高中数学 第二章 平面向量检测A新人教B版必修4

1、第二章平面向量检测(a)(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.下列说法中正确的是()a.两个单位向量的数量积为1b.若a·b=a·c,且a0,则b=cc.ab=oa+obd.若bc,则(a+c)·b=a·b解析:由于bc,所以b·c=0,因此(a+c)·b=a·b+c·b=a·b,故d项正确.答案:d2.设e是单位向量,ab=2e,cd=-2e,|ad|=2,则四边形abcd一定是()a.梯形b.菱形c.

2、矩形d.正方形解析:由ab=2e,cd=-2e知ab=dc,所以四边形abcd为平行四边形.又|ab|=|cd|=|ad|=2,所以四边形abcd为菱形.答案:b3.已知a=(-6,y),b=(-2,1),且a与b共线,则y等于()a.-6b.6c.3d.-3解析:由于ab,所以-6×1=-2y,y=3.答案:c4.已知|a|=|b|=1,a与b的夹角为90°,且c=2a+3b,d=ka-4b,若cd,则实数k的值为()a.6b.-6c.3d.-3解析:因为cd,所以c·d=0,即(2a+3b)·(ka-4b)=2k-12=0,解得k=6.答案:a5.已

3、知|a|=1,|b|=2,且a(a-b),则向量a与向量b的夹角是()a.30°b.45°c.90°d.135°解析:因为a(a-b),所以a·(a-b)=0,即|a|2-a·b=0,于是1-1×2×cos<a,b>=0,cos<a,b>=22,故<a,b>=45°.答案:b6.已知一物体在共点力f1=(lg 5,lg 2),f2=(lg 2,lg 2)的作用下产生位移s=(2lg 5,1),则此物体在共点力的作用下所做的功为()a.lg 2b.lg 5c.2d.3解析

4、:所做的功w=(f1+f2)·s=(lg 5+lg 2,2lg 2)·(2lg 5,1)=(1,2lg 2)·(2lg 5,1)=2lg 5+2lg 2=2.答案:c7.在abc中,若(bc+ba)·ac=|ac|2,则abc的形状一定是()a.等边三角形b.等腰三角形c.直角三角形d.等腰直角三角形解析:(bc+ba)·ac=(bc+ba)·(bc-ba)=|bc|2-|ba|2,于是|bc|2-|ba|2=|ac|2,所以|bc|2=|ba|2+|ac|2,故abc是直角三角形.答案:c8.在abc中,m是bc的中点,am=1,若

5、点p在am上,且满足ap=2pm,则pa·(pb+pc)等于()a.-49b.-43c.43d.49解析:因为am=1,ap=2pm,所以|ap|=23.于是pa·(pb+pc)=pa·(2pm)=pa·ap=-|ap|2=-49.答案:a9.在abc中,ab边的高为cd,若cb=a,ca=b,a·b=0,|a|=1,|b|=2,则ad等于()a.13a-13bb.23a-23bc.35a-35bd.45a-45b解析:因为a·b=0,所以acb=90°,于是ab=5,cd=255,所以bd=55,ad=455,即adbd=

6、41,所以ad=45ab=45(cb-ca)=45a-45b.答案:d10.定义:|ab|=|a|b|sin ,其中为向量a与b的夹角.若|a|=2,|b|=5,a·b=-6,则|ab|等于()a.-8b.8c.8或-8d.6解析:因为a·b=-6,所以-6=2×5×cos ,于是cos =-35,从而sin =45,故|ab|=|a|b|sin =2×5×45=8.答案:b二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11.已知单位向量e1,e2的夹角为60°,则|2e1-e2|=. 

7、解析:|2e1-e2|=(2e1-e2)2=4|e1|2-4e1·e2+|e2|2=4-4×12+1=3.答案:312.已知|a|=10,|b|=8,a与b的夹角为120°,则向量b在向量a方向上的射影的数量等于. 解析:b在a方向上的射影的数量为a·b|a|=|b|cos<a,b>=8×cos 120°=-4.答案:-413.已知a=(1,1),b=(1,0),c满足a·c=0,且|a|=|c|,b·c>0,则c=. 解析:设c=(x,y).由a·c=0,得x+y=

8、0.由|a|=|c|,得x2+y2=2.由,得x=1,y=-1或x=-1,y=1.b·c>0,x>0,c=(1,-1).答案:(1,-1)14.在菱形abcd中,若ac=2,则ca·ab=. 解析:设两对角线ac与bd交于点o,则ao=oc=1,于是ca·ab=2oa·(ob-oa)=2oa·ob-2|oa|2=0-2=-2.答案:-215.若a=(sin ,cos -2sin ),b=(1,2),且|a|=|b|,则钝角等于. 解析:因为|a|=|b|,所以sin2+(cos-2sin)2=5,即sin2+co

9、s2+4sin2-4sin cos =5,于是sin2-sin cos =1,从而-sin cos =cos2.因为是钝角,所以cos 0,于是-sin =cos ,tan =-1,故=34.答案:34三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(8分)已知向量a=(2,0),b=(1,4).(1)求2a+3b,a-2b;(2)若向量ka+b与a+2b平行,求k的值.解:(1)a=(2,0),b=(1,4),2a+3b=2(2,0)+3(1,4)=(4,0)+(3,12)=(7,12),a-2b=(2,0)-2(1,4)=(2,0)-(2,8)=(0,

10、-8).(2)依题意得ka+b=(2k,0)+(1,4)=(2k+1,4),a+2b=(2,0)+(2,8)=(4,8).向量ka+b与a+2b平行,8(2k+1)-4×4=0,解得k=12.17.(8分)已知向量a=(sin -cos ,2cos +sin ),b=(1,2).(1)若ab,求tan 的值;(2)若ab,求的值.解:(1)由ab,得2(sin -cos )=2cos +sin ,即2sin -2cos =2cos +sin ,所以sin =4cos ,于是tan =sincos=4.(2)由ab,得sin -cos +2(2cos +sin )=0,即3sin +3

11、cos =0,即sin +cos =0,从而tan =-1,故=k+34(kz).18.(9分)如图,已知ac,bd是梯形abcd的对角线,e,f分别是bd,ac的中点.求证:efbc.证明设ab=a,ad=b,则bd=ad-ab=b-a.adbc,bc=ad=b(r,0,且1).e为bd的中点,be=12bd=12(b-a).f为ac的中点,bf=bc+cf=bc+12ca=bc+12(ba-bc)=12(bc+ba)=12(bc-ab)=12(b-a),ef=bf-be=12(b-a)-12(b-a)=12-12b=112-12bc.efbc.19.(10分)在平面直角坐标系xoy中,已知

12、点a(-1,-2),b(2,3),c(-2,-1).(1)求以线段ab,ac为邻边的平行四边形的两条对角线的长;(2)设实数t满足(ab-toc)·oc=0,求t的值.解:(1)由题设知ab=(3,5),ac=(-1,1),则ab+ac=(2,6),ab-ac=(4,4).所以|ab+ac|=22+62=210,|ab-ac|=42+42=42.故所求的两条对角线的长分别为210,42.(2)由题设知oc=(-2,-1),ab-toc=(3+2t,5+t).由(ab-toc)·oc=0,得(3+2t,5+t)·(-2,-1)=0,从而5t=-11,所以t=-115

13、.20.(10分)如图,m是矩形abcd的边cd上的一点,ac与bm交于点n,bn=23bm.(1)求证:m是cd的中点;(2)若ab=2,bc=1,h是bm上异于点b的一动点,求ah·hb的最小值.(1)证明设cm=mcd,cn=nca,由题意知bn=23bm=23(bc+cm)=23(bc+mcd)=23bc+23mcd.又bn=bc+cn=bc+nca=bc+n(cb+cd)=(1-n)bc+ncd,23=1-n,23m=n,解得m=12,n=13.cm=mcd=12cd,即m是cd的中点.(2)解:以b为原点,ab所在直线为x轴,bc所在直线为y轴建立平面直角坐标系,则由题意可设点h(-x,x),且0<x1,a(-2,0),b(0,0).ah=(2-x,x),hb=(x,-x),ah·hb=(2-x)x-x2=2x-2x2=-2x-122+12.又0<x1,当x=1,即h与m重合时,ah&#