二元函数的极值(1)

1、2021-11-111无穷级数 第七章第七章7.1 7.1 无穷级数的概念和性质无穷级数的概念和性质7.2 正项级数正项级数7.3 任意项级数任意项级数7.4 幂级数幂级数7.5 函数的幂级数展开函数的幂级数展开2021-11-1127.1无穷级数的概念和性质 一、无穷级数的概念一、无穷级数的概念 二、无穷级数的基本性质二、无穷级数的基本性质 2021-11-1137.1.1 基本概念 引例引例. 用圆内接正多边形面积逼近圆面积.依次作圆内接正),2, 1,0(23nn边形, 这个和逼近于圆的面积 A .0a1a2ana设 a0 表示,时n即naaaaA210内接正三角形面积, ak 表示边数

2、增加时增加的面积, 则圆内接正边形面积为n232021-11-114定义：给定一个数列,321nuuuu将各项依,1nnu即1nnunuuuu321称上式为无穷级数， 其中第 n 项nu叫做级数的一般项级数的前 n 项和nkknuS1称为级数的部分和.nuuuu321次相加, 简记为(或通项)，2021-11-1151nnuS当级数收敛时, 称差值21nnnnuuSSR为级数的余项余项.,lim不存在若nnS则称无穷级数发散发散 .显然0limnnR,lim存在若SSnn则称无穷级数收敛收敛 , 并称 S 为级数的和和, 记作2021-11-116., 011211称为级数的公比等比级数，此级

3、数称为几何级数或的敛散性，其中讨论级数例qaqaqaqaaqannn1211nnqaqaqaaSq时，部分和）当（解qqaqqaann111）（.11lim, 1qaqaSqnn为，从而级数收敛，其和则若.lim, 1，从而级数发散则若nnSq2021-11-117.,lim, 0, 112从而级数发散所以由于这时则级数成为时，若）当（nnnSanaSaaaaqq.,lim, 0.0,) 1(, 11从而级数发散不存在所以由于为偶数，为奇数这时则级数成为若nnnnSannaSaaaaq.1;11,11时发散当时收敛，其和为当综上所述，几何级数qqaqaqnn2021-11-118.224212

4、1111散的几何级数，故级数发为公比，级数根据例qnnn.41313) 1(811271913131) 1(111敛，其和为的几何级数，故级数收为公比级数qnnnnn2021-11-119例2. 判别下列级数的敛散性判别下列级数的敛散性:1111(1)ln; (2). (21)(21)nnnnnn解解: (1) 12lnnSnnln) 1ln()2ln3(ln) 1ln2(ln) 1ln( n）n(23ln34lnnn1ln所以级数 (1) 发散 .2021-11-1110(2) 11111 33 55 7(21) (21)nSnn11123111221n1(2n ）1135115711212

5、1nn.21所以级数收敛，其和为)121121(21) 12)(12(1nnnn利用2021-11-1111.131211131此级数称为调和级数发散证明级数例nnn) 10( ,1ln) 1ln( 1,lnnnnnnxy所以有理的条件，上满足拉格朗日中值定在证明：由于).1ln()ln) 1(ln()3ln4(ln)2ln3(ln) 1ln2(ln131211.ln) 1ln(1nnnnSnnnn于是故.,lim所以，调和级数发散从而nnS2021-11-11127.1.2无穷级数的性质 性质性质1. 若级数1nnu收敛于 S ,1nnuS则各项乘以常数 c 所得级数1nnuc也收敛 ,证证

6、: 令,1nkknuS则nkknuc1,nScnnlimSc这说明1nnuc收敛 , 其和为 c S . nnSclim说明说明: 级数各项乘以非零常数后其敛散性不变 .即其和为 c S .2021-11-1113性质2. 设有两个收敛级数设有两个收敛级数,1nnuS1nnv则级数)(1nnnvu 也收敛, 其和为.S证证: 令,1nkknuS,1nkknv则)(1knkknvu nnS)(nS这说明级数)(1nnnvu 也收敛, 其和为.S2021-11-1114说明说明:(2) 若两级数中一个收敛一个发散 , 则)(1nnnvu 必发散 . 但若二级数都发散 ,)(1nnnvu 不一定发散

7、.例如例如, ,) 1(2nnu取,) 1(12 nnv0nnvu而(1) 性质2 表明收敛级数可逐项相加或减 .(3)性质反之不成立.2021-11-1115证证: 设收敛级数,1nnuS若按某一规律加括弧,)()(54321uuuuu则新级数的部分和序列 ), 2 , 1(mm为原级数部分和序列 ),2,1(nSn的一个子序列,nnmmS limlimS推论推论: 若加括弧后的级数发散, 则原级数必发散.注意注意: 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.,0) 11 () 11 (但1111因此必有例如，例如发散.3且和不变敛，括号后所得的级数也收若级数收敛，则任意加性质2021-11-1

8、116证证: 将级数1nnu的前 k 项去掉,1nnku的部分和为nllknu1knkSSnknS与,时由于n数敛散性相同. 当级数收敛时, 其和的关系为.kSS 类似可证前面加上有限项的情况 .极限状况相同, 故新旧两级所得新级数.4级数的敛散性不变改变有限项，在级数中去掉、加上或性质2021-11-1117例4. 判断级数的敛散性判断级数的敛散性:141141131131121121解解: 考虑加括号后的级数)()()(1411411311311211211111nnan12nnna2发散 ,从而原级数发散 .nn1212021-11-1118性质5 （级数收敛的必要条件） 设收敛级数,1

9、nnuS则必有.0limnnu证证: 1nnnSSu1limlimlimnnnnnnSSu0SS可见: 若级数的一般项不趋于若级数的一般项不趋于0 , 则级数必发散则级数必发散 .例如例如,1) 1(544332211nnn其一般项为1) 1(1nnunn不趋于0,因此这个级数发散.nun,时当2021-11-1119注意:0limnnu并非级数收敛的充分条件.例如例如, 调和级数nnn13121111虽然，01limlimnunnn但此级数发散 .2021-11-1120.0511）为常数且（其中数是否收敛都收敛，试说明下列级和设级数例kkvunnnn12111001)4()()3()()2

10、() 1 (nnnnnnnnnuvukuku.1111收敛知，为常数，由性质收敛，）由于（解nnnnkuku.)(lim)(limlim.S)()()()(21121n211发散不存在。故不存在，所以存在，因项部分和的前是级数其中，项部分和的前）（kuWnkSnuuuunkSkukukuWnkunnnnnnnnnnnnnnn2021-11-1121.)(4)(,)()3(22111收敛知，由性质去掉第一项得级数收敛都收敛，故和由于级数nnnnnnnnnnnnnvuvuvuvu.1001, 010011001lim, 0lim5)4(11发散所以，级数而知，收敛，由性质因为nnnnnnnnuuuu2021-11-1122. )311()4(; )3121() 3(;001. 0)2(;3cos1.1111nnnnnnnnnn）（敛散性练习：判别下列级数的2021-11-1123nnn231