甘肃省张掖市临泽县九年级数学下册1.5《三角函数的应用》教案(新版)北师大版【精品教案】

1、三角函数的应用教学目标（一）教学知识点1 .经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用.2 .能够把实际问题转化为数学问题，能够借助于计算器进行有关三角函数的计算，并 能对结果的意义进行说明.（二）能力训练要求发展学生的数学应用意识和解决问题的能力.（三）情感与价值观要求1 .在经历弄清实际问题题意的过程中，画出示意图，培养独立思考问题的习惯和克服 困难的勇气.2 .选择生活中学生感兴趣的题材，使学生能积极参与数学活动，提高学习数学、学好 数学的欲望.教学重点1 .经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的作用.2 .发展学生数学应用意识

2、和解决问题的能力.教学难点根据题意，了解有关术语，准确地画出示意图.教学过程（一）复习旧知，引入新课1 . 一物体沿坡度为1 : 8的山坡向上移动 J65m,则物体升高了 m.答案：12 .在地面上一点，测得一电视塔尖的仰角为45。，沿水平方向，再向塔底前进am,又测得塔尖的仰角为 60。，那么电视塔的高为答案：%3） a23 .如图所示，在高 2m,坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要 m.答案:2 2、. 34 .创设问题，引入新课海中有一个小岛 A,该岛四周10海里内有暗礁.今有货轮由西向东航行，开始在 A岛 南偏西55°的B处，往东行驶20海里后，到达该

3、岛的南偏西 25°的C处，之后，货轮继续 往东航行，你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗？你是如何想的？与同伴进行交 流.(二)讲授新课1 .思路点拔(1)我们注意到题中有很多方位，在平面图形中，方位是如何规定的？应该是“上北下南，左西右东”.(2)请同学们根据题意在练习本上画出示意图，然后说明你是怎样画出来的.首先我们可将小岛 A确定，货轮B在小岛A的南偏西55。的B处，C在B的正东方，且 在A南偏东25°处.示意图如下.(3)货轮要向正东方向继续行驶，有没有触礁的危险，由谁来决定？根据题意，小岛四周10海里内有暗礁，那么货轮继续向东航行的方向如果到A的最短距离大于

4、10海里，则无触礁的危险，如果小于 10海里则有触礁的危险. A到BC所在直线 的最短距离为过 A作ADL BC D为垂足，即AD的长度.我们需根据题意，计算出AD的长度, 然后与10海里比较.(4)下面我们就来看 AD$口何求.根据题意，有哪些已知条件呢？已知 BG20 海里，/ BAD=55 , / CAR25 .(5)在示意图中，有两个直角三角形RtAABDH RtAACD你能在哪一个三角形中求出AD呢？在RtAACD,只知道/ CAB25。，不能求 AD在RtAABD,知道/ BA=55 ,虽然知道 BC=20海里，但它不是 RtABD勺边，也不 能求出AD(6)那该如何是好？是不是可

5、以将它们结合起来，站在一个更高的角度考虑?这两个三角形有联系，八训它们的公共直角边.而且BC是这两个直角三角形 BD与CD的差，即BGBDCD BD CD的对角是已知的， BD CD和边AD都有联系.(7)有何联系呢？BDCD在 RtAABD, tan55=,BD = ADtan55% 在ACDf, tan25, ADADCD =ADtan25°.利用BGBDC刷可以列出关于 AD的一元一次方程，即 ADan55 -ADan25 =20.总结：其实，在解决数学问题时，很多地方都可以用到方程，因此方程思想是我们初中数学中最重要的数学思想之一.解：过A作BC的垂线，交 BC于点D得到Rt

6、AABD口 RtACD从而BDADan55 , CDADtan25 ,由 BD CD=BC 又 BC=20 海里.得ADtan55 ° -ADan25 ° =20.AD (tan55 ° -tan25 ° ) =20,AD =20电 20.79 (海里).tan55 -tan25这样Ag 20.79海里10海里，所以货轮没有触礁的危险.2 .小组合作，探索问题(1)想一想你会更聪明：接下来，我们再来研究一个问题.还记得本章开头小明要测塔的高度吗？现在我们来看 他是怎样测的，并根据他得到的数据帮他求出塔的高度.D如图，小明想测量塔 CD的高度.他在 A处仰

7、望塔顶，测得仰角为 30。，再往塔的方向前进50m至B处.测得仰角为 60。.那么该塔有多高？(小明的身高忽略不计，结果精确到1 m)(2)思路点拔：我想请一位同学告诉我什么是仰角？在这个图中，30。的仰角、60。的仰角分别指哪两个角?当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角.30。的仰角指Z DAC 60°的仰角指 ZDBC很好！请同学们独立思考解决这个问题的思路，然后回答.首先，我们可以注意到 。皿两个直角三角形 RtADCF口 RtBDC勺公共边，在 CDRtMDOK tan30s=,ODtan 30ODtan 60OD即AO一 CD在 RtABDO, tan6

8、0° = ,即BOOD又 AB=AOBO=50 m,得= 50tan30 tan 60解得O43 (n),即塔OD的高度约为43 m.提出质疑，再探新知：小明在测角时，小明本身有一个高度，因此在测量OD勺高度时是否应考虑小明的身高？在实际测量时，的确应该考虑小明的身高，更准确一点应考虑小明在测量时，眼睛离地面的距离.如果设小明测量时，眼睛离地面的距离为1.6 m,其他数据不变，此时塔的高度为多少？你能画出示意图吗？示意图如图所示，由前面的解答过程可知 OO =43 m则OD=43+1.6=44.6 m即考虑小明的高度，塔的高度为44.63 .巩固新知、解决问题：现在我手里有一个楼梯改

9、造工程问题，想请同学们帮忙解决一下.某商场准备改善原来楼梯的安全性能，把倾角由40。减至35。，已知原楼梯长为 4日调整后的楼梯会加长多少？楼梯多占多长一段地面？（结果精确到0.0l m）请同学们根据题意，画出示意图，将这个实际问题转化成数学问题，（先独立完成，然后相互交流，讨论各自的想法）（1）思路点拔要注意调整前后梯楼的高度是一个不变量.根据题意可画（十）示意图（如右图）.其中AB表示楼梯的高度.AC是原楼梯的长，BC是原楼梯的占地长度； AD是调整后的楼梯的长度，DB是调整后的楼梯的占地长度./ AC配原楼梯的倾角，/ AD配调整后的楼梯的倾角.转 化为数学问题即为：如图，ABI DR

10、/ACB40 , / AD=35 , AC=4m 求 AD AC及 DC的长度.（2）解决问题解：由条件可知，在 RtABC中，sin 40S = AB-,即AB=4sin40 ° m,原楼梯占地AC长 BC=4cos40 ° m.调整后，在 RtADB中，sin35-=胆，则AD = AB = 4sin 40 m.楼梯占地长ADsin35 sin 354sin 40 DB =m.tan35 4sin40调整后楼梯加长 AD AC = 4之0,48 (m),sin354sin 40楼梯比原来多占 DC=DBBC=-4cos 40°0.61 (m).tan35（三）

11、随堂练习1 .如图，一灯柱 AB被一钢缆CD®定，CDf地面成40。夹角，且DB=5m,现再在C点上方2m处加固另一条钢缆 ED那么钢缆ED的长度为多少?8解：在 RtACBD, ZCDB40 , DB=5 日 sin40" =空，BC=D®in40 0 =5sin40 0 (m).DB在 RtEDB中，DB=5 m,BE=BGEC=2+5sin40( m).根据勾股定理，得 DE = JDB2 +BE2 = ,52 +(2+5sin40，)2 % 7.96 (m).所以钢缆ED的长度为7.96 m .2.如图，水库大坝的截面是梯形ABCD坝顶 AD=6 m,坡长

12、CD=8 m.坡底BC=30 m, /ADC135 .A D& X一 一. 一.门_ 酋 *£ F &(1)求/ ABC勺大小；(2)如果坝长100 m.那么建筑这个大坝共需多少土石料？(结果精确到 0.01 m3)解：过A、D分别作AE! BC DU BC, E、F为垂足.(1)在梯形 ABCDK / ADG135。，/FD045 , EF=AD=6 m,在 RtA FDC, DC=8m. DF=FC=CDsin45 =4.2 (m).BE =BC -CF -EF =30-472-6 = 24-472(m>.在 RtAEB中，AE=DF =472(m).tan

13、 ABC =AE 4 2BE 24-4,2 6 - ;2之 0.308 AB6 17° 8' 21(2)梯形ABCM面积：1 1L L 2S= (AD + BC) AE= (6+30)父4&=72j2 (m).2 2坝长为100 m,那么建筑这个大坝共需土石料100父72应 定10182.34 (m3).综上所述，/ ABC170 8' 21，建筑大坝共需 10182.34 m 3土石料.(四)活动与探究，拓展知识例题：如图，某货船以 20海里/时的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的 B处，经16小时的航行到达，到达后必须立即卸货.此时接到气象部门通知，一台风中心正以40海里/时的速度由A向北偏西60°方向移动，距台风中心200海里的圆形区域(包括边界)均受到影响.(1)问：B处是否会受到台风的影响？请说明理由.(2)为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物？过程这是一道需借助三角知识解决的应用问题，需抓住问题的本质特征.在转化、 抽象成数学问题上下功夫.结果(1)过点B作BDL AC垂足为D.11依题意，得/ BAC30 ,在 RtAABD, BD =AB =父 20M 16 = 160 < 120,22.B处会受到台风影响.(2)以点B为圆心，200海里为半径画圆交 AC于E F,由勾股