-稳恒磁场的高斯定理与安培环路定理

1、0dSSB 穿过任意闭合曲面穿过任意闭合曲面S的总磁通必然为零，这的总磁通必然为零，这就是稳恒磁场的就是稳恒磁场的高斯定理高斯定理。一、稳恒磁场的高斯定理一、稳恒磁场的高斯定理 由磁感应线的闭合性可知，对任意闭合曲面，由磁感应线的闭合性可知，对任意闭合曲面，穿入的磁感应线条数与穿出的磁感应线条数相同，穿入的磁感应线条数与穿出的磁感应线条数相同，因此，通过任何闭合曲面的磁通量为零。因此，通过任何闭合曲面的磁通量为零。磁场的高斯定磁场的高斯定理理 在静电场中在静电场中,由于自然界有单独存在的正、负电由于自然界有单独存在的正、负电荷荷,因此通过一闭合曲面的电通量可以不为零因此通过一闭合曲面的电通量可

2、以不为零,这反这反映了映了静电场是有源场静电场是有源场。而在磁场中。而在磁场中,磁力线的连续性磁力线的连续性表明表明,像正、负电荷那样的像正、负电荷那样的磁单极子是不存在的磁单极子是不存在的,磁磁场是场是无源场无源场。 1913年英国物理学家狄拉克曾从理论上预言年英国物理学家狄拉克曾从理论上预言磁单极子的存在，但至今未被观察到。磁单极子的存在，但至今未被观察到。 激发静电场的场源（电荷）是电场线的源头或尾闾激发静电场的场源（电荷）是电场线的源头或尾闾，所以静电场是属于发散式的场，可称作，所以静电场是属于发散式的场，可称作有源场有源场；而磁场的磁感线无头无尾，恒是闭合的，所以而磁场的磁感线无头无

3、尾，恒是闭合的，所以磁场磁场可称作无源场可称作无源场。1. 1. 长直电流的磁场长直电流的磁场I 在恒定电流的磁场中，磁感应强度在恒定电流的磁场中，磁感应强度 B 矢量沿任矢量沿任一闭合路径一闭合路径 L的线积分（即环路积分）的线积分（即环路积分）, ,等于什么等于什么? ? 在垂直于导线的平面内在垂直于导线的平面内任任作的环路上取一点，到电流的作的环路上取一点，到电流的距离为距离为r r，磁感应强度的大小：，磁感应强度的大小：rIB20由几何关系得：由几何关系得：dcosdrlLLlBdcosdlBLBr dI0d2200rrILddl200d2IorPBBIlBlBLLd)cos(dlBL

4、dcosI0d2200I 如果沿同一路径但如果沿同一路径但改变绕改变绕行方向行方向积分：积分：结果为负值！若认为电流为若认为电流为-I -I 则结果可写为则结果可写为 L LorPBBIddrIlBL0dLLllBlB)d(dd/dcosd90coslBlBLLI0LBr d0d2200rrI 如果闭合曲线如果闭合曲线不在垂直于不在垂直于导线的平面内：导线的平面内：结果一样！I/drdrdrLIlBlBlBLLLddd210)dd(2210LLI结果为零！ 表明：表明：闭合曲线不包围电流时，磁感应强度矢闭合曲线不包围电流时，磁感应强度矢量的环流为零。量的环流为零。环路不包围电流环路不包围电流O

5、Q2LP1LB 在磁场中，沿任一闭合曲线在磁场中，沿任一闭合曲线 矢量的线积矢量的线积分（也称分（也称 矢量的环流），等于真空中的磁导矢量的环流），等于真空中的磁导率率 0乘以乘以穿过以这闭合曲线为边界所张任意曲穿过以这闭合曲线为边界所张任意曲面的各恒定电流的代数和。面的各恒定电流的代数和。BIlBL0d安培环路定理安培环路定理 电流电流I的正负规定：的正负规定：积积分路径的绕行方向与电流分路径的绕行方向与电流成右手螺旋关系时，电流成右手螺旋关系时，电流I为正值；反之为正值；反之I为负值。为负值。I I为负值为负值II I为正值为正值I绕行方向绕行方向上述结论虽是从长直载流导线磁场得来，却具普

6、遍性上述结论虽是从长直载流导线磁场得来，却具普遍性B空间所有电流共同产生的磁场空间所有电流共同产生的磁场在场中任取的一闭合线，任在场中任取的一闭合线，任意规定一个绕行方向意规定一个绕行方向Ll dL L上的任一线元上的任一线元I空间中的电流空间中的电流I环路所包围的所有电流的代数和环路所包围的所有电流的代数和物理意义：物理意义：dlrLI31I2IIlBL0d几点注意：几点注意： 环流虽然仅与所围电流有关，但磁场却是所环流虽然仅与所围电流有关，但磁场却是所 有电流在空间产生磁场的叠加。有电流在空间产生磁场的叠加。任意形状稳恒电流，安培环路定理都成立。任意形状稳恒电流，安培环路定理都成立。 安培

7、环路定理仅仅适用于恒定电流产生的恒安培环路定理仅仅适用于恒定电流产生的恒 定磁场，恒定电流本身总是闭合的，因此定磁场，恒定电流本身总是闭合的，因此安安 培环路定理仅仅适用于闭合的载流导线。培环路定理仅仅适用于闭合的载流导线。 静电场的高斯定理说明静电场为有源场，环静电场的高斯定理说明静电场为有源场，环 路定理又说明静电场无旋；稳恒磁场的环路路定理又说明静电场无旋；稳恒磁场的环路 定理反映定理反映稳恒磁场稳恒磁场有旋有旋，高斯定理又反映，高斯定理又反映稳稳 恒磁场恒磁场无源无源。0 l dE静电场静电场稳恒磁场稳恒磁场 iiIl dB0 0 SSdB iSqSdE01 磁场没有保守性，它是磁场没

8、有保守性，它是非保守场，或无势场非保守场，或无势场电场有保守性，它是电场有保守性，它是保守场，或有势场保守场，或有势场电力线起于正电荷、电力线起于正电荷、止于负电荷。止于负电荷。静电场是有源场静电场是有源场 磁力线闭合、磁力线闭合、无自由磁荷无自由磁荷磁场是无源场磁场是无源场无旋无旋有旋有旋(1)(1)分析磁场的对称性；分析磁场的对称性；(2)(2)过场点选择适当的路径，使得过场点选择适当的路径，使得 沿此环路的积沿此环路的积 分易于计算：分易于计算： 的量值恒定，的量值恒定， 与与 的夹角处处相的夹角处处相等；等；BBBld(3)(3)求出环路积分；求出环路积分；(4)(4)用右手螺旋定则确

9、定所选定的回路包围电流的用右手螺旋定则确定所选定的回路包围电流的正负，最后由磁场的安培环路定理求出磁感应强正负，最后由磁场的安培环路定理求出磁感应强度度 的大小。的大小。B应用安培环路定理的解题步骤：应用安培环路定理的解题步骤：1.1.长直圆柱形载流导线内外的磁场长直圆柱形载流导线内外的磁场 设圆柱电流呈轴对称分布，设圆柱电流呈轴对称分布，导线可看作是无限长的，磁场对导线可看作是无限长的，磁场对圆柱形轴线具有对称性。圆柱形轴线具有对称性。rBlB2d当当Rr IrB02rIB20长圆柱形载流导线外的磁场与长圆柱形载流导线外的磁场与长直载流导线激发的磁场相同长直载流导线激发的磁场相同！BroRI

10、QrIBRrBPrBlB2d 当当 ，且电流均匀，且电流均匀分布在圆柱形导线表面层时分布在圆柱形导线表面层时 Rr 02rB0B 当当 ，且电流均匀，且电流均匀分布在圆柱形导线截面上时分布在圆柱形导线截面上时 Rr 2202rRIrB202RIrB在圆柱形载流导线内部，磁感应在圆柱形载流导线内部，磁感应强度和离开轴线的距离强度和离开轴线的距离r r成正比成正比！BroRIQrIBRrBP电场、磁场中典型结论的比较电场、磁场中典型结论的比较rIB 20 rE02 202 RIrB 202RrE 0 E0 B外外内内内内外外rE02 rIB 20 rE02 rIB 20 长直圆柱面长直圆柱面电荷均

11、匀分布电荷均匀分布电流均匀分布电流均匀分布长直圆柱体长直圆柱体长直线长直线 对称性分析螺旋管内为均匀场对称性分析螺旋管内为均匀场 , 方向沿轴向方向沿轴向, 外外部磁感强度趋于零部磁感强度趋于零 ，即，即 .0B2.2.载流长直载流长直密绕密绕螺线管内的磁场螺线管内的磁场PbadcPbafeL(D)DnIBab0 轴线：轴线：nIBdc0 管内：管内：0 feB管外：管外：dacdbcablBlBlBlBlBddddd0BI 设螺线管长度为设螺线管长度为l, ,共有共有N匝。匝。lBdlBdlBabdabBnIab0nIB0IlN0Pbadc3.3.载流螺绕环内的磁场载流螺绕环内的磁场 设环上

12、线圈的总匝数为设环上线圈的总匝数为N，电流为电流为I。LLlBlBddrB2NI0rNIB200BnIm=lB/drrr12P1r2rO无限大载流薄板看作无限无限大载流薄板看作无限长载流导线密排：导线中长载流导线密排：导线中电流强度电流强度 I；单位长度导线；单位长度导线匝数匝数nI分析对称性分析对称性磁力线如图磁力线如图作积分回路如图作积分回路如图ab、cd与导体板等距与导体板等距Bddabc.4. 无限大载流导体薄板的磁场分布无限大载流导体薄板的磁场分布 baBdll dB0cos cbBdl2cos 计算环流计算环流 adBdl2cos dccosBdl0cdBabB abB 2Iabn

13、l dB 0 20nIB 板上下两侧为均匀磁场板上下两侧为均匀磁场利用安培环路定理求利用安培环路定理求Bdabc. 两两板板之之间间两两板板外外侧侧nIB00 讨论讨论：如图，两块无限大载流导体薄板平行放置。：如图，两块无限大载流导体薄板平行放置。 通有相反方向的电流。求磁场分布。通有相反方向的电流。求磁场分布。已知：导线中电流强度已知：导线中电流强度 I、单位长度导线匝数、单位长度导线匝数n .20nIB 习题习题1 均匀磁场均匀磁场B的方向与半径为的方向与半径为r的圆形平面的法线的圆形平面的法线n的夹角为的夹角为 （如图），（如图），今以圆周为边线作一半球面今以圆周为边线作一半球面S, S

14、与圆形平面组成封闭曲面。则通过与圆形平面组成封闭曲面。则通过S面的磁通面的磁通量为量为 rnBSBr2 Br22 sin2Br cos2Br (A) (B)(C)(D)习题习题2 如图示载流导线，电流如图示载流导线，电流I由由a点进入圆形导线，又从点进入圆形导线，又从b点流出，则点流出，则o点磁点磁感应强度大小为感应强度大小为 ，方向为，方向为 。oRIIab习题习题3 半径为半径为R的均匀带电半圆弧，带电量为的均匀带电半圆弧，带电量为Q，以角速度，以角速度绕轴绕轴OO转动（如转动（如图），求图），求O点点B。 OOR习题习题4 一长为一长为L均匀带电为均匀带电为Q的细杆以速度的细杆以速度v 沿沿X轴正向运动，当细杆运动至与轴正向运动，当细杆运动至与Y轴重合位置时，细杆下端点与坐标原点相距为轴重合位置时，细杆下端点与坐标原点相距为a（如图示）。求（如图示）。求O点点B