微积分复习参考资料

1、微积分复习参考资料使用前请详细阅读第 10 页的“使用指南” 授课教师：杨 峰（省函授总站高级讲师）第一章 函数一、据定义用代入法求函数值：典型例题：综合练习第二大题之 2二、求函数的定义域： （答案只要求写成不等式的形式，可不用区间 表示）对于用数学式子来表示的函数， 它的定义域就是使这个式子有意 义的自变量 x 的取值范围（集合）主要根据： 分式函数：分母 0 偶次根式函数：被开方式 0 对数函数式：真数式 0 反正（余）弦函数式：自变量 1在上述的函数解析式中， 上述情况有几种就列出几个不等式组成不等式组解之。典型例题：综合练习第二大题之 11补充：求 y= 2 x 的定义域。（答案：

2、2 x ）1 2x 2三、判断函数的奇偶性： 典型例题：综合练习第一大题之 3、4第二章 极限与连续求极限主要根据：sin xlixm0 x 1lixm 1 1x x e1、常见的极限：1lim x 0（ 0） xx2、利用连续函数：lim f (x) f (x0 ) x x0初等函数在其定义域上都连续。例：1lixm1 1x 13、求极限f(x) 1lixm g(x) 1的思路：lim f(x) 0C1(C1 0常数)xlixm0g(x) C2(C2 0常数 )可考虑以下 9 种可能： 00型不定式（用罗彼塔法则）=0C2 0 =0 C1 =0CC12C1C1 =0 = C2 型不定式（用罗

3、彼塔法则）特别注意：对于 f（ x）、g（ x）都是多项式的分式求极限时，解法见 教材 P70 下总结的“规律”。以上解法都必须贯穿极限四则运算的法则！典型例题：综合练习第二大题之 3、4；第三大题之 1、3、 5、 7、 8补充1：sin 2(x 1) 1，则 a= 2 ，若 lixm1 x2 ax bb= 1x 1 2x补充2：lixm x 1x121 x1x1e2补充3：1linm 1 3 3 512limn115712n 1 21 1 1 1 1(2n 1)(2n 1) lnim 23 3 5112n 1 2n 1补充4：ln xlimx1x10型10limx 1 1x 1此题用了“罗

4、彼塔法则” ）第三章 导数和微分一、根据导数定义验证函数可导性的问题： 典型例题：综合练习第一大题之 12二、求给定函数的导数或微分： 求导主要方法复习：1、求导的基本公式：教材 P1232、求导的四则运算法则：教材 P110 1113、复合函数求导法则（ 最重要的求导依据 ）4、隐函数求导法（包括对数函数求导法） 6、求高阶导数（最高为二阶） 7、求微分： dy=y/ dx 即可 典型例题：综合练习第四大题之 1、2、7、9 补充：设 y= x2 1 （ arctgx） 2 ，求 dy. 解： y 1 1 2 2x 2arctgx 1 2 2arctgxdy=y dx （ 1 x2 1 x2

5、 ）dx 2 2arctg2x2 1 x21 x2 1 x2 1 x2第四章 中值定理，导数的应用一、关于罗尔定理及一些概念关系的识别问题： 典型例题：综合练习第一大题之 16、19 二、利用导数的几何意义，求曲线的切、法线方程 ： 典型例题：综合练习第二大题之 5 二、函数的单调性（增减性）及极值问题： 典型例题：综合练习第一大题之 18，第二大题之 6，第六大题之 2第五章 不定积分第六章 定积分 理论内容复习： 1、原函数： F (x) f (x)则称 F(x)为 f(x)的 一个原函数。 2、不定积分：概念： f(x)的所有的原函数称 f (x)的不定积分。 f(x)dx F(x) C

6、 注意以下几个基本事实：f (x)dx f (x)f (x)dx f (x) Cd f(x)dx f (x)dxdf(x) f (x) C性质： a f (x)dx a f ( x)dx(注意a 0)f(x) g( x) dx f (x)dx g( x)dx 基本的积分公式：教材 P2063、定积分：定义几何意义 性质：教材 P234235 性质 13 求定积分方法：牛顿莱布尼兹公式 习题复习：一、关于积分的概念题： 典型例题：综合练习第一大题之 22、24、25、第二大题之 11、14二、求不定积分或定积分：可供选用的方法有直接积分法：直接使用积分基本公式换元积分法：包括第一类换元法（凑微分

7、法） 、第二类换元法分部积分法典型例题：综合练习第五大题之 2、 3、 5、6关于“换元积分法”的补充题一：dx2x 112x 1d(2x 1)1ln 2x 1 C2关于“换元积分法”的补充题二：解：设 x 3=t2，即 x 3 =t，则 dx=2tdt.2 xdx = (t2 3) 2t dt=2 1 t21 6t Cx 3 t 2 1= 2t3 6t C =2( x 3)3 6 x 3 C33关于“换元积分法”的补充题三：8 dx01 3 x解：设 x=t3，即 3 x t ，则 dx=3t2dt. 当 x=0 时， t=0 ； 当 x=8 时， t=2.所以8 dx0 1 3 x =2

8、3t 2dt0 1 t02 3(t 1) 30 1 tdt 3 1 (t 1)2 ln1 t=3ln3，即变量此题为定积分的第二类换元积分法，注意“换元必换限”x 换成变量 t 后，其上、下限也从 0、 8 变为 0、 2）关于“分部积分法”的补充题一：xexdxxdex xexexdx ( x 1)ex C关于“分部积分法”的补充题二：112arctgxdx xarctgx x 2 dx arctgxln 1 x C1 x2关于“分部积分法”的补充题三：ex ln xdx1= 1 ln xdx2 12 1 2x2 ln xeex2d lnx112x 2 ln xe e1xdx e1 122

9、1 2ex21 (e2 1 e2 1) 1 (e2 1)2 2 2 4此题为定积分的分部积分法）三、定积分的应用（求曲线围成的平面图形面积） ： 典型例题：综合练习第六大题之 4 注意：此题若加多一条直线 y=3x ，即求三线所围平面图形的面积， 则解法为（草图略）1 3 2 33 （平方单位） 3 2 S= (3x x)dx (3x x2 )dx= 2xdx (3x x 2)dx=2 12 x213 x2 1x3023=1 2 9 3 27 2 3使用指南本 复习参考资料 应当与人手一册的综合练习题 配套使用并服从于 综合练习题 。另外， 请注意如下几点：本 复习参考资料 中的蓝色字体的“补 充”题是以往年级的部分应试复习题，对今年 9 月份考试的同志来说，仅仅作为参考补充。 综合练习题是我们复习重点中的重点 ，请 对照答案将 所有题目完整地做一遍（使题目与 答案相结合而不要相分离，以便需要时加快查 找的速度和准确度） 。 请将上述做好的