+3 ）+1（ 1t）= 2=t2 3+ 5 =（t+ 3）2+ 29SSS2KN t2KNKNt24即当t=3

15、时，的面积最大，最大面积为29 ，此时（3， 35）2EFK4K2828（2010 江苏省宿迁市本题满分12 分）已知抛物线 yx2bxc 交 x 轴于 A(1,0) 、 B(3,0)，交 y 轴于点yC ，其顶点为 D （1）求 b 、 c 的值并写出抛物线的对称轴；（ 2）连接 BC ，过点 O 作直线 OEBC 交抛物线的对称轴于点E 求C证：四边形 ODBE 是等腰梯形；（ 3）问 Q抛物线上是否存在点Q ，使得 OBQ的面积等于四边形ODBEOABxD的面积的 1 ？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由3（第 28 题）解 : （1）求出： b4 ， c3 ，抛物线的对称轴为：x=2 3 分学习必备欢迎下载(2) 抛物线的解析式为y x24x3 ，易得C点坐标为（， ），点坐标为（，-1）0 3 D2设抛物线的对称轴DE交 x 轴于点 F，易得 F 点 坐标为（ 2，0），连接OD， DB， BE OBC是等腰直角三角形，DFB也是等腰直角三角形， E 点坐标为（ 2，2）， BOE= OBD=45 OE BD四边形 ODBE是梯形 5 分在 Rt ODF 和 Rt EBF 中，OD=OF2DF222125 ，BE=EF2FB222125 OD= BE四边形ODBE是等腰梯形 7 分(3) 存在， 8分由题意得： S四边形 ODBE