地理信息系统课程GIS空间插值

1、空间插值空间插值Spatial Interpolation 空间插值的概念 空间插值的类型 空间插值的方法空间插值概念空间插值概念n 空间插值空间插值常用于将离散点的测量数据转换为连续的数据曲面，以便与其它空间现象的分布模式进行比较，它包括了空间内插和外推两种算法。空间内插算法：通过已知点的数据推求同一区域未知点数据。空间外推算法：通过已知区域的数据，推求其它区域数据。 例如：在一个没有数据记录的地点，其降水量可通过对附近气象站已知降水量记录的插值来估算出来。 进行空间插值要有两个基本条件：已知点和插值方法 控制点是已知数值的点，也称为已知点、样本点或观测点。 控制点提供了为空间插值建立插值方

2、法的必要数据。 空间插值的一个基本假设是估算点的数值受到邻近控制点的影响比较远控制点的影响更大。空间插值方法的分类空间插值方法的分类 1. 整体插值、局部插值和边界内插法；2. 确定性插值和地统计插值；3. 精确插值和近似插值。1、整体插值、局部插值和边界内插法、整体插值、局部插值和边界内插法整体插值整体插值 整体插值：用研究区所有采样点数据进行全区特征拟合。 整个区域的数据都会影响单个插值点，单个数据点变量值的增加、减少或者删除，都对整个区域有影响。 典型例子是：全局趋势面分析 某些区域化地质变量，如地层面的深度、地层厚度、地层水矿化度等，均可认为其分布在三维空间的某个曲面G 上。若已知G，

3、则可根据它来研究这些地质变量在区域上的分布规律和局部特征. 实际的工作中无法得到准确的G ，但却可以根据已知的观测数据：Mi (xi , yi , zi) (i=1,2,n)，构造(拟合)一个近似于G 的数学曲面L。一般把这个拟合的曲面L称为趋势面。 趋势面分析就是在空间中已知点Mi (xi , yi , zi) 的控制下，拟合一个连续的数学曲面，并以此研究地质变量在区域上和局部范围内变化规律的一种统计方法。 拟合的数学曲面叫做趋势面。多项式和付立叶级数是趋势面分析常用的数学模型。一、多项式曲面的一般形式一、多项式曲面的一般形式1、当数据为一维时1）线性回归: 2）非线性：二次或高次多项式：

4、式中 z 变量； x , y 观测点的地理坐标。 若多项式中自变量的最高次数为k，则称这种多项式为k次多项式。多项式曲面的形态将随着k的增大而趋向复杂。2、数据是二维的二元二次或高次多项式xxxyyyzzzk=1k=2k=3图 1-3次多项式趋势面示意图最小二乘法 对于变量间的相关关系，我们可以根据大量的统计资料，找出它们在数量变化方面的规律，这种统计规律所揭示的关系就是回归关系,所表示的数学方程就是回归方程。 图中的直线可表示为 y= x根据上式，在确定、的情况下，给定一个x值，我们就能够得到一个确定的y值，然而根据上式得到的y值与实际的y值存在一个误差 如果我们以表示误差，则方程变为： y

5、= ux 、为回归系数 为随机误差项 使直线与各散点的距离的平方和最小T21()tttyy RSS= T21()tttyx= 根据最小化的一阶条件，将式分别对x,y求偏导，并令其为零，即可求得, 一阶线性平面可模拟具有单一坡度的斜坡地形表面； 二次曲面方程可表达山头、洼地区域； 三次曲面则能描述较为复杂的地形曲面。2 调和趋势面分析调和趋势面分析 调和趋势面分析的数学模型是正弦和余弦函数的组合，它具有波动的特征。HykLxtWHykLxtPHykLxtCHykLxtEyxFztktkrtsktktk2sin2sin2sin2cos2cos2sin2cos2cos),(00 地层界面的波状起伏、

6、沉积旋回、地球磁场的变化等都表现出不严格的周期性重复。因此,调和趋势面有时更有利于把具有波状特征的地质变量的趋势部分和异常分开,进而研究地质变量的波动特征。多项式与调和趋势面的比较多项式与调和趋势面的比较3 3次多项式次多项式6 6次多项式次多项式8 8次多项式次多项式1 1阶调和阶调和2 2阶调和阶调和3 3阶调和阶调和 由于以下缺点，在空间内插中整体内插并不常用： 采样点的增减或移动都需要对多项式的系数作全面调整，从而采样点之间会出现难以控制的振荡现象，致使函数极不稳定； 解算速度慢且对计算机容量要求较高。 不能提供内插区域的局部地形特征；优点：整个区域上函数的唯一性、能得到全局光滑连续的

7、空间曲面、分反映宏观地形特征等。 在空间内插中，一般是与局部内插方法配合使用，例如在使用局部内插方法前，利用整体内插去掉不符合总体趋势的宏观地物特征。整体内插函数常常用来揭示整个区域内的地形宏观起伏态势。 全局多项式插值法适用于在数据集中创建平滑表面及标识长期趋势。然而，在地球科学中，除了长期趋势之外，感兴趣的变量通常还具有短程变化。当数据集显示出短程变化时，局部多项式插值法地图可捕获这种变化。 将区域按一定的方法进行分块，对每一块根据地形曲面特征单独进行曲面拟合和高程内插，每一块都可用不同的曲面进行表达，称为空间分块内插。1、整体插值、局部插值和边界内插法、整体插值、局部插值和边界内插法局部

8、内插法局部内插法局部内插法局部内插法 局部内插法只使用邻近的数据点来估计未知点的值，步骤如下：定义一个邻域或搜索范围；搜索落在此邻域范围的数据点；选择能表达这有限个点空间变化的数学函数；为未知的数据点赋值。 局部内插方法：线性内插,移动拟合法，反距离权重内插Kriging插值单个数据点的改变只影响其周围有限的数据点。 1、整体插值、局部插值和边界内插法、整体插值、局部插值和边界内插法1 1、线性内插、线性内插将内插点周围的将内插点周围的3 3个数据点个数据点的数据值带入多项式，即可的数据值带入多项式，即可解算解算出出系系数数a a0 0、a a1 1、a a2 2 。2 2、双线性多项式内插、

9、双线性多项式内插 将内插点周围的将内插点周围的4 4个数据点个数据点的数据值带入多项式，即可的数据值带入多项式，即可解解算出算出系数系数a a0 0、a a1 1、a a2 2、a a3 3 。3 3、移动拟合法、移动拟合法 逐点内插：是以内插点为中心，确定一个邻域范围，用落在邻域范围内的采样点计算内插点的值。 逐点内插本质上是局部内插，但与局部分块内插有所不同： 局部内插中的分块范围一经确定，在整个内插过程中其大小、形状和位置是不变的，凡是落在该块中的内插点，都用该块中的内插函数进行计算。 逐点内插法的邻域范围大小、形状、位置乃至采样点个数随内插点的位置而变动，一套数据只用来进行一个内插点的

10、计算。4 4、反距离权重插值、反距离权重插值IDWIDW 权重：距离的n次幂倒数，每个样本点对预测点的贡献不一样，权重大小随距离大小而变化。2020)()(yyxxdiiinikikiiddw1110.0.),(1iiiniiidzdwzyxz权重系数wj的计算是关键问题，不同类型距离反比法的差别就是权重系数的计算公式因而最后的插值结果也有细微的差别。 2020)()(yyxxdiiinikikiiddw1110.0.),(1iiiniiidzdwzyxz2020)()(yyxxdiiinikikiiddw111边界内插法边界内插法使用边界内插法时，首先要假定任何重要的变化都发生在区域的边界上

11、，边界内的变化则是均匀的、同质的。 Thiessen多边形法 荷兰气候学家Thiessen提出了一种根据离散分布的气象站的降雨量来计算平均降雨量的方法，即将所有相邻气象站连成三角形，作这些三角形各边的垂直平分线，于是每个气象站周围的若干垂直平分线便围成一个多边形。用这个多边形内所包含的一个唯一气象站的降雨强度来表示这个多边形区域内的降雨强度，并称这个多边形为泰森多边形。 公式公式其数学表达式为： ievv 其中ev表示待估点变量值，iv表示 i点的变量值。 i点必须满足如下条件： ),min(21eneeeidddd 其中 22jijiijyyxxd 表示点 i(xi, yi)与点 j(xj,

12、 yj)间的欧几里德距离。 2、确定性方法和地统计方法、确定性方法和地统计方法确定性方法确定性方法 确定性插值法是使用数学函数进行插值，以研究区域内部的相似性（如反距离加权插值法），或者以平滑度为基础（如径向基函数插值法）由已知样点来创建预测表面的插值方法。 全局多项式插值、反距离权插值、局部多项式插值 地统计学插值地统计学插值 基于自相关性 (测量点的统计关系)，根据测量数据的统计特征产生曲面； 克里格方法克里格方法依赖于数学模型和统计模型，正是由于引入了包括概率模型在内的统计模型，使克里格方法与确定性插值方法区分开与确定性插值方法区分开来。在克里格方法中预测的结果将与概率联系在一起。 由于

13、建立在统计学的基础上，因此不仅可以产生预测曲面，而且可以产生误差和不确定性曲面，用来评估预测结果的好坏 多种 kriging 方法克里金插值由南非采矿工程师D.G.克里格（D. G. Krige）于1951年首次提出，故命名为“克里金”法，后经法国著名地理数学学家G. Matheron发展深化。 空间自相关(spatial autocorrelation)是指一些变量在同一个分布区内的观测数据之间潜在的相互依赖性 。 地理数据由于受空间相互作用和空间扩散的影响，彼此之间可能不再相互独立，而是相关的。例如，视空间上互相分离的许多市场为一个集合，如市场间的距离近到可以进行商品交换与流动，则商品的价

14、格与供应在空间上可能是相关的，而不再相互独立。实际上，市场间距离越近，商品价格就越接近、越相关。 首先考虑的是空间属性在空间位置上的变异分布确定对一个待插点值有影响的距离范围，然后用此范围内的采样点来估计待插点的属性值。该方法在数学上可对所研究的对象提供一种最佳线性无偏估计。它是考虑了信息样品的形状、大小及与待估计块段相互间的空间位置等几何特征以及品位的空间结构之后，为达到线性、无偏和最小估计方差的估计，而对每一个样品赋与一定的系数，最后进行加权平均来估计块段品位的方法。Kriging插值的方法 式中：z0为待插入点的值； Zx为已知点的值 Wx为每个点的权重值 计算Wi，通过变异函数来确定上

15、式中的加权系数来计算。01xxszz Wi3、精确插值和近似插值、精确插值和近似插值 精确插值：产生通过所有观测点的曲面。精确插值：产生通过所有观测点的曲面。在精确插值中，插值点落在观测点上，内插值等于估计值。 近似插值：插值产生的曲面不通过所有观测近似插值：插值产生的曲面不通过所有观测点。点。当数据存在不确定性时，应该使用近似插值，由于估计值替代了已知变量值，近似插值可以平滑采样误差。插值验证插值验证（1） 交叉验证交叉验证 交叉验证法（crossvalidation），首先假定每一测点的要素值未知，而采用周围样点的值来估算，然后计算所有样点实际观测值与内插值的误差，以此来评判估值方法的优劣。 各种插值方法得到的插值结果与样本点数据比较。对每种插值方法重复下面的步骤，实现对不同插值方法的比较：从数据集中除去一个已知点的测量值；用剩余的点估计除去点的值；比较原始值和估计值，计算出估计值的预测误差。针对每个已知点，进行上述步骤，然后评价不同插值方法的精确度。常用的评价指标是均方根（RMS）：2,