流体力学第2章

1、第第2 2章章 流体静力学流体静力学静压强的特性静压强的特性静压强的分布规律静压强的分布规律作用面上总压力的计算作用面上总压力的计算静止流体中的应力具有两个特性。特性一：应力的方向沿作用面的内法线方向。静止流体中只存在压应力压强。2.1 静止流体中应力的特性NNpnp2.1 静止流体中应力的特性特性二：静压强的大小与作用面方位无关。分析作用在四面体上的力。表面力：xPyPzPnP质量力：zyxXFddd61BxzyxYFddd61ByzyxZFddd61Bz2.1 静止流体中应力的特性特性二：静压强的大小与作用面方位无关。由平衡条件，0 xF有：0),cos(BxnxFxnPP以三角形BOC面

2、积zyxnAAdd21),cos(nx除上式，得2.1 静止流体中应力的特性对上式取极限，其中0d31nnxxxXAPAPxxx0 xlimpAPAnnn0nlimpAPA0)d31(lim 0dxXx于是0nxPPnxPP同理，由 0 0zy，FF可得nzny PPPP，所以nzyxPPPP2.1 静止流体中应力的特性 因为O点和法线的方向都是任选的，故静止流体内任一点上，压强的大小与作用面方位无关，或者说作用于同一点上各方向的静水压强大小相等。 各个方向的压强用同一符号p表示，p只是该点坐标的连续函数。1)-(2 ),(zyxpp 2.1 静止流体中应力的特性2.2.1 流体平衡微分方程流

3、体平衡微分方程表面力：后面中心点的压强：xxppzyxxppd21),2d(M前面中心点的压强：xxppzyxxppd21),2d(N),(),(zyxppzyxO2.2 流体平衡微分方程xzyMdydzdxNO2.2.1 流体平衡微分方程流体平衡微分方程表面力：2.2 流体平衡微分方程后面上的压力：zyxxppPdd)d21(M前面上的压力：zyxxppPdd)d21(N),(),(zyxppzyxOxzyMdydzdxNO若函数f(x)在点x=x0的某一邻域内具有直到(n+1)阶的导数，则有n阶泰勒公式： 200000)(! 2)()()()(xxxfxxxfxfxfONMppxfzyxp

4、xfO0)( )()(，xxxMxxxNd21d2100点：，后面点：前面xxppxxpppd21)d21(M2.2 流体平衡微分方程2.2.1 流体平衡微分方程流体平衡微分方程质量力：2.2 流体平衡微分方程zyxXFdddBx由平衡条件，0 xF有：0ddddd)d21(dd)d21(zyxXzyxxppzyxxpp),(),(zyxppzyxOxzyMdydzdxNO2.2.1 流体平衡微分方程流体平衡微分方程2.2 流体平衡微分方程化简得01xpX同理，y、z方向可得01Yyp 01zpZ（2-2）0ddddd)d21(dd)d21(zyxXzyxxppzyxxpp上式用一个向量方程表

5、示3)-(2 01pf式中称哈米尔顿算子zkyjxi式（2-3）是液体平衡微分方程，又称为欧拉平衡微分方程。方程表明：在静止流体中，各点单位质量流体所受表面力和质量力相平衡。2.2 流体平衡微分方程01xpX01Yyp 01zpZ对中的3个分式交叉求偏导数，可得4)-(2 zXxZyZzYxYyX， 由曲线积分定理，上式是表达式Xdx+Ydy+Zdz为某一坐标函数U（x，y，z）的全微分之必要条件，即 ddddzZyYxXU（2-5）2.2 流体平衡微分方程而zzUyyUxxUUdddd由此，得xUXyUYzUZ（2-6） 满足上式的坐标函数U（x，y，z）称为力的势函数。2.2 流体平衡微分

6、方程 质量力有势是流体静止的必要条件，重力和惯性力都属有势力。2.2.2 平衡微分方程的积分平衡微分方程的积分)ddd(dddzZyYxXzzpyypxxp 上式等号左边是压强 p（x，y，z)的全微分7)-(2 )ddd(dzZyYxXp流体平衡微分方程的全微分式 将式 各分式分别乘以dx、dy、dz后相加，得到（2-2）2.2 流体平衡微分方程Updd 积分，得cUp 式中积分常数c可结合边界条件和已知条件确定。 将式 代入式（2-7），得到（2-5）2.2 流体平衡微分方程 不可压缩流体在有势的质量力作用下才能静止，流体平衡微分方程有确定的解析解。2.2.3 等等 压压 面面 压强相等的

7、空间点构成的面（平面或曲面）称为等压面，例如液体的自由表面。 等压面的一个重要性质是，等压面与质量力正交。等压面上，p=常数0)ddd(dzZyYxXp密度0，则等压面方程0dddzZyYxX2.2 流体平衡微分方程即0ddddBlfzZyYxX由此证明，等压面与质量力正交。当质量力只有重力时，因重力的方向铅垂向下，可知等压面是水平面。2.2 流体平衡微分方程若重力之外，还有其它质量力作用，则知等压面非水平面。 只有重力作用下的等压面应满足的条件：静止；连通；连通的介质为同一均质流体；质量力仅有重力；同一水平面。2.2 流体平衡微分方程2.3.1 流体静力学基本方程流体静力学基本方程1. 基本

8、方程的两种表达式如图所示，液体中任一点的压强)ddd(dzZyYxXp质量力只有重力时zgpdd上式积分，得8)-(2 cgzp2.3 重力场中流体静压强的分布规律代入上式，得X=Y=0，Z=g由边界条件z=z0，p=p0，定出积分常数00gzpc2.3 重力场中流体静压强的分布规律代回原式，得)(00zzgpp9)-(2 0ghppgczgp 10)-(2 cgpz或以单位体积液体的重量 除式（2-8）各项，得g式中 p静止液体内某点的压强； p0液体表面压强，自由液面压强用pa表示； h该点到液面的距离，称淹没深度； z该点在坐标平面以上的高度。2.3 重力场中流体静压强的分布规律10)-

9、(2 cgpz9)-(2 0ghpp2. 推论（1）静压强的大小与液体的体积无直接关系2.3 重力场中流体静压强的分布规律（2）两点的压强差，等于两点间单位面积垂直液柱的重量。液体内任意两点A、B的压强A0AghppB0BghppABABAB)(ghhhgpp2.3 重力场中流体静压强的分布规律或ABBAghppABABghpp（2-11）hABS=1（3）平衡状态下，液体内（包括边界上）任意点压强的变化，等值地传递到其它各点。 液体内任意点的压强ABABghpp 在平衡状态下，当A点的压强增加p，则B点的压强变为12)-(2 )()(BABAABABpppghpghppp帕斯卡原理2.3 重

10、力场中流体静压强的分布规律【例】水压机是由两个尺寸不同而彼此连通的圆筒以及置于筒内的一对活塞所组成，筒内充满着水或油。已知大小活塞的面积分别为A1、A2。若忽略两活塞的重量及其与圆筒摩阻的影响，当小活塞加力P1时，求大活塞所产生的力P2。【解】在P1作用下小活塞上产生的静水压强为11APp 根据帕斯卡原理11222PAApAP2.3 重力场中流体静压强的分布规律2.3.3 压强的度量压强的度量1. 绝对压强和相对压强 绝对压强是以无气体分子存在的完全真空为基准起算的压强（pabs）。 相对压强是以当地大气压为基准起算的压强（p）。18)-(2 aabsppp2.3 重力场中流体静压强的分布规律

11、1个标准大气压 1atm=101325Pa1个工程大气压 1at=98000Pa或 1at=0.1MPa（1MPa=103kPa=106Pa）2.3 重力场中流体静压强的分布规律压强的单位有三种形式：N/m2（Pa）或kN/m2（kPa）；液柱高度（mH2O）（mmHg）；以大气压表示。求1标准大气压的水柱高和水银柱高，（水柱）m33.108 . 91000101325gatmph（水银柱）760mmm76. 08 . 913600101325gatmmph2.3 重力场中流体静压强的分布规律水体中某点压强产生8m的水柱高度，该点的相对压强为多少？相当于多少大气压？2N/m7840088 .

12、91000ghp大气压774. 010132578400atmpp2.3 重力场中流体静压强的分布规律 工程结构和工业设备都处在当地大气压的作用下，采用相对压强往往能使计算简化。PaPa 开口容器可忽略大气压沿高度的变化，则液面下某点的相对压强等于19)-(2 aaAghpghpp 工业用的各种压力表，测得的压强是相对压强。2. 真空度 真空度是指绝对压强不足当地大气压的差值，即相对压强的负值（pv）。20)-(2 absavpppp2.3 重力场中流体静压强的分布规律【例2-1】立置在水池中的密封罩如图所示，试求罩内A、B、C三点的压强。【解】B点压强0BpA点压强Pa147005 . 18

13、 . 91000 ABABBAghghppC点压强Pa1960028 . 91000BCBCBCghghpp2.3 重力场中流体静压强的分布规律【解】B点压强0BpA点压强Pa147005 . 18 . 91000 ABABBAghghppC点压强Pa1960028 . 91000BCBCBCghghpp2.3 重力场中流体静压强的分布规律C点真空度Pa19600 Cvpp2.3.4 测压管水头测压管水头1. 测压管高度、测压管水头静力学基本方程的另一种形式cgpz式中z位置高度或位置水头。 物理意义是单位重量液体 具有的，相对于基准面的重力势能，简称势能。 2.3 重力场中流体静压强的分布规

14、律 测压管高度或压强水头。 物理意义是单位重量液体具有的压强势能，简称压能。gp2.3 重力场中流体静压强的分布规律测压管pghp21)-(2 pgph 液体沿测压管上升的高度hp 是可以用测压管直接量 测的高度。gp2.3 重力场中流体静压强的分布规律 测压管水头。 是单位重量液体具有的总势能。gpz 静力学基本方程表示：静止液体中各点的测压管水头相等，测压管水头线是水平线。其物理意义是静止液体中各点单位重量液体具有的总势能相等。2. 真空高度（当测点的绝对压强小于当地大气压时） 槽内的液体沿玻璃管上升的高度hvavabsgphp22)-(2 gvabsavgppphhv称为真空高度。2.3

15、 重力场中流体静压强的分布规律测压管 测压管是利用液柱高度表达压强的原理制成的简单的测量装置。2.3 重力场中流体静压强的分布规律 测量较大压强或负压时，常采用压力表和真空表。金属测压计与真空计2.3 重力场中流体静压强的分布规律【例2-2】密闭容器，侧壁上方装有U形管水银测压计，读值hp=20cm。试求安装在水面下3.5m处的压力表读值。【解】 容器内水面压强kPa66.26 2 . 08 . 96 .130pp0ghp压力表读值kPa64. 75 . 38 . 9166.260ghpp2.3 重力场中流体静压强的分布规律【例】如图所示水银测压计是一U形测压管，管内装有水银，求A点的压强。【

16、解】 NN为等压面，则在N-N面上U形管左边)(210NhhgppU形管右边mmNghp所以mm210)(ghhhgp2.3 重力场中流体静压强的分布规律)(21mm0hhgghp2mm121mm10A)(ghghghhhgghghpp2.3 重力场中流体静压强的分布规律【解】mm210)(ghhhgp则：【例2-3】用U形管水银压差计测量水管A、B两点的压强差。已知两测点的高差z=0.4m，压差计的读值hp=0.2m。试求A、B两点的压强差和测压管水头差。【解】 设高度h，作等压面MN，压强差由 pN=pMppBpA)(ghghphhzgpkPa78.20)(ppBAzgghpp2.3 重力

17、场中流体静压强的分布规律压强差kPa78.20)(ppBAzgghpp测压管水头差，由前式)()(BAppBAzzgghpp整理得m52. 26 .12) 1()()(pppBBAAhhgpzgpz2.3 重力场中流体静压强的分布规律2.5.1 解析法解析法1. 总压力的大小和方向液体作用在dA上的微小压力：yAygPPdsindAgyAghPdsindd作用在平面上的总压力：2.5 液体作用在平面上的总压力hOyAdAdPyxyAygPPdsind作用在平面上的总压力：积分 ，为受压面A对Ox轴的静矩，代入上式AyAyyCd 29)-(2 sinCCCApAghAygP2.5 液体作用在平面

18、上的总压力hChOyAdAdPyxCyC2. 总压力的作用点 根据合理矩定理AAygyPPydsind2DxDsin IgPy将 代入上式化简，得AygPCsinAyIyCxD2.5 液体作用在平面上的总压力hDhChOPyAdAdPyxCyC 积分 ，为受压面A对Ox轴的惯性矩，代入上式：xA2dIAyDyDAyIyCxD由惯性矩的平行移轴定理， ，代入上式AyII2CCx30)-(2 CCCDAyIyy2.5 液体作用在平面上的总压力上式中 ，故 ，即总压力作用点D一般在0CCAyICDyy 受压面形心C之下。 CCCDAhIhh上式不能写成 【例2-6】矩形平板一侧挡水，与水平面夹角=3

19、0，平板上边与水面齐平，水深h=3m，平板宽b=5m。试求作用在平板上的静水总压力。【解】总压力大小441kNgsin 22CCbhhbhgAghApP2.5 液体作用在平面上的总压力【解】总压力大小441kNgsin 22CCbhhbhgAghApP作用点m430sin323221223CCCDhlbllbllAyIyy方向为受压面内法线方向2.5 液体作用在平面上的总压力2.5.2 图算法图算法1. 压强分布图 压强分布图是在受压面承压的一侧，以一定比例尺的矢量线段，表示压强大小和方向的图形。 由于压强沿水深直线分布，只要把上、下两点的压强用线段绘出，中间以直线相连，就得到相对压强分布图。

20、2.5 液体作用在平面上的总压力2.5 液体作用在平面上的总压力 图算法的步骤是：先绘出压强分布图，总压力的大小等于压强分布图的面积S，乘以受压面的宽度b，即bsP 对于规则的平面，特别是对矩形平面，一般来说采用图算法较为方便和形象化。2.5 液体作用在平面上的总压力 总压力的作用线通过压强分布图的形心，作用线与受压面的交点，就是总压力的作用点。hhbhbhhAhIhh32212123CCCD若压强分布图为三角形，则：2.5 液体作用在平面上的总压力【例2-7】矩形平板一侧挡水，与水平面夹角=30，平板上边与水面齐平，水深h=3m，平板宽b=5m。试求作用在平板上的静水总压力。用图算法计算。【

21、解】 绘出压强分布图总压力大小441kNg30sin 212hbhghbbSP2.5 液体作用在平面上的总压力总压力作用线通过压强分布图的形心方向为受压面内法线方向m430sin32Dhy2.5 液体作用在平面上的总压力【例】一铅直矩形平板ABFE如图所示，板宽b=1.5m，板高h=2.0m ，板顶的水深h1=1m ，求总压力的大小及作用点。【解】（1）用解析法kN8 .58 25 . 1)221 (8 . 91 CCAghApP总压力的大小2.5 液体作用在平面上的总压力总压力的作用点为m17. 2)221 (25 . 125 . 1121)221 (3CCCDAhIhh2.5 液体作用在平

22、面上的总压力（2）用图算法kN8 .58 )212(5 . 128 . 9121 )2(21)(21111hhghbhbhhgghP2.5 液体作用在平面上的总压力压强分布图的形心)()2(3Cbabahy这里m321m1m0 . 211hhbhah，所以m67)31 ()321 (32Cy总压力作用点的位置2.17m671C1Dyhh2.5 液体作用在平面上的总压力2.6.1 曲面上的总压力曲面上的总压力 作用在曲面各点的压强并不平行，总压力作用点不一定落在曲面上。 方法：将不平行的力系分解为互相垂直的分力。 本节重点讨论液体作用在二向曲面上的总压力。2.6 液体作用在曲面上的总压力2.6.

23、1 曲面上的总压力曲面上的总压力将dP分解为水平分力和铅垂分力xxd cosdcosddAghAghPPzzd sindsinddAghAghPP2.6 液体作用在曲面上的总压力OxzEF(y)ABdPxdPzdAxdPdAzABxxd cosdcosddAghAghPP总压力的水平分力为：xxxxddAAhgPP代入上式xCxxdAhAhAxCxCxApAghP 液体作用在曲面上总压力的水平分力，等于作用在该曲面的铅垂投影面上的压力。式中2.6 液体作用在曲面上的总压力OxzEF(y)dPxdPzdAxAxPxdAzdP总压力的铅垂分力34)-(2 ddzzzzgVAhgPPA液体作用在曲面

24、上的总压力35)-(2 2z2xPPP总压力作用线与水平面夹角xztanPP36)-(2 arctanxzPP总压力作用点为此二力的合力的作用线与曲面的交点。2.6 液体作用在曲面上的总压力ABOxzEF(y)dPxdPzdAxAxPxdAzVPzdP2.6.2 压力体压力体 积分 表示的几何体积称为压力体。VAhAzzd压力体：设想取铅垂线沿曲面边缘平行移动一周，割出的以自由液面（或延伸面）为上底，曲面本身为下底的柱体就是压力体。2.6 液体作用在曲面上的总压力 压力体有三种情况：1. 实压力体 压力体和液体在曲面AB的同侧，压力体内实有液体，习惯上称为实压力体。Pz方向向下。2.6 液体作用在曲面上的总压力2. 虚压力体 压力体和液体在曲面AB的异侧，其上底面为自由液面的延伸面，压力体内虚空，习惯上称为虚压力体。Pz方向向上。2.6 液体作用在曲面上的总压力3. 压力体叠加 对于水平投影重叠的曲面，分开界定压力体，然后相叠加。2.6 液体作用在曲面上的总压力2.6 液体作用在曲面上的总压力2.6 液体作用在曲面上的总压力2.6.3 液体作用在潜体和浮体上的总压力液体作用在潜体和浮体上的总压力1. 水平分力xCxxCx21 AghPAghP，02xxx1PPP2. 铅垂分力dcdbbz1gVP方向向下dadbbz2gVP