量子体系本征值问题的解法

1、量子体系本征值问题的解法关键词：本征值；分析解法；矩阵解法；代数解法；线性谐振子摘 要：处理量子体系的本征值和本征态是量子理论的中心问题，对其求解方法进行研究具有一定的实际意义。本文对量子体系本征值问题的求解进行归纳与总结。对于处理本征值问题的常见方法（解析法、矩阵法），给出例证说明。另外，基于代数的方法，采用升降算符处理一维线性谐振子的本征值和本征态，进而推广到利用升降算符处理二维以及三维线性谐振子问题，得到二维以及三维线性谐振子的本征值；进一步基于代数方法对角动量的本征值问题进行研究。Solution methods of the eigenvalues for Quantum Syste

2、m Keywords: Eigenvalue; Analytical method; Matrix method; Algebraic method; Linear harmonic oscillatorAbstract: Solving eigenvalues and eigenfunctions for the quantum systems is mainly contents in the quantum theory. There are a lot of processing methods such as analytical method, matrix method and

3、factorization method, and so on. In this paper, several kinds of different methods on solving eigenvalues for the quantum systems are given and compared, and further summarized. Furthermore, on the basis of algebraic solution, the expanding resolutions were obtained for one-dimensional linear harmon

4、ic oscillator, the two-dimensional linear harmonic oscillator, three-dimensional linear harmonic oscillator, and even n-dimensional linear harmonic oscillator. Moreover, the eigenvalues and eigenstates of the angular momentum were shown by algebraic solution.引 言 我们在初学量子力学时解决本征值问题我们通常选择分析解法或者矩阵解法，而在物

5、理学的前沿领域广泛使用代数的方法处理本征值问题也是一种很重要的方法和思想，运用代数解法解决本征值问题可能会得到意想不到的效果，因此对于本征值问题的代数解法及其应用的研究具有重要的理论和实际意义.这就是这篇文章所要达到的要求.此外，这篇文章还在已知的用升降算符处理一维、二维线性谐振子求本征值问题的基础上，讨论是否在三维线性谐振子的算符解法求本征值进而为处理多维线性谐振子本征值问题提供了思路.1. 量子体系本征值问题的分析解法 运用分析方法求解本征值，其本质是讨论定态问题求出体系有可能存在的波函数以及在这些定态所对应的能量，归根到底可以概括为解定态薛定谔方程，下面通过研究无限深势阱来讲解分析解法求

6、本征值. 假设现在有一维无限深势阱为： （1-1）00xa/2-a/2U(x)如图所示 我们知道一维无限深势阱的特点是在时，它的势能是零；在时，其势能为无限大（如图所示）.定态薛定谔方程为：在阱内时， （1-2）在阱外时， （1-3）在（1-3）式.由波函数的标准条件我们知道应满足连续性和有限性，那么只有在时，式才成立.于是有 ， （1-4）显然，（1-4）式是求解（1-2）式的边界条件.为了运算方便，我们通常引入符号 （1-5）则有 ， . 方程的解为 ， . （1-6）由边界条件（即， ）知： 于是， 由此解得 （1-7） ;此时不管为何值恒为零，因此应将这组解舍去. （1-8）由此解得

7、， （1-9） （1-10） 由此解得 ， （1-11）对第种情况的解，显然为偶数；对于第 种情况的解，显然为奇数.对应的解恒为零.而等于负整数时方程的解和等于正整数时方程的解只相差一个负号，即二者线性相关.因此，综合、 得 ， （1-12）则 （1-13）由（1-5）式和（1-13）式可得根据上式可以解得体系的能量为 （1-14）上式对应于量子数的所有取值，有无穷多个与之对应。把（1.8）式代入（1.6）式，可以得到波函数为 （1-15） （1-16） 所以波函数为 （1-17）由归一化条件 （1-18） 可以解得 于是 （1-19） 2.量子体系本征值问题矩阵解法 我们知道态在不同的表象中

8、，可以用不同的波函数表述，而算符在表象中是用矩阵表述的，并且我们知道算符在其自身表象中是一个对角矩阵，下面将通过矩阵的形式来处理量子体系的本征值问题. 我们先来讨论这样一个问题，在任意一个力学量的表象中，怎样描述所描写的状态呢？ 我们可以先假设具有分立的本征值它对应的本证函数是 .将其按的本证函数展开，则有 . （2-1）由归一化条件， . （2-2）假设也满足归一化条件，于是 于是 . （2-3）据此，我们知道在所描写的态中测量力学量的结果是的概率 .那么在中可以表示为 . （2-4）用矩阵表示为： （2-5）其共轭矩阵为： . （2-6）我们知道算符在表象中用矩阵表示，所以力学量在表象中的

9、矩阵表示为 （2-7）其中，. 将按照表象的本征函数展开 （2-8）代入期望值公式有 （2-9） （2-10）那么 ， （2-11）所以有 . （2-12） （2-13）即 . （2-14）本征值方程为 （2-15）令 ， 则有 . （2-16）把上式用矩阵表示为： . （2-17）移向并化简得： . （2-18）显然，上式是一个线性齐次的代数方程组： （2-19）根据相关条件，系数行列式等于零这个方程组才有非零解，即 ，则久期方程为 （2-20）解这个久期方程，可以得到的本征值，它是一组值，即，我们如果把所求得的值代入（1-38）式，可以求出与之相对应的本征矢 .由此可知，我们就把解微分方程

10、求解本征值的问题变换为了求解（2-21）式的根的问题.3.运用代数解法处理量子体系的本征值问题前面我们讲到了用分析解法和矩阵解法处理量子体系的本征值问题，我们也比较习惯用这两中解法来求解；但应用最早且在物理学的前沿领域应用最为广泛的却不是这两种解法而是用代数的解法来求本征值问题。下面，将分别从一维、二维、三维线性谐振子的角度运用代数的解法来求其本征值和本征函数，这对于今后的学习很有帮助。3.1用升降算符求解一维线性谐振子的本征值 求一维线性谐振子的本征值问题主要是对因式分解法和 经典表达式与算符表达式的关系，得出谐振子的升降算符，进而求出一维线性谐振子的本征值以及本征函数.首先写出一维线性谐振

11、子的量为： （3-1）我们知道自然单位是我还知道能量单位和长度单位分别为、，下面进行因式分解处理 （3-2）由对易式可以知道， （3-3）现在，令 （3-4） 由 （3-2）式和 （3-4）式知道 （3-5）由 （3-3）式、（3-4）式得： （3-6）令 （3-7）则 （3-8）由 （3-8 ）式可知，由于都是正定厄米算符，对于任意一个量子态，若求得的本征值，则的本征值也就可以随之求出来了.由对易式， （3-9） 现在假设的本征态为， （3-10）由（3-5）式以及（3-9）式可以得到 因此，我们可以得到 （3-11）而 （3-12）由（3-11）式和（3-12）式知道， 所以， （3-13

12、）同理 所以，若的本征态为，其本征值为，显然，也是的本征态其征，值为；也是的本征态，其本征值为.由（3-10）知 于是 所以 （3-14）由（3-14）式可知的最小本征值为，对应的本征态为，即 现在从本征态开始，逐次用算符进行运算，于是可以得到所有的本征态：的本征态： ；的本征值： .运用归纳法可知的归一化本征态为 （3-15） 通过前面的叙述知道，有共同的本征函数，就有由式（3-6），知 于是可以得到 假设能量本征值为,则有 . （3-16） 由上式可知，最小本征值，即基态能量为 ， .由式（3-6）和式（3-11）得， ， ，显然也是的本征态，其本征值为，以此类推 也是能量本征值。将上述情

13、况综合整理，可以知道 . （3-17）即 . （3-18）3.2用升降算符求解二维线性谐振子的本征值 上面我们讲过了一维线性谐振子的处理方法，接下来讨论怎样用升降算符求解二维线性谐振子的本征值。 与一维线性谐振子的情况类似，在其基础上对于二维线性谐振子也可以通过因式分解和量来求其本征值和本征函数。二维线性谐振子的量： （3-19） （3-20）在一维线性谐振子中有，则（3-20）式也可以做类似的处理结果为 （3-21） 由于与对易，即，根据对易关系有 （3-22） （3-23） 参考一维线性谐振子的推导， （3-24）同理有 （3-25）综上所述，可以求得二维线性谐振子的本征函数 （3-26）

14、 （3-27）3.3用升降算符求解三维线性谐振子的本征值 上面我们我们讲到了用升降算符求解一维、二维线性谐振子的本征值问题，那么这种方法是否也同样适用于三维线性谐振子的本征值问题呢？下面我们就来用升降算符处理三维线性谐振子。按照一维、二维的方法，三维我们也同样采用因式分解和 量来求其本征值和本征函数。三维线性谐振子的量可以表示为： （3-28）显然， （3-29）在一维线性谐振子中有，则（3-32）式也可以做类似的处理结果为 （3-30）由于与对易，即，根据对易关系 以一维以及二维线性谐振子的处理方法为基础，可以做如下推导 （3-31） 参考一维线性谐振子的推导， 同理有 综上所述，可以求得三

15、维线性谐振子的本征函数 （3-32） （3-33）4. 角动量的本征值问题 我们知道轨道角动量用表示，自旋角动量用表示，总角动量用表示，则有.那么怎么求矢量算符的本征值呢？我们可以根据角动量算符的厄米性和基本的对易关系求解。假设矢量算符的三个分矢量分别为由对易关系则有 ， （4-1） ， （4-2） . （4-3） 且有 . （4-4） 以二维各向同性谐振子为例，两类声子的算符用来表达。由一维线性谐振子本征值问题中的正定厄米算符我们知道，正定厄米算符满足，则在二维谐振子中有 类比一维线性谐振子本征值的解法可知其本征值为 则归一化本征态为 （4-5）由于本题讨论的是角动量的本征值，所以需要对角动

16、量的三个分量进行定义 （4-6） （4-7）因此 （4-8） （4-9）则其本征值为 （4-10）那么，就是的本征值， （4-11）显然 （4-12）把，于是有 （4-13） （4-14）现在来讨论的取值范围 （4-15）由上面可知，的取值范围为根据（4-13）式、（4-14）式、（4-15）式可以推出 （4-16）于是 （4-17）根据（4-12）式知 （4-18） 因此 （4-19）5.结语通过上述求解量子体系本征值问题的讨论，我们可以发现在实际问题问题中用代数的方法求本征值这种方法是很重要的，而且可能会使问题变得简单；在解决问题的过程中我们发现不管是分解解法、矩阵解法还是代数的解法我们会得到相同的结果，这也启示我们在遇到问题时我们可以采取较简单的办法，而不必拘泥于经验。总之，对于量子体系本征值问题的解法的研究具有十分重要的理论和实践意义。 参考文献：1 周世勋.量子力学教程M.第二版.北京：高等教育出版社.2009.2 曾谨言.量子力学教程M.第二版.北京：科学出版社，2008.3 钱伯初，曾谨言.量子力学习题精选与剖析M.第二版.北京：科学出版社，1988.4 刘宇峰