卿卿系列空间直角坐标系

1、4.3 空间直角坐标系4.3.1 空间直角坐标系x0数轴上的点可以用数轴上的点可以用唯一的一个实数表示唯一的一个实数表示- -1- -2123AB数轴上的点是如何表示的？数轴上的点是如何表示的？平面中的点可以用平面中的点可以用有序实数对有序实数对(x(x，y)y)来表示点来表示点xyPOxy(x,y)平面坐标系中的点是如何表示的？平面坐标系中的点是如何表示的？yOxz在教室里同学们的位置坐标怎样确定？在教室里同学们的位置坐标怎样确定？1.1.空间直角坐标系的建立空间直角坐标系的建立. .2.2.空间直角坐标系的划分空间直角坐标系的划分. .3.3.空间点的坐标空间点的坐标. .（重点、难点重点

2、、难点）4.4.特殊位置的点的坐标特殊位置的点的坐标. .（难点难点）5.5.空间点的对称问题空间点的对称问题. .一、空间直角坐标系的建立一、空间直角坐标系的建立以单位正方体以单位正方体OABC-DABC OABC-DABC 的顶点的顶点O O为原点，分别以射线为原点，分别以射线OAOA，OCOC，ODOD的方向为正方向，以线的方向为正方向，以线段段OAOA，OCOC，ODOD的长为单位长，的长为单位长，建立三条数轴：建立三条数轴：x x轴轴,y,y轴轴,z,z轴轴, ,这时我们说建立了一这时我们说建立了一个空间直角坐标系个空间直角坐标系OxyzOxyz，CCDDBBAAC CO OA Ay

3、 yz zx xB B O O为坐标原点，为坐标原点， x x轴轴,y,y轴轴, ,z z轴叫坐标轴，通过每两个轴叫坐标轴，通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为分别称为xOyxOy平面、平面、yOzyOz平面、平面、zOxzOx平面平面. .CCDDBBAAC CO OA Ay yz zx xB BxyzO二、右手直角坐标系二、右手直角坐标系在空间直角坐标系中，让在空间直角坐标系中，让右手拇指指向右手拇指指向x x轴的正方轴的正方向，食指指向向，食指指向y y轴的正方轴的正方向，如果中指能指向向，如果中指能指向z z轴轴的正方向，则称这个坐标的正方向，则称这个坐标

4、系为右手直角坐标系系为右手直角坐标系. .XYZo ox xy yz z1.x1.x轴与轴与y y轴、轴、x x轴与轴与z z轴均成轴均成135135, ,而而z z轴垂直于轴垂直于y y轴轴1351351351352.y2.y轴和轴和z z轴的单位长度相同，轴的单位长度相同，x x轴上的单位长度为轴上的单位长度为y y轴轴( (或或z z轴轴) )的单位长度的一半的单位长度的一半三、空间直角坐标系的画法三、空间直角坐标系的画法zOx面面xOy面面yOz面面zxyO空间直角坐标系共有空间直角坐标系共有八个卦限八个卦限四、空间直角坐标系的划分：四、空间直角坐标系的划分：M如图所示，设点如图所示，

5、设点为空间一定点，过点为空间一定点，过点M M分别作垂直于分别作垂直于xyz、 、PQR、 、 ，轴的平面，交点依次为轴的平面，交点依次为PQR、 、xyz、 、设点设点在在轴上的坐标分别为轴上的坐标分别为,xyz、 、M那么点那么点就对应唯一确定的有序实数组就对应唯一确定的有序实数组( , , ).x y z五、空间直角坐标系中的坐标五、空间直角坐标系中的坐标.yxzpQORMM( , , ),x y z反过来，给定有序实数组反过来，给定有序实数组我们可以在我们可以在确定的点确定的点M.M. ,PQR、 、轴上分别取坐标为实数轴上分别取坐标为实数的点的点, ,x y z, ,x y z分别过

6、这三点各作一个平面，分别垂直于分别过这三点各作一个平面，分别垂直于, ,x y z轴，这三个平面的唯一交点就是有序实数组轴，这三个平面的唯一交点就是有序实数组( , , )x y zyxzpQORMM( , , )x y z这样，空间一点这样，空间一点M M的坐标可以用有序实数组的坐标可以用有序实数组, ,x y z其中其中分别叫做点分别叫做点M M的横坐标、纵坐标、竖坐标的横坐标、纵坐标、竖坐标. . 来表示，有序实数组来表示，有序实数组叫做点叫做点M M在空间直角坐标在空间直角坐标( , , )x y z系中的坐标，记作系中的坐标，记作M M( , , ).x y zyxzpQORMMz

7、z1 1x xy y1 1 A A（1 1，2 2，3 3）O OB(2B(2，0 0，4)4) C C（0 0，0 0，3 3）例如：在空间直角坐标系中，画出下列各点：例如：在空间直角坐标系中，画出下列各点：A(1,2,3), B(2,0,4), C(0,0,3)A(1,2,3), B(2,0,4), C(0,0,3)小提示：坐标轴上小提示：坐标轴上的点至少有两个坐的点至少有两个坐标等于标等于0 0；坐标面上；坐标面上的点至少有一个坐的点至少有一个坐标等于标等于0.0.Oxyz111ADCBEF六、特殊位置的点的坐标：六、特殊位置的点的坐标：点点P P的位置的位置原点原点O Ox x轴上轴上

8、A Ay y轴上轴上B Bz z轴上轴上C C坐标形式坐标形式点点P P的位置的位置xOyxOy面内面内D DyOzyOz面内面内E EzOxzOx面内面内F F坐标形式坐标形式(0,0,0)(0,0,0) (x,0,0)(x,0,0) (0,y,0)(0,y,0) (0,0,z)(0,0,z)(x,y,0)(x,y,0) (0,y,z)(0,y,z) (x,0,z)(x,0,z)xOyxOy平面上的点竖坐标为平面上的点竖坐标为0 0；yOzyOz平面上的点横坐标为平面上的点横坐标为0 0；xOzxOz平面上的点纵坐标为平面上的点纵坐标为0.0.x x轴上的点纵坐标和竖坐标都为轴上的点纵坐标和

9、竖坐标都为0 0；z z轴上的点横坐标和纵坐标都为轴上的点横坐标和纵坐标都为0.0.y y轴上的点横坐标和竖坐标都为轴上的点横坐标和竖坐标都为0 0；(1)(1)坐标平面内的点坐标平面内的点: :(2)(2)坐标轴上的点坐标轴上的点: :Oxyz111ADCBEF例例1 1 如图，在长方体如图，在长方体OABC-DABCOABC-DABC中，中，|OA|=3|OA|=3，|OC|=4|OC|=4，|OD|=2|OD|=2，写出，写出D D,C,A,C,A,B,B四点的坐标四点的坐标知识应用知识应用OyxzACBBACD同理，点同理，点AA的坐标是的坐标是（3 3，0 0，2 2）解解: :点点

10、DD在在z z 轴上，且轴上，且|OD|=2|OD|=2，它的竖坐标是，它的竖坐标是2 2；点点C C在在y y 轴上，且轴上，且|OC|=4|OC|=4，它的纵坐标是，它的纵坐标是4 4；它的横坐标它的横坐标x与纵坐标与纵坐标y都是零，都是零，所以点所以点DD的坐标是（的坐标是（0 0，0 0，2 2）它的横坐标它的横坐标x与竖坐标与竖坐标z 都是零，都是零，所以点所以点C C的坐标是（的坐标是（0 0，4 4，0 0）点点BB在在xOyxOy平面上的射影是平面上的射影是B B，因此它的横坐标，因此它的横坐标x x与纵坐标与纵坐标y y同点同点B B的横坐标的横坐标x x与纵坐标与纵坐标y

11、y相同相同在在xOyxOy平面上，点平面上，点B B横坐标横坐标x=3x=3，纵坐标，纵坐标y=4y=4；点点BB在在z z轴上的射影是轴上的射影是DD，它的竖坐标与点，它的竖坐标与点DD的竖的竖坐标相同，点坐标相同，点DD的竖坐标的竖坐标z=2z=2 所以点所以点BB的坐标是（的坐标是（3 3，4 4，2 2） 如图，在长方体如图，在长方体OABC-DABCOABC-DABC中，中，|OA|OA|=3=3，|OC|=4|OC|=4，|OD|=3|OD|=3，ACAC与与BDBD相交于点相交于点P.P.分别写出点分别写出点C C，BB，P P的坐标的坐标. .zxyOACBPCDAB答案：答案

12、：C （0，4，0）B （3,4,3）332P （ ,2， ）【变式练习变式练习】例例2 2 结晶体的基本单位称为晶胞，如图（结晶体的基本单位称为晶胞，如图（1 1）是食）是食盐晶胞的示意图（可看成是八个棱长为盐晶胞的示意图（可看成是八个棱长为 的小正的小正方体堆积成的正方体），其中红点代表钠原子，黑方体堆积成的正方体），其中红点代表钠原子，黑点代表氯原子如图（点代表氯原子如图（2 2）, ,建立空间直角坐标系建立空间直角坐标系OxyzOxyz后，试写出全部钠原子所在位置的坐标后，试写出全部钠原子所在位置的坐标12（1 1）（2 2）xyz解解：把图中的钠原子分成下、中、上三层来写它把图中的钠

13、原子分成下、中、上三层来写它们所在位置的坐标们所在位置的坐标下层的原子全部在下层的原子全部在xOyxOy平面上，它们所在位置的平面上，它们所在位置的竖坐标全是竖坐标全是0 0，所以这五个钠原子所在位置的坐，所以这五个钠原子所在位置的坐标分别是标分别是1 102 2（ ， ）；（0，1，0），（1,0,0），（1，1，0），（0，0，0）， 上层的原子所在的平面平行于上层的原子所在的平面平行于xOyxOy平面，与平面，与z z轴轴交点的竖坐标为交点的竖坐标为1 1，所以，这五个钠原子所在位置，所以，这五个钠原子所在位置的坐标分别是的坐标分别是11(0 0 1) (1 0 1) (111) (0

14、11) (1).22， ， ， ， ， ， 中层的原子所在的平面平行于中层的原子所在的平面平行于xOyxOy平面，与平面，与z z轴轴交点的竖坐标为交点的竖坐标为 ，所以，这四个钠原子所在位置，所以，这四个钠原子所在位置的坐标分别是的坐标分别是111 1111 1(0) (1) (1) (0)222 2222 2， ， ， ， ， ， ， ；12一般的一般的P(x,y,z) P(x,y,z) 关于：关于：（1 1）x x轴对称的点轴对称的点P P1 1为为_;_;（2 2）y y轴对称的点轴对称的点P P2 2为为_;_;（3 3）z z轴对称的点轴对称的点P P3 3为为_;_;( ,)xy

15、z(, ,)x yz(, )xy z关于谁对称谁关于谁对称谁不变不变求对称点求对称点【变式练习变式练习】yx Oz111ABCDEF1.1.在空间直角坐标系中描出下列各点，并说明这些在空间直角坐标系中描出下列各点，并说明这些点的位置点的位置 A A（0,1,10,1,1）,B,B（0,0,20,0,2）,C,C（0,2,00,2,0）, ,D D（1,0,31,0,3）,E,E（2,2,02,2,0）,F,F（1,0,01,0,0）2.2.点点M(2M(2，- -3,1)3,1)关于坐标原点的对称点是关于坐标原点的对称点是_ _ _ _ _ . .3 3在空间直角坐标系中，若点在空间直角坐标系中，若点B B是点是点A(1,2,3)A(1,2,3)在在坐标平面坐标平面yOzyOz内的射影，则内的射影，则OBOB的长度为的长度为_134.4.以棱长为以棱长为1 1的正方体的正方体ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的棱的棱ABAB、ADAD、AAAA1 1所在的直线所在的直线分别为分别为x,y,zx,y,z轴轴，建立空间直角坐标系，建立空间直角坐标系，则面则面AAAA1 1B