应用随机过程复习资料

1、1 EX(t) X(s) DX(t) X(s) (t s)由于 X(0) 0故mX (t) EX(t) EX(t) X(0) tX2 (t) DX(t) DX(t) X(0)tRX(s,t) EX(s)X (t) EX(s)X(t) X(s) X (s)2EX(s) X (0) X(t) X(s) E X (s) 22EX(s) X(0)EX(t) X(s) DX(s) EX(s)222s (t s) s ( s)2 2st s s( t 1)BX (s,t) RX(s,t) mX ( s)mX (t) sgX (u) EeiuX (t ) exp t(eiu 1)2 定理 3.2 设 X(t

2、),t 0 是具有参数 的泊松分布，Tn,n 1 是对应的时间间隔序列，则随机变量Tn是独立同分布的均值为 1 的指数分布Proof:注意到 T1 t 发生当且仅当泊松过程在区间 0,t 内 没有事件发生，因而 PT1 t P X(t) 0 e t 即 FT (t) PT1 t 1 PT1 t 1 e t 所以 T1 是服从均值为 1 的指数分布 .利用泊松过程的独立、 平稳增量性质，有PT2 t |T1 s PX(t s) X(s) 0PX(t) X(0) 0 e t即 FT (t) PT2 t 1 PT2 t 1 e t对任意的 n 1和 t,s1,s2,.,sn 1 0 有e t ,t

3、0概率密度为 fT (t)Tn0,t 03 设在 0,t 内事件 A已经发生 n次,0 s t ,对于0 k n,求 P X(s) k | X(t) n解:利用条件概率及泊松分布得P X(s) k|X(t) nPX(s) k,X(t) nPX(t) nPX (s) k,X(t) X(s) n kP X(t) n这是一个参数为 n 和 s 的二项分布 t4 对有 s t 有PW1 s|X(t) 1PW1 s,X(t) 1P X(t) 1P X(s) 1,X(t) X(s) 0PX(t) 1P X(s) 1P X(t) X(s) 0P X(t) 1se se (t s) s se s t 即分布函

4、数为0,s 0FW1|X (t) 1(s)s t,0 s t1,s t分布密度为1 t,0 s t fW1|X(t) 1(s)0,其它N(t)5 设 X(t)Yk ,t 0是复合泊松过程则k1PT2 t |T1 s1,.,Tn 1 sn 1 P X(t) X(0) 0 e t 即 FT (t) PTn t 1 e t1) X(t),t 0 是独立增量过程；2) X (t )是特征函数 gX(t)(u) exp t gY (u) 1 ,其中所以对任一 Tn 其分布是均值为 1 的指数分布所以 FTn (t) PTn t1 e t,t 00,t 0gY (u)是随机变量 Y1的特征函数 ; 是事件

5、的到达率 ;3)若 E(Y12),则 EX(t) tEY1,DX(t)tEY12Proof:1)令 0 t0 t1 . tm ,N(tk)则 X(tk) X(tk1)Yi ,k 1,2,., m 故 X(t)i N (tk 1) 10 l n和i,j I ,n步转移概率 pij(n )具有下列性质：(1)pi(jn)pi(kl ) pk(jn l) kI(2)pi(jn)2)因为gX(t)(u) EeiuX (t) EeiuX (t) |N(t) nPN(t) nn0n ( t)nEexp(iu Yk)|N(t) ne tn 0 k 1 n!exp tgY (u) 1(3)(4)P(n)P(n

6、). k1 I kn 1 I PP(n 1) Pnpik1 pk1k2 .pkn 1jProof:1)3)由条件期望的性质 EX(t) EEX(t)| N(t) 及假设N(t)知 EX(t)|N(t) n E Yi |N(t) n nE(Y1)i1利用全概率公式及马尔科夫性，有(n) PXm i,Xm n j pijPXm n j | Xm iP Xm ipk(jn l)(m l )pi(kl ) (m)pi(kl ) pk(jn l)k I k I2)在(1)中令 l 1,k k1，得 pijpik1 pk1jk1 I所以EX(t) EEX(t)|N(t) EN(t)E(Y1)tE(Y1)这

7、是一个递推公式，故可推得到pij.pik1 pk1k2 .pkn 1jk1 I kn 1 I3)在 (1)中令 l 1,利用矩阵乘法可证4)由 (3),利用归纳法可证8 判别马氏性、齐次性类似地 DX(t)|N(t) N(t)DY1 ,DX(t) EN(t)DY1 DN(t)E(Y1) tE(Y1)21)马氏性定义 : PXn 1 in 1| X0 i0,X1 i1,., Xn inP Xn 1 in 1 |Xn in6 设脉冲到达计数器的规律是到达率为 的泊松过程 ,记录 每个脉冲的概率为 p ,记录不同脉冲的概率是相互独立的 .l令 X(t) 表示已被记录的脉冲数 .2)(1) 求 PX(

8、t) k, k 0,1,2,.P Xn 1 in 1, Xn 1 in 1 ,., X1 i1 P Xn 1 in 1 |Xn in PXn1 in 1|Xn in. PX1 i1|Xn in(2) X(t) 是否为泊松过程 .9 设 Xn ,n 0 为马尔科夫链，试证解：设 N (t ), t 0表示在 0, t区间脉冲到达计数器的个数(1) PXn 1 in 1,., Xn m in m |X0 i0 ,.X n in1,第i个脉冲被计数器记录令i0, 第i个脉冲没有被计数器记录PXn 1 in 1,., Xn m in m |Xn inN(t)则 X(t) i 根据复合泊松过程的定义知X

9、 (t)为泊松过i1(2)P X0 i0 ,. X n in,Xn 2 in 2 ,., Xn m in m |Xn 1 in 1故 X(t)强度为 p,PX (t) k ept ( pt)k ,k 0,1,. k!程，且 EX(t) EN(t) E 1 t p ptPX0 i0,.Xn in |Xn 1 in 1 P Xn 2 in 2 ,., Xn m in m |Xn 1 in 1 proof: (1)PX n 1 in 1,., X n m in m | X 0 i 0 ,. X n inPX 0 i0,.Xn in, X n 1 in 1 ,., X n m in mPX0 i0,.

10、Xn in7 设Xn,n T 为马尔科夫链 ,则对任意整数 n 0,PX n i n ,., X n m in mPXn inPXn 1 in 1,., X n m in m|Xn in(2)利用条件概率类似可得10 设马氏链 Xn 的状态空间为I 0,1. 转移概率为111p00, pi,i 1,pi0,i222考察状态 0 可知1 (2) 1 1 1 (3)2,p00 2 2 4, p0000121300010P001010012013013000000000p(010)0018 有p(00n) 21n0 0 14 0 3 4 0 可知各状态的周期 d 3.固定状态 i 1 令 G0 j:

11、对某n 0有p1(3, jn) 0 1,4,61故 f00 n 1, 0 n2n 1 2nn1G1 j:对某n 0有p1(,3jn 1) 0 3,5G2 j:对某n 0有p1(3, jn 2) 0 2可见 0 为正常返，由于 f (1)0010，2所以它是非周期的，故 C G0 G1 G2 1,4,6 3,5 2因而是遍历的， 对于其它状态由定理 4.9，因i0故i 也是遍历的pii 1 pi , pii ri , pii 1 qi(i 0),其中 pi,qi 0001000000001P0000101313013001000000120001211 设 I 1,2,.6 转移矩阵为试分解此链

12、并指出各状态的常返性及周期性 .pi ri qi 1.称这种马尔科夫链为生灭链 ,是不可约的，a0 1,ajp0.pj 1q1.qj试证此马氏链存在平稳分布的充要条件为ajj0解：有题可知 f(3) 1, f(n) 0,n 3所以 1 nf(n) 3 11 11 11n1可见 1 为正常返状态且周期等于 3.含 1 的基本常返闭集为C1 k:1 k 1,3,5从而状态 3及 5 也为正常返且周期为 3.同理可知 6为正常返3状态 . 6,其周期为 1,含 6 的基本常返闭集为2C2 k:6 k 2,6可见 2 是遍历的 .(1) 1 (n)由于 f4(41), f4(4n) 0,n 1故4非常

13、返，周期为 1，于是 I3可分解为 I D C1 C2 4 1,3,5 2,612 设不可分马氏链的状态空间为 C 1,2,.6 ,转移矩阵为00r01q1Proof:由题可知jj 1pj 1jrjj 1qj 1, j 1pj r j qj 1于是有递推关系q1 1 p0 00qj 1 j 1 pj jqj j pj 1 j 1解得 j pj 1 j 1 , j 0qj所以 jpj 1 j 1qjp0 0 aj 0q1对 j 求和得 1 j 0 ajj 0 j 0由此可知平稳分存在的充要条件是 aj 此时j01ajajj13 设马尔科夫链具有状态空间 I 0,1,. ,转移概率14 设马氏链的

14、转移概率矩阵为PX(s t) j |X(s) i(1) 12 1 2 (2)13 2 3p1q1q3p200q2p3计算 f11(n),f1(2n),n 1,2,3解： (1)(1)11(2)111,6(3)111;9(1)12(2)12(3)13(2)f1(11)p1, f1(12) 0, f11(3)(1) (2) (3) q1q2q3; f12q1, f12p1q1, f132p1 q115 设马氏链的转移矩阵为q10q1p10p2求它的平稳分布 .PX(s t) X(s) j i e t (jt)i)!当 j i 时,由于过程的增量只取非负整数 ,故 pij (s,t) 0,所以 pi

15、j (s,t) pij (t)e t ( t)j i( j i)!, j i0, j i即转移概率只与 t 有关 ,泊松过程具有齐次性17解：(1)求 poisson 过程的 Q 及poisson过程 pij(t)( jt)i)!e t, j i 00,其它0, j ip(0) lim pij (0) lim e t1, j i0, j i解： jp1.pj 1q1.qj0, j1, 0(2)由性质知 p(t)关于 t一致连续j 1 p1pklim p(t) (存在) tj 1 k 0 qk 1(3) Q lim p(0) I 存在qij lim pij (t) Iijlimt( t) j i

16、e t(j i)!lim( t) j ie tt( j i)!16 证明泊松过程 X(t),t 0 为连续时间齐次马氏链 Proof:先证泊松过程具有马氏性 ,再证齐次性 ,由泊松过程的 定义知 X(t),t 0 识独立增量过程 ,且 X(0) 0 对任意0 t1 . tn 1 有PX(tn 1) in 1| X(t1) i1,.,X(tn) inPX(tn 1) X(tn) in 1 in |X(t1) X(0) i1,.,X(tn) X(tn 1) in in 1PX(tn 1) X(tn) in 1 in又因为 PX(tn 1) in 1|X(t1) i1,.,X(tn) inPX(tn

17、 1) X(tn) in 1 in |X(tn) X(0) inPX(tn 1) X(tn) in 1 inPX(tn 1) in 1|X(t1)i1,.,X(tn) in所以PX(tn 1) in 1|X(tn) in 即泊松过程是一个连续时间马氏链； 再证齐次性 ,当 j i 时 ,由泊松过程定义 ,得t limlim ( t)e tt0, j i 1, j,018 M/M/s 排队系统 .假设顾客按照参数为的泊松过程来到一个有 s 个服务员的服务站 ,即相继到达顾客的时间间隔是 均值为 1 的独立指数随机变量 ,每一个顾客一来到 ,如果有 服务员空闲 ,则直接进行服务 ,否则此顾客加入排

18、队行列 .当一 个服务员结束对一位顾客的服务时,顾客就离开服务系统 ,排立身以立学为先，立学以读书为本 队中的下一个顾客进入服务 . 假定相继的服务时间是独立的指数随机变量 ,均值为 1 .如果我们以 X(t) 记时刻 t系统中的人数 ,则 X(t),t 0是生灭过程21 设随机过程 X(t) Asin( t) Bcos( t)，其中 A、B 是 均值为零、方差为 2 相互独立的正态随机变量 .试问：n ,1 n sn s ,n s ， n ,n 0M/M/s 排队系统中 M 表示马氏过程 ,s 代表有 s个服务员 .特别,在M/M/s 排队系统中 , n , n,于是若 1,则n( )n1

19、( )nn11 ,n 0(1) X(t)的均值是否各态历经的？(2) X(t)的均方值 EX(t)2是否各态历经的？(3) 若 A - 2 sin ，B= 2 cos , 是(0,2 )上服从 均匀分布的随机变量 ,此时 EX(t)2是否各态历经的？ 解：(1) EX (t )=EA sin( t) EB cos( t)=0要平稳分布存在 , 必须小于 . 的情况类似随机游 动 ,它是常零返的 ,从而没有极限概率19 某修理店只有一个服务员, 顾客按强度为 4 人每小时poisson 过程到达 ,服务员对每位顾客服务的时间是常数10的指数分布 ,问(1)修理店空闲的概率 0 ;(2)等候服务的

20、顾客 平均数1TX(t) 1 i m X (t )dt T 2T T 1T=1 i m 2 Bcos( t)dtT 2T 0 sin( t)=1 i m BTt由于 B N(0, 2) ,故lim ETsin( t)B 0 limsin2( t)T2t22EB2 0解： (1) 0 10.6 ；1(2) L n n 0 0 1 1 . 1.5 n0即 sin( t)B 均方收敛于 0,故 X (t )的均值是各态历经的 t(2)EX(t)2 EA2sin2( t) B2 cos2( t) 2 AB sin( t)cos( t) 221 T 2X2(t) 1Ti m2T T X2(t)dtA2

21、B2sin2 T 2 21 i m (B A ) 2T4T类似(1)可证得 1Ti msin42TT (B2 A2) 0，故20 讨论随机过程 X(t) Y的各态历经性 ,其中 Y 是方差不 为零的随即变量 .22X2(t)A 2 B解： 易知 X (t) Y 是平稳过程 ,事实上EX(t) EY mX (常数)，RX (t,t ) EY2 DY mX2(与t无关) 但此过程不具有各态历经性，因为1TX (t) 1 i m Ydt Y ,Y是非常数，不等于 EX(t) .所以 X(t) Y的均值不具有 各态历经性 .类似可证其相关函数也不具有各态历经性.22又 A N(0, 2) ,故 A22(1),D(A2) 2,DA2 2 41 2 2 1 2 2 2E (A2 B2)(EA2 EB2)222D1 (A2 B2) 1 (DA2