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文档简介

1、圆学子梦想 铸金字品牌温馨提示: 此题库为Word版,请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴,调节合适的观看比例,关闭Word文档返回原板块。 考点42 直线与圆锥曲线的位置关系一、选择题1. (2014·湖北高考文科·T8)设a,b是关于t的方程t2cos+tsin=0的两个不等实根,则过A(a,a2),B(b,b2)两点的直线与双曲线 -=1的公共点的个数为()A.0 B.1 C.2 D.3【解题提示】求出过A(a,a2),B(b,b2)两点的直线为y=-x,结合双曲线的渐近线方程,可得结论.【解析】选A.由于a,b是关于t的方程t2cos+tsin=0的两个不等实根,所以a+b

2、=-,ab=0,过A(a,a2),B(b,b2)两点的直线为y-a2= (x-a),即y=(b+a)x-ab,即y=-x,因为双曲线 -=1的一条渐近线方程为y=-x,所以过A(a,a2),B(b,b2)两点的直线与双曲线 -=1的公共点的个数为0.2.(2014·辽宁高考文科·8)已知点在抛物线的准线上,记的焦点为,则直线的斜率为【解题提示】由抛物线的定义知的值,也就确定了抛物线的方程和焦点坐标;利用直线的斜率公式求出直线的斜率【解析】选.根据已知条件得,所以从而抛物线方程为,其焦点从而直线的斜率为二、填空题3.(2014·安徽高考文科·15)若直线与

3、曲线满足下列两个条件: 直线在点处与曲线相切;曲线在附近位于直线的两侧,则称直线在点处“切过”曲线.下列命题正确的是_(写出所有正确命题的编号)直线在点处“切过”曲线:直线在点处“切过”曲线:直线在点处“切过”曲线:直线在点处“切过”曲线:直线在点处“切过”曲线:【解题提示】根据各选项分别判断。 【解析】根据题意满足条件的有(1)(3)(4),剩余选项(2)(5)都在切线的一边。答案:4.(2014·安徽高考理科·14)设分别是椭圆的左、右焦点,过点的直线交椭圆于两点,若轴,则椭圆的方程为_【解题提示】构造直角三角形,利用线段平行、垂直关系及点A,B在椭圆上求得参数b.【解

4、析】如图所示,设,作,则 又点A,B在椭圆上,所以与联立解得。所以椭圆方程为。5. (2014·湖南高考文科·14)平面上以机器人在行进中始终保持与点的距离和到直线的距离相等.若机器人接触不到过点且斜率为的直线,则的取值范围是 【解题提示】根据抛物线的定义和直线与圆锥曲线的关系求解。【解析】把机器人看做一个动点,则根据抛物线定义知道它的轨迹为抛物线,其方程为,过点且斜率为的直线方程为,两个方程联立,消去y得,由题意,所以。答案:三、解答题6. (2014·新课标全国卷高考理科数学·T20)(本小题满分12分)设F1,F2分别是椭圆+=1的左右焦点,M是C

5、上一点且MF2与x轴垂直,直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为,求C的离心率.(2)若直线MN在y轴上的截距为2,且=5,求a,b.【解题提示】(1)利用直线MN的斜率为再结合a2=b2+c2表示出关于离心率e的方程,解方程求得离心率.(2)结合图形,利用椭圆的性质和焦半径公式求得a,b.【解析】(1)因为由题知, =,所以·=,且a2=b2+c2.联立整理得:2e2+3e-2=0,解得e=.所以C的离心率为.(2)由三角形中位线知识可知,MF2=2×2,即=4.设F1N=m,由题可知MF1=4m.由两直角三角形相似,可得M,N两点横坐标分别为c,- c

6、.由焦半径公式可得:MF1=a+ec,NF1=a+e,且MF1NF1=41,e=,a2=b2+c2.联立解得a=7,b=2.所以,a=7,b=2.7. (2014·湖南高考文科·20)(本小题满分13分)如图5,为坐标原点,双曲线和椭圆均过点,且以的两个顶点和的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形.(1) 求的方程;(2) 是否存在直线,使得与交于两点,与只有一个公共点,且?证明你的结论.【解题提示】利用椭圆的定义和直线与圆锥曲线位置关系,联立方程组,求解。【解析】(1)设的焦距为,由题意知,从而因为点,在双曲线上,所以,故由椭圆的定义知于是,故的方程分别为(2)不存在

7、符合题设条件的直线(i)若直线垂直于x轴,因为与只有一个公共点,所以直线的方程为或当时,易知,所以,此时, 当,同理可知(ii)若直线不垂直于x轴,设的方程为由得当与相交于A,B两点时,设,则是上述方程的两个实根,从而,于是由得因为直线与只有一个公共点,所以上述方程的判别式化简,得。因此于是即,故综合(i)(ii)可知,不存在符合题设条件的直线8.(2014·广东高考文科·T20)(14分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的一个焦点为(,0),离心率为.(1)求椭圆C的标准方程.(2)若动点P(x0,y0)为椭圆C外一点,且点P到椭圆C的两条切线相互垂直,求点P

8、的轨迹方程.【解题提示】(1)由c,e,求出b得椭圆方程,(2)要分切线斜率是否存在加以讨论.【解析】(1)因为c=,离心率e=,所以a=3,b=2,椭圆C的标准方程为+=1.(2)方法一:若有一条切线斜率不存在,则另一条斜率为0,此时点P有四个点,分别是(3,2),(-3,2),(-3,-2),(3,-2);当两条切线斜率都存在时,设切线方程为y-y0=k(x-x0),代入+=1中,整理可得(9k2+4)x2+18k(y0-kx0)x+9(y0-kx0)2-4=0,切线与椭圆只有一个公共点,则=0,即(18k)2(y0-kx0)2-36(9k2+4)(y0-kx0)2-4=0,进一步化简得(

9、-9)k2-2x0y0k+-4=0.因为两条切线相互垂直,所以k1k2=-1,也就是=-1,则+=13.显然,点(3,2),(-3,2),(-3,-2),(3,-2)也适合方程+=13,所以点P的轨迹方程为+=13.方法二:若有一条切线斜率不存在,则另一条斜率为0,此时点P有四个点,分别是(3,2),(-3,2),(-3,-2),(3,-2);当两条切线斜率都存在时,设切点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则+=1且+=1.两条切线方程分别为+=1和+=1,因为两条切线都过点P(x0,y0),所以+=1且+=1,因为两条切线相互垂直,所以k1=,k2=且k1k2=-1,也就是=-1,整

10、理得+=13.显然,点(3,2),(-3,2),(-3,-2),(3,-2)也适合方程+=13,所以点P的轨迹方程为+=13.9.(2014·广东高考理科)(14分) 已知椭圆C:+=1(a>b>0)的一个焦点为(,0),离心率为.(1)求椭圆C的标准方程.(2)若动点P(x0,y0)为椭圆C外一点,且点P到椭圆C的两条切线相互垂直,求点P的轨迹方程.【解题提示】(1)由c,e,求出b得椭圆方程,(2)要分切线斜率是否存在加以讨论.【解析】(1)因为c=,离心率e=,所以a=3,b=2,椭圆C的标准方程为+=1.(2)方法一:若有一条切线斜率不存在,则另一条斜率为0,此时

11、点P有四个点,分别是(3,2),(-3,2),(-3,-2),(3,-2);当两条切线斜率都存在时,设切线方程为y-y0=k(x-x0),代入+=1中,整理可得(9k2+4)x2+18k(y0-kx0)x+9(y0-kx0)2-4=0,切线与椭圆只有一个公共点,则=0,即(18k)2(y0-kx0)2-36(9k2+4)(y0-kx0)2-4=0,进一步化简得(-9)k2-2x0y0k+-4=0.因为两条切线相互垂直,所以k1k2=-1,也就是=-1,则+=13.显然,点(3,2),(-3,2),(-3,-2),(3,-2)也适合方程+=13,所以点P的轨迹方程为+=13.方法二:若有一条切线

12、斜率不存在,则另一条斜率为0,此时点P有四个点,分别是(3,2),(-3,2),(-3,-2),(3,-2);当两条切线斜率都存在时,设切点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则+=1且+=1.两条切线方程分别为+=1和+=1,因为两条切线都过点P(x0,y0),所以+=1且+=1,因为两条切线相互垂直,所以k1=,k2=且k1k2=-1,也就是=-1,整理得+=13.显然,点(3,2),(-3,2),(-3,-2),(3,-2)也适合方程+=13,所以点P的轨迹方程为+=13.10.(2014·福建高考理科·19)(本小题满分13分)已知双曲线的两条渐近线分别为.

13、(1)求双曲线的离心率; (2)如图,为坐标原点,动直线分别交直线于两点(分别在第一,四象限),且的面积恒为8,试探究:是否存在总与直线有且只有一个公 共点的双曲线?若存在,求出双曲线的方程;若不存在,说明理由。【解题指南】由渐近线可知,由基本量关系式求;设直线,再根据条件建立k,m的两个方程【解析】解法一:(1)双曲线的渐近线分别为,1分,有,即,于是双曲线的离心率;3分(2)由(1)知,双曲线E的方程为.设直线与轴相交于点,当轴时,若直线与双曲线E有且只有一个公共点,则,又因为的面积为8,即,解得,此时双曲线E的方程为.6分若存在满足条件的双曲线E,则E的方程只能为.以下证明:当直线不与轴

14、垂直时,双曲线也满足条件,7分设直线的方程,依题意,得或,8分则,记,由得,同理,由得,即,10分由得,又,即直线与双曲线E有且只有一个公共点.12分因此,存在总与直线有且只有一个公共点的双曲线E,且E的方程只能为13分方法二:(1)同方法一;(2)由(1)知,双曲线E的方程为.设直线的方程为,依题意得,由得,同理,设直线与轴相交于点,则,由得,由得,直线与双曲线E有且只有一个公共点当且仅当,即,即,有,因此,存在总与直线有且只有一个公共点的双曲线E,且E的方程只能为.方法三:(1)同方法一;(2)当直线不与轴垂直时,设直线,依题意得或,由得,由,得,又因为的面积为8,所以,而,化简得,即,由

15、(1)得双曲线E的方程为,由得,因为,直线与双曲线E有且只有一个公共点当且仅当,即,有,双曲线E的方程为,当轴时,由的面积为8,可得,又知与双曲线有且只有一个公共点,综上,存在总与直线有且只有一个公共点的双曲线E,且E的方程只能为.11. (2014·辽宁高考理科·20)(本小题满分12分)圆的切线与x轴正半轴,y轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为P(如图),双曲线过点P且离心率为.()求的方程;()椭圆过点P且与有相同的焦点,直线过的右焦点且与交于A,B两点,若以线段AB为直径的圆过点P,求的方程.【解析】()设切点坐标为,.则切线斜率为切线方程为,即,

16、而,所以切线方程为.切线与两坐标轴的正半轴的交点为,切线与x轴正半轴,y轴正半轴围成的三角形面积为由(当且仅当时取最大值,即有最小值,此时点的坐标为.由题意得解得故的方程为()由(1)知,椭圆的焦点为,因此设椭圆的方程为.由点在椭圆上,得,解得;因而的方程为当直线的斜率不存在时,的方程为,易知,以线段AB为直径的圆不经过点P;不合题意.当直线的斜率存在时,设的方程为,,则是方程组的解.整理得由韦达定理, 所以 由题意知,从而因为所以即所以将代入解得或因此的方程为或即或12. (2014·辽宁高考理科·20)(本小题满分12分)圆的切线与轴正半轴,轴正半轴围成一个三角形,当该

17、三角形面积最小时,切点为.()求点的坐标;()焦点在轴上的椭圆过点,且与直线交于两点,若的面积为,求的标准方程.【解析】()设切点坐标为,.则切线斜率为切线方程为,即,而,所以切线方程为.切线与两坐标轴的正半轴的交点为,切线与x轴正半轴,y轴正半轴围成的三角形面积为由(当且仅当时取最大值,即有最小值,此时点的坐标为.()设C的方程为,点,则是方程组的解.整理得,由伟达定理得,又所以而点到直线的距离所以则又由点在C上知.解得.故所求C的方程为13. (2014·山东高考理科·21)已知抛物线的焦点为,为上异于原点的任意一点,过点的直线交于另一点,交轴的正半轴于点,且有.当点的

18、横坐标为3时,为正三角形.()求的方程;()若直线,且和有且只有一个公共点,()证明直线过定点,并求出定点坐标;()的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由.【解题指南】()由抛物线的定义及已知条件点的横坐标为3时,为正三角形.可求得p的值.()()先设出点A的坐标,根据表示出D点坐标,然后根据求出AE的方程,即可判断AE是否过定点.()可利用设出的A点坐标表示出的面积,然后利用基本不等式求出最值.【解析】()由题意知设,因为,由抛物线的定义知,解得t=3+p或t=-3(舍去),由,解得p=2.所以抛物线的方程为.()()由()知F(1,0)因为,则,故直线AB的斜率,因为直线和直线AB平行,设直线的方程为,代入抛物线方程得,由题意设.当,可得直线AE的方程为,由,整理可得,直线AE

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