第7章内压薄壁容器的应力分析

1、v第一节第一节 内压薄壁圆筒的应力分析内压薄壁圆筒的应力分析v第二节第二节 回转壳体的应力分析薄膜应力理论回转壳体的应力分析薄膜应力理论v第三节第三节 薄膜理论的应用薄膜理论的应用v第四节第四节 内压圆筒边缘应力的概念内压圆筒边缘应力的概念一、薄壁容器及其应力特点一、薄壁容器及其应力特点二、内压圆筒的应力计算公式二、内压圆筒的应力计算公式1.1.薄壁容器与厚壁容器薄壁容器与厚壁容器 如果如果S/DS/Di i0.10.1或或K=DK=DO O/D/Di i1.21.2则为则为薄壁容器薄壁容器； 如果如果S/DS/Di i0.10.1或或K=DK=DO O/D/Di i1.21.2则为则为厚壁容

2、器厚壁容器。 v注：注：S S为容器壁厚，为容器壁厚，D DO O、D Di i分别容器的外直径与内直径分别容器的外直径与内直径v2.2.薄壁容器的应力特点薄壁容器的应力特点v薄膜应力薄膜应力：容器的圆筒中段：容器的圆筒中段处，处，可以忽略薄壁圆筒变形前后圆周方可以忽略薄壁圆筒变形前后圆周方向曲率半径变大所引起的弯曲应力。向曲率半径变大所引起的弯曲应力。用用无力矩理论来计算无力矩理论来计算。v弯曲应力弯曲应力：在凸形封头、平底盖与：在凸形封头、平底盖与筒体联接处筒体联接处和和，则因封头与平，则因封头与平底的变形小于筒体部分的变形，边底的变形小于筒体部分的变形，边缘连接处由于变形谐调形成一种机缘

3、连接处由于变形谐调形成一种机械约束，从而导致在边缘附近产生械约束，从而导致在边缘附近产生附加的弯曲应力。必须用复杂的附加的弯曲应力。必须用复杂的有有力矩理论及变形谐调条件力矩理论及变形谐调条件才能计算。才能计算。v环环向（周向）应力向（周向）应力：当其承受内压力：当其承受内压力P P作用以后，其直径要作用以后，其直径要稍微增大，故筒壁内的稍微增大，故筒壁内的“环向纤维环向纤维”要伸长，因此在筒体的要伸长，因此在筒体的纵向截面上必定有应力产生，此应力称为环向应力，以纵向截面上必定有应力产生，此应力称为环向应力，以表示。由于筒壁很薄，可以认为环向应力沿壁厚均匀分布。表示。由于筒壁很薄，可以认为环向

4、应力沿壁厚均匀分布。v经向（轴向）应力经向（轴向）应力：鉴于容器两端是封闭的，在承受内压后，：鉴于容器两端是封闭的，在承受内压后，筒体的筒体的“纵向纤维纵向纤维”也要伸长，则筒体横向截面内也必定有也要伸长，则筒体横向截面内也必定有应力产生，此应力称为经向（轴向）应力，以应力产生，此应力称为经向（轴向）应力，以mm（）表表示。示。介质压力在轴向的合力介质压力在轴向的合力P Pz z为：为： pppz22iD4D4圆筒形截面上内力为应力的合圆筒形截面上内力为应力的合力力NzNz：mDSzN由平衡条件由平衡条件 得：得：PzPzNzNz0 0 0Fzm2DSD4p SpD4m【提示提示】在计算作用于

5、封头上的总压力在计算作用于封头上的总压力PzPz时，严格地讲，应采用筒体时，严格地讲，应采用筒体内径，但为了使公式简化，此处近似地采用平均直径内径，但为了使公式简化，此处近似地采用平均直径D D。1.1.轴向应力轴向应力m m的计算公式的计算公式分离体的取法分离体的取法：用一通过圆筒轴线的纵截面：用一通过圆筒轴线的纵截面B-BB-B将圆筒剖开，移走上半将圆筒剖开，移走上半部，再从下半个圆筒上截取长度为部，再从下半个圆筒上截取长度为L L的筒体作为分离体。的筒体作为分离体。 2.2.环向应力环向应力的计算公式的计算公式 DlplpDlpRlpRlpRiiii2dsinsindp00ySlN2y由

6、由 得：得：PyPyNyNy0 0 0Fy SlDlp2 SpD2薄壁圆筒承受内压时，其环向应力是轴向应力的两倍。薄壁圆筒承受内压时，其环向应力是轴向应力的两倍。在圆筒上开设椭圆形孔时，应使椭圆孔之短轴平行于筒体在圆筒上开设椭圆形孔时，应使椭圆孔之短轴平行于筒体的轴线，以尽量减小纵截面的削弱程度，从而使环向应力增的轴线，以尽量减小纵截面的削弱程度，从而使环向应力增加少一些。加少一些。筒体承受内压时，筒壁内的应力与壁厚筒体承受内压时，筒壁内的应力与壁厚S S成反比，与中径成反比，与中径D D成正比。成正比。 3.3.内压薄壁圆筒的应力特点在工程中的应用内压薄壁圆筒的应力特点在工程中的应用 一、基

7、本概念与基本假设一、基本概念与基本假设二、经向应力计算公式区域平衡方程式二、经向应力计算公式区域平衡方程式三、环向应力计算公式微体平衡方程式三、环向应力计算公式微体平衡方程式四、轴对称回转壳体薄膜理论的应用范围四、轴对称回转壳体薄膜理论的应用范围v1.1.基本概念基本概念 回转壳体回转壳体：壳体的中间面是直线或平面曲线绕其同平：壳体的中间面是直线或平面曲线绕其同平面内的固定轴线旋转面内的固定轴线旋转3603600 0而成的壳体。而成的壳体。 轴对称轴对称：壳体的：壳体的几何形状、约束条件几何形状、约束条件和所受和所受外力外力都是都是对称于回转轴的。对称于回转轴的。v1.1.基本概念基本概念 中

8、间面中间面：中间面是与壳体内外表面等距离的中曲面，：中间面是与壳体内外表面等距离的中曲面，内外表面间的法向距离即为壳体壁厚。内外表面间的法向距离即为壳体壁厚。 母线母线：回转壳体的中间面是由平面曲线绕回转轴旋转：回转壳体的中间面是由平面曲线绕回转轴旋转一周而成的，形成中间面的平面曲线称为母线。一周而成的，形成中间面的平面曲线称为母线。 经线经线：过回转轴作一纵截面：过回转轴作一纵截面与壳体曲面相交所得的交线。与壳体曲面相交所得的交线。经线与母线的形状完全相同经线与母线的形状完全相同。 法线法线：过经线上任意一点：过经线上任意一点M垂直于中间面的直线，称为中垂直于中间面的直线，称为中间面在该点的

9、法线。间面在该点的法线。法线的延法线的延长线必与回转轴相交长线必与回转轴相交。v1.1.基本概念基本概念 纬线纬线：如果作圆锥面与壳体中间：如果作圆锥面与壳体中间面正交，得到的交线叫做面正交，得到的交线叫做“纬线纬线”；过过N N点作垂直于回转铀的平面与中点作垂直于回转铀的平面与中间面相割形成的圆称为间面相割形成的圆称为“平行圆平行圆”，平行圆即是纬线。平行圆即是纬线。 第一曲率半径第一曲率半径：中间面上任一点：中间面上任一点M M处经线的曲率半径，处经线的曲率半径，R Rl l=MK=MK1 1。 第二曲率半径第二曲率半径：过经线上：过经线上一点一点M M的法线作垂直于经线的平面的法线作垂直

10、于经线的平面与中间面相割形成的曲线与中间面相割形成的曲线MEME，此曲，此曲线在线在M M点处的曲率半径称为该点的点处的曲率半径称为该点的第二曲率半径第二曲率半径R R2 2。第二曲率半径的第二曲率半径的中心中心K K2 2落在回转轴上，落在回转轴上，R R2 2=MK=MK2 2。v1.1.基本概念基本概念母线母线第一曲率半径第一曲率半径O1 A R1 第二曲率半径第二曲率半径回转轴回转轴R2 O l第一曲率半径与母线有关；第一曲率半径与母线有关；l第二曲率半径与回转轴位置第二曲率半径与回转轴位置有关；有关；问题问题1.1.第一曲率半径与第二曲第一曲率半径与第二曲率半径哪个大？率半径哪个大？

11、问题问题2 2. .第一曲率半径与第二曲第一曲率半径与第二曲率半径有什么关系？率半径有什么关系？v典型回转壳体的第一、典型回转壳体的第一、第二曲率半径举例第二曲率半径举例v2.2.基本假设基本假设 除假定壳体是除假定壳体是完全弹性完全弹性的，即材料具有的，即材料具有连续性、均匀性性连续性、均匀性性和和各向同性各向同性；薄壁壳体通常还做以下假设使问题简化：；薄壁壳体通常还做以下假设使问题简化： 小位移假设小位移假设v壳体受力以后，各点的位移都远小于壁厚。壳体变形壳体受力以后，各点的位移都远小于壁厚。壳体变形后可以用变形前的尺寸来代替。后可以用变形前的尺寸来代替。 直法线假设直法线假设v壳体在变形

12、前垂直于中间面的直线段，在变形后仍保壳体在变形前垂直于中间面的直线段，在变形后仍保持直线，并垂直于变形后的中间面。变形前后的法向持直线，并垂直于变形后的中间面。变形前后的法向线段长度不变，沿厚度各点的法向位移均相同，变形线段长度不变，沿厚度各点的法向位移均相同，变形前后壳体壁厚不变。前后壳体壁厚不变。 不挤压假设不挤压假设v壳体各层纤维变形前后相互不挤压。壳壁法向（半径壳体各层纤维变形前后相互不挤压。壳壁法向（半径方向）的应力与壳壁其他应力分量比较是可以忽略的方向）的应力与壳壁其他应力分量比较是可以忽略的微小量，其结果就变为平面问题。微小量，其结果就变为平面问题。v1.1.取分离体取分离体 求

13、经向应力时，采用的假想截面不是垂直于轴线的横截面，求经向应力时，采用的假想截面不是垂直于轴线的横截面，而是与壳体正交的圆锥面。为了求得任一纬线上的经向应而是与壳体正交的圆锥面。为了求得任一纬线上的经向应力，必须以该纬线为锥底作一圆锥面，其顶点在壳体轴线力，必须以该纬线为锥底作一圆锥面，其顶点在壳体轴线上，圆锥面的母线长度即是由转壳体曲面在该纬线上的第上，圆锥面的母线长度即是由转壳体曲面在该纬线上的第二曲率半径二曲率半径R R2 2，如图所示。圆锥面将壳体分成两部分，现，如图所示。圆锥面将壳体分成两部分，现取其下部分作分离体。取其下部分作分离体。v2.2.静力分析静力分析v作用在分离体上外力在轴

14、向的合力作用在分离体上外力在轴向的合力P Pz z为：为：ppz2D4v截面上应力的合力在截面上应力的合力在Z Z轴上的投影轴上的投影N Nz z为：为：sinDSmzNv平衡条件平衡条件 得：得：PzPzNzNz0 0，即：，即： 0Fz0DSsin-D4m2pv由几何关系知由几何关系知2sinR2Dsin2R2D Sp2R2mv区域平衡方程式区域平衡方程式 v1.1.微元体的取法微元体的取法v三对曲面截取微元体：三对曲面截取微元体： 一是壳体的内外表面；一是壳体的内外表面； 二是两个相邻的、通过壳体轴线的经线平面；二是两个相邻的、通过壳体轴线的经线平面； 三是两个相邻的、与壳体正交的圆锥面

15、。三是两个相邻的、与壳体正交的圆锥面。 v2.2.微元体的受力分析微元体的受力分析 微单元体的上下面：微单元体的上下面：经向应力经向应力m m ； 内表面：内表面：内压内压p p作用；作用； 外表面外表面不受力不受力； 两个与纵截面相应的面：两个与纵截面相应的面：环向应力环向应力。v3.3.微元体的静力平衡方程微元体的静力平衡方程v微元体在其法线方向的平衡，故所有的外载和内力的合力微元体在其法线方向的平衡，故所有的外载和内力的合力都取沿微元体法线方向的分量。都取沿微元体法线方向的分量。 v内压内压p p在微元体在微元体abcdabcd面积沿法线面积沿法线n n的合力的合力P Pn n为：为：2

16、1dlpdlpnv经向应力的合力在法线方向上的分量经向应力的合力在法线方向上的分量N Nmnmn为：为：2dsinS212mdlNnmv环向应力的合力在法线方向的分量环向应力的合力在法线方向的分量N Nnn为：为： 2dsinS221dlNnv3.3.微元体的静力平衡方程微元体的静力平衡方程v由法线由法线n n方向力的平衡条件方向力的平衡条件 ，即：，即：P Pn n-N-Nmnmn-N-Nnn=0=0v【注意简化注意简化】：因：因d d11及及d d22都很小，所以有：都很小，所以有： 0Fn0)2d(sinS2-)2d(sinS22112m21dldl-dlpdl1111Rd212d)2d

17、(sinl2222Rd212d)2d(sinlv代入平衡方程式，并对各项都除以代入平衡方程式，并对各项都除以SdlSdl1 1dldl2 2整理得：整理得：SRR21mpv微体平衡方程微体平衡方程 v4.4.薄膜理论薄膜理论 上述推导和分析的前提是上述推导和分析的前提是应力沿壁厚方向均匀分布应力沿壁厚方向均匀分布，这，这种情况只有当种情况只有当器壁较薄以及边缘区域稍远器壁较薄以及边缘区域稍远才是正确的。才是正确的。这种应力与承受内压的薄膜非常相似，又称之为这种应力与承受内压的薄膜非常相似，又称之为薄膜理薄膜理论或无力矩理论。论或无力矩理论。 薄膜理论除满足薄膜理论除满足薄壁壳体薄壁壳体外，还应

18、满足：外，还应满足：v回转壳体曲面在几何上是轴对称的，壳壁厚度无突变；曲率半径是回转壳体曲面在几何上是轴对称的，壳壁厚度无突变；曲率半径是连续变化的，材料是各向同性的，且物理性能连续变化的，材料是各向同性的，且物理性能( (主要是主要是E E和和)应当是相应当是相同的。同的。v载荷在壳体曲面上的分布是轴对称和连续的，没有突变情况。因此，载荷在壳体曲面上的分布是轴对称和连续的，没有突变情况。因此，壳体上任何有集中力作用处或壳体边缘处存在着边缘力和边缘力矩时，壳体上任何有集中力作用处或壳体边缘处存在着边缘力和边缘力矩时，都将不可避免地有弯曲变形发生，薄膜理论在这些地方就不能应用。都将不可避免地有弯

19、曲变形发生，薄膜理论在这些地方就不能应用。v壳体边界的固定形式应该是自由支承的。否则壳体边界上的变形将壳体边界的固定形式应该是自由支承的。否则壳体边界上的变形将受到约束，在载荷作用下势必引起弯曲变形和弯曲应力，不再保持无受到约束，在载荷作用下势必引起弯曲变形和弯曲应力，不再保持无力矩状态。力矩状态。v壳体的边界力应当在壳体曲面的切平面内，要求在边界上无横剪力壳体的边界力应当在壳体曲面的切平面内，要求在边界上无横剪力和弯矩。和弯矩。 壳体是轴对称的，即几何形状、材料、载荷的对称性和连续性，壳体是轴对称的，即几何形状、材料、载荷的对称性和连续性，同时需保证壳体应具有自由边缘，同时需保证壳体应具有自

20、由边缘， 一、受气体内压的圆筒形壳体一、受气体内压的圆筒形壳体二、受气体内压的球形壳体二、受气体内压的球形壳体三、受气体内压的椭球壳（椭圆形封头）三、受气体内压的椭球壳（椭圆形封头）四、受气体内压的锥形壳体四、受气体内压的锥形壳体五、受气体内压的碟形封头五、受气体内压的碟形封头六、承受液体内压作用的圆筒壳六、承受液体内压作用的圆筒壳 v圆筒形壳体有：圆筒形壳体有：R R1 1 ，R R2 2D/2D/2Sp2R2mv区域平衡方程式区域平衡方程式 SRR21mpv微体平衡方程微体平衡方程 Sp4DmSp2Dv圆筒形壳体薄膜应力公式圆筒形壳体薄膜应力公式tRpv球壳薄膜应力公式球壳薄膜应力公式v球

21、壳的几何特点是中心对称，应力分布特点：一是各处的球壳的几何特点是中心对称，应力分布特点：一是各处的应力均相等；二是经向应力与环向应力相等。应力均相等；二是经向应力与环向应力相等。 R R1 1R R2 2=D/2=D/2 Sp4Dmv相同的内压相同的内压P P作用下，球壳的环向应力要比同直径、同壁厚的作用下，球壳的环向应力要比同直径、同壁厚的圆筒壳小一半。圆筒壳小一半。 v关键问题是要确定椭球壳上任意一点的第一和第二曲率半径关键问题是要确定椭球壳上任意一点的第一和第二曲率半径 v1. 第一曲率半径第一曲率半径R1v一般曲线一般曲线y y = =f f( (x x) )上任意一点的曲率半径：上任

22、意一点的曲率半径： 23211Ryyv由椭圆曲线方程由椭圆曲线方程 12222byax2222-y-xaabxyaxb322324 -y-xaaabyab232224411R-ba-xabav椭圆上某点的第一曲率半径为：椭圆上某点的第一曲率半径为： v2. 第二曲率半径第二曲率半径R2v椭圆上某点的第二曲率半径为：椭圆上某点的第二曲率半径为： 22222gRtxxlxv 为圆锥面的半顶角，它为圆锥面的半顶角，它在数值上等于椭圆在同一在数值上等于椭圆在同一点的切线与点的切线与x轴的夹角。轴的夹角。 ydxdytg2122242221R-ba-xabyxxv3. 3. 应力计算公式应力计算公式22

23、24m2Sbp-ba-xa222442224-22Sbp-ba-xaa-ba-xav经向应力经向应力v环向应力环向应力v4.4.椭圆形封头上的应力分布椭圆形封头上的应力分布 v椭圆壳体的中心位置椭圆壳体的中心位置x x=0=0处：处： v椭圆壳体的赤道位置椭圆壳体的赤道位置x=ax=a处：处： )ba(2amSpSp2am)ba(22a22Spv 椭圆封头的中心位置椭圆封头的中心位置x x=0=0处，经向应力和环向应力相等即：处，经向应力和环向应力相等即：m m=；v 经向应力经向应力m m恒为正值，且最大值在恒为正值，且最大值在x x=0=0处，最小值在处，最小值在x x=a=a处。处。v

24、环向应力环向应力，在，在x x=0=0处，处，00；在；在x x=a=a处有三种情况：处有三种情况：v如果如果 ，即，即 ， 0 0；0ba-222bav如果如果 ，即，即 ， = 0 0；v如果如果 ，即，即 ， 0 0；0ba-222ba0ba-222bav4.4.椭圆形封头上的应力分布椭圆形封头上的应力分布 v 标准椭圆封头（标准椭圆封头（a/b=2）v中心位置中心位置x x=0=0处：处： v赤道位置赤道位置x=ax=a处：处： Sp2amSp2amSpav1.1.第一曲率半径和第二曲率半径第一曲率半径和第二曲率半径 vR R1 1 ，R R2 2r/cosr/cosv2.2.锥壳的薄

25、膜应力公式锥壳的薄膜应力公式 cos12Srmpcos1Srp锥底处的薄膜应力锥底处的薄膜应力 cos14SDmpcos12SDpv碟形封头由三部分经线曲率不同的碟形封头由三部分经线曲率不同的壳体组成：壳体组成： b bb b段是半径为段是半径为R R的球壳；的球壳； a ac c段是半径为段是半径为r r的圆筒；的圆筒； a ab b段是联接球顶与圆筒的摺边，段是联接球顶与圆筒的摺边，是过渡半径为是过渡半径为r r1 1的圆弧段。的圆弧段。 v1. 1. 球顶部分球顶部分 Sp4Dmv2. 2. 圆筒部分圆筒部分 Sp4DmSp2Dv3.3.摺边部分：摺边部分：R R1 1=r=r1 1，R

26、 R2 2是个变量是个变量 Sp2R2m)rR-(22R122Sp sinr2DrsinrrrR11112sinr2Dr211mSpsinrr2D1sinr2Dr21111Spv第二曲率半径第二曲率半径R R2 2为为v在碟形封头过渡圆弧部分的经向应力在碟形封头过渡圆弧部分的经向应力m m连续变化，连续变化，而环向应力是突跃式变化且是负值而环向应力是突跃式变化且是负值 Sp2Rm1rR22RSpv在在R R2 2R R处：处：v在在R R2 2r r处处 ：Sp2rm1rr22rSpv1.1.沿底部边线支承的圆筒沿底部边线支承的圆筒 圆筒壁上各点所受的液体压力（静压），随液体深度而变，圆筒壁上

27、各点所受的液体压力（静压），随液体深度而变，离液面越远，液体静压越大。离液面越远，液体静压越大。 v则筒壁上任一点的压力为：则筒壁上任一点的压力为：P = PP = P0 0 + + x x SRR21mpSR0mxp2SDSR00 xpxpv环向应力为环向应力为 v1.1.沿底部边线支承的圆筒沿底部边线支承的圆筒 v【注意注意】对底部支承来说，液体重量由支承直接传给基础，圆筒壳不对底部支承来说，液体重量由支承直接传给基础，圆筒壳不受轴向力，故筒壁中因液引起的经向应力为零，只有气压引起的经向受轴向力，故筒壁中因液引起的经向应力为零，只有气压引起的经向应力。应力。SpSp4D2R00mv若容器上

28、方是开口的，或无气体压力时，即若容器上方是开口的，或无气体压力时，即P0=0，则，则m = 0。塔器设。塔器设备水压试验时的应力分析。备水压试验时的应力分析。v2.2.沿顶部边缘支承的圆筒沿顶部边缘支承的圆筒 v最大环向应力在最大环向应力在x x=H=H处：处：v经向应力经向应力m m作用于圆筒任何横截面上的轴向应力均为液体作用于圆筒任何横截面上的轴向应力均为液体总重量引起，作用于底部液体重量经筒体传给悬挂支座，总重量引起，作用于底部液体重量经筒体传给悬挂支座，其大小为：其大小为： ，列轴向力平衡方程式：，列轴向力平衡方程式：v液体压力为液体压力为 P= P=x x SRmx2SDSRxx 2

29、SHDSRHmaxHR2HRRS22m常数4SHD2SRHm一、边缘应力的概念一、边缘应力的概念二、边缘应力的特点二、边缘应力的特点三、对边缘应力的处理三、对边缘应力的处理v在应用薄膜理论分析内压圆筒的变形与应力时，忽在应用薄膜理论分析内压圆筒的变形与应力时，忽略了两种变形与应力：略了两种变形与应力： 圆周方向的变形与弯曲应力圆周方向的变形与弯曲应力 联接边缘区的变形与应力联接边缘区的变形与应力 v在应用薄膜理论分析内压圆筒的变形与应力时，忽在应用薄膜理论分析内压圆筒的变形与应力时，忽略了两种变形与应力：略了两种变形与应力： 圆周方向的变形与弯曲应力圆周方向的变形与弯曲应力 联接边缘区的变形与应力联接边缘区的变形与应力 v实际上由于边缘联接并非自实际上由于边缘联接并非自由，必然发生图中右侧虚线由，必然发生图中右侧