北邮数学物理方法2-2

1、2-2 二维二维Laplace方程的定解问题方程的定解问题n不含时间的问题：稳定场，如静电场不含时间的问题：稳定场，如静电场q拉普拉斯方程拉普拉斯方程齐次齐次q泊松方程泊松方程非齐次非齐次n特点：定解条件全是边界条件，没有初始条件特点：定解条件全是边界条件，没有初始条件n本节讨论齐次方程：拉普拉斯方程本节讨论齐次方程：拉普拉斯方程q边界条件不能都是齐次的边界条件不能都是齐次的q要有足够的齐次边界条件，以便分离变量要有足够的齐次边界条件，以便分离变量q可以借助叠加原理，将边界条件化为所需要的形式可以借助叠加原理，将边界条件化为所需要的形式一一求解矩形域的拉普拉斯方程求解矩形域的拉普拉斯方程20,

2、(0;0)xxyyuuuxayb000,;0,0.xx ayyyy buuAyuu使其满足边界条件使其满足边界条件解：解： 令令)()(),(yYxXyxu代入式代入式(2.2.1)，得，得 (2.2.1)(2.2.2)(2.2.3)0)()( xXxX(2.2.4)0)()( yYyY(2.2.5)( ) ( )( )( )0Xx Y yX x Yy( )( )0( )( )XxYyX xY y令令( )( )( )( )XxYyX xY y 可得：可得：由边界条件由边界条件(2.2.3)00,0yyyy buu得：得：0)()0(bYY(2.2.6)本征值问题：本征值问题：0)()( yY

3、yY0)()0(bYY(2.2.5)(2.2.6)（1）当）当 时，式时，式(2.2.5)的通解为：的通解为：0yyeCeCyY21)(由式由式(2.2.6)有：有：021CC021bbeCeC由此得：由此得：021 CC即式即式(2.2.5)、(2.2.6)无非零解。无非零解。( )(0)( )( )0X x YX x Y b所以所以0)()( yYyY0)()0(bYY(2.2.5)(2.2.6)（2）当）当 时，式时，式(2.2.5)的通解为：的通解为：001)(AyAyY从而从而1)(AyY由由 可得：可得：(0)( )0YY b10A 故得故得00( )Y yA（常数）（常数）（3）

4、当）当 时，式时，式(2.2.5)的通解为：的通解为：0yByAyYsincos)(0cossin)(yByAyY从而从而由由 得：得：0)0(Y0B 由由 得：得：0)( bY0sinbA故有故有nb 或0即即222(1,2,).nnb综合综合 和和 两种情况，可知：两种情况，可知：00本征值为：本征值为：), 2 , 1 , 0(222nbn本征函数为：本征函数为：), 2 , 1 , 0(cos)(nybnAyYnn0)()( xXxX将将 的值代入式的值代入式(2.2.4)：解得解得0000XCD xn), 2 , 1()(neDeCxXbxnnbxnnn故问题的一般解为：故问题的一般

5、解为：0000XCD x0( )cos(1,2,)nnnYyAynb), 2 , 1()(neDeCxXbxnnbxnnn001001( , )( )( )( )( )cos.nnnn xn xbbnnnu x yXx Y yXx YynCD xC eD eyb00( )Y yA由边界条件由边界条件 得：得：00 xu0cos10bynDCCnnn0cos10bynDCCnnn一个无穷级数等于零，说明各项系数均为零。一个无穷级数等于零，说明各项系数均为零。因此：因此：00,0(1,2,).nnCCDn又由又由 得：得：AyuaxAyybneDeCaDnbannbanncos10将将 展开成展开

6、成Fourier余弦级数，并比较系数有：余弦级数，并比较系数有：Ay221221200AbbbAAydybaDb由此得：由此得：aAbD2022022cos(cos1)n an abbbnnn yAbC eD eAydynbbn000, 0(1,2,).2nnAbCDCDna22022cos(cos1)n an abbbnnn yAbC eD eAydynbbn解得：解得：2222(cos1),(cos1)(1,2,)nnAbnCn anshbAbnDnn anshb代入式代入式(2.2.7)得问题的解为：得问题的解为：bynbxnshbanshnnAbxaAbyxuncos1cos22),(

7、122注意：采用分离变量法求解时，用齐次边界条件构成本征值问题，用非注意：采用分离变量法求解时，用齐次边界条件构成本征值问题，用非齐次边界条件定叠加系数。齐次边界条件定叠加系数。二二求解圆形域的拉普拉斯方程求解圆形域的拉普拉斯方程例：带电云与大地之间的静电场近似匀强静电场，其电场强度例：带电云与大地之间的静电场近似匀强静电场，其电场强度 是是铅垂的水平架设的输电线处在这个静电场中输电线是导体圆铅垂的水平架设的输电线处在这个静电场中输电线是导体圆柱柱面由于静电感应出现感应电荷，圆柱附近的静电场也就不再是柱柱面由于静电感应出现感应电荷，圆柱附近的静电场也就不再是匀强的了不过，离圆柱匀强的了不过，离

8、圆柱“无限远无限远”处的静电场仍保持匀强，现研究处的静电场仍保持匀强，现研究导体圆柱怎样改变了匀强静电场（即讨论导线附近的电场分布）导体圆柱怎样改变了匀强静电场（即讨论导线附近的电场分布）0E解：解：导线导线z建立如图所示坐标系，建立如图所示坐标系，Z-轴沿导线。轴沿导线。X轴平行轴平行由于导线无限长，可将电场看作沿由于导线无限长，可将电场看作沿z 方向不变。方向不变。只需要研究只需要研究 x-y 平面的状态平面的状态 ，平面问题平面问题。真空静电势满足拉普拉斯方程：真空静电势满足拉普拉斯方程：02222yuxu边界条件从云、地、导线三方面考虑。边界条件从云、地、导线三方面考虑。导线的表面是等

9、势面，取其为电势导线的表面是等势面，取其为电势零点零点0222ayxua为导线半径为导线半径云、地在无穷远处，静电场仍为云、地在无穷远处，静电场仍为 ，uE220( , )xyu x yxE 0Ex0uEx0E由由 有有由于由于X轴平行轴平行 ，有，有 0E00,yxEEE所以所以根据导线边界条件，本题应取平面极坐标，根据导线边界条件，本题应取平面极坐标， ，坐标原点在导线，坐标原点在导线中心。中心。),(定解问题：定解问题：01122222uuu方程方程定解条件定解条件0au0( , )cosuE 用分离变量法求解。用分离变量法求解。令令)()(),( Ru代入方程，得代入方程，得20RRR

10、两边除以两边除以u，乘以，乘以 得：得：20RRRR令：令：2RRRR 得到：得到：0 20RRR自然周期边界条件：自然周期边界条件：),()2,(uu得：得：)()2(220RRR0,(2 )( ) 本征值问题：本征值问题：0微分方程的通解是微分方程的通解是: ( )AeBe 不具周期性，所以舍去。不具周期性，所以舍去。1） 2） 微分方程的通解是微分方程的通解是: 0( )ABB=0时具周期性。时具周期性。微分方程的通解是微分方程的通解是: ( )cossinAB3） 0以以 为周期，所以取为周期，所以取22, 1,2.mm0, 本征函数为：本征函数为：0( )cossin (0)( )

11、(0)mmmAmBmmAm本征值为：本征值为：2,0,1,2,mm将这个结果代入到关于将这个结果代入到关于R的方程：的方程：Euler方程方程)()2(本征值问题：本征值问题：得：得：20RRR220RRm REuler方程的一般形式：方程的一般形式：( )1(1)110.0nnnnnna x yaxya xya y变系数的线性微分方程，变系数的线性微分方程，导数的阶数与系数的幂数相同导数的阶数与系数的幂数相同。2( )( )0R tm R t通解为：通解为：( ), (0)mtmtmmmRtC eD em000( ), (0)R tCD tmtdRdR ddRdRedtddtdd有：有：22

12、222d RddRddRd RdtdddtddEuler方程可化为：方程可化为：变回原来的变量变回原来的变量 ，可得：，可得：( ), (0)mmmmmRCDm000( )lnRCD220RRm R对对Euler方程做变量变换：方程做变量变换：te解法：通过变换化为常系数线性微分方程解法：通过变换化为常系数线性微分方程二阶常系数线性齐次二阶常系数线性齐次mBmAmmmsincos)( ), (0)mmmmmRCDm000( )lnRCDln),(000DCummmmmmmDCmBmAu1)sincos(),(所以所以叠加得到一般解：叠加得到一般解：001( , )lncossinmmmmmmm

13、uCDCDAmBm 由边界条件定常数。由边界条件定常数。当当 时，有时，有a0010ln()(cossin)mmmmmmmCDaC aD aAmBm由此得：由此得：0010ln()(cossin)mmmmmmmCDaC aD aAmBm0ln00aDC即：即：aDCln00以及：以及：0mmmmaDaC即：即：mmmaDC2代入一般解：代入一般解：2011( , )ln(cossin)mmmmmmuDAmBmaa 001( , )lncossinmmmmmmmuCDCDAmBm 得：得：令令 ，略去，略去 和和 项后，得：项后，得：m1aln01lim(cossin)cosmmmmAmBmE

14、再由边界条件再由边界条件0( , )cosuE 比较等式两边的系数，有：比较等式两边的系数，有：10,0(1),mAEAm 0(1,2,)mBm于是得到导体周围的电势分布于是得到导体周围的电势分布2000( , )lncoscosauDEEa 代入代入2011( , )ln(cossin)mmmmmmuDAmBmaa 01lim(cossin)cosmmmmAmBmE 上式中间项为原来静电场的电势分布，上式中间项为原来静电场的电势分布，前面的一项与导体原来的带电量有关，如果导体不带电，则前面的一项与导体原来的带电量有关，如果导体不带电，则 ，这，这时圆柱周围的电势是时圆柱周围的电势是00D 2

15、00( , )coscos .auEE 最后一项当最后一项当 时可以忽略，它代表在导体附近对匀强电场的修正，是柱时可以忽略，它代表在导体附近对匀强电场的修正，是柱面感应电荷的影响。面感应电荷的影响。200( , )coscos .auEE 注：注：1.边界条件决定坐标系边界条件决定坐标系 2. 自然边界条件自然边界条件 3. 欧拉方程求解欧拉方程求解 4.模型应用模型应用A、B两点场强：两点场强：2,00,20,0,0coscos 2aauaEEEE 易击穿！场强大小与半径无关。易击穿！场强大小与半径无关。y轴上场强：轴上场强：200222coscos 0uaEEE 高压电容器极板必须刨得十分

16、光滑！高压电容器极板必须刨得十分光滑！n无初始条件的例子：长为无初始条件的例子：长为l的理想传输线，一端接于电动的理想传输线，一端接于电动势为势为 的交流电源，另一端短路，求解线上的稳的交流电源，另一端短路，求解线上的稳恒电振荡。恒电振荡。tvsin0解：经历交流电的许多周期后解：经历交流电的许多周期后,初始条件所引起的自由振荡衰减到可以初始条件所引起的自由振荡衰减到可以认为已经消失，这时的电振荡完全是由交流电源引起的，因此是没有初认为已经消失，这时的电振荡完全是由交流电源引起的，因此是没有初始条件的问题：始条件的问题：200100,0 , ,0.ttxxi txx lua uxl taLCu

17、v eu为了计算方便，将电动势为了计算方便，将电动势 写成写成 最后将得到的解取虚部。最后将得到的解取虚部。tvsin00i tv e(1)i 其中由于振荡完全由交流电源引起，可以认为振荡的周期与交流电源相同，由于振荡完全由交流电源引起，可以认为振荡的周期与交流电源相同，即令：即令：( , )( )i tu x tX x e代入方程代入方程20ttxxua u得：得：22()( )( )0i ti tieX xa Xx e即：即：2( )( )0XxX xa其通解为：其通解为：( )ixixaaX xAeBe因此，方程的一般解为：因此，方程的一般解为：( , )ixixi taau x tAeBee( , )ixixi taau x tAeBee下面由边界条件定常数。下面由边界条件定常数。由由 ，得：，得：00i txuv e0vBA再由再由 ，得：，得：0lxu0ililaaAeBe解出解出A和和B，有：，有：002002,2sin1.2sin1ilailailailaviv eAleaviv eBlea 代入到解的表达式，得：代入到解的表达式，得：( , )ixixi taau x tAeBee()()00sin()( , ).2 sinsinix lix li taai tvlxv ee