电磁场与电磁波基础(第1章)

1、电磁场与电磁波基础电磁场与电磁波基础（第（第2版）版）电子工业出版社电子工业出版社前前 言言 电磁场与电磁波理论是近代自然科学中，理论相对最完整电磁场与电磁波理论是近代自然科学中，理论相对最完整、应用最广泛的支柱学科之一。电磁场与电磁波技术已遍及人、应用最广泛的支柱学科之一。电磁场与电磁波技术已遍及人类的科学技术、政治、经济、军事、文化以及日常生活的各个类的科学技术、政治、经济、军事、文化以及日常生活的各个领域。领域。 人类对电磁现象的认识源远流长，但其知识与应用开始形人类对电磁现象的认识源远流长，但其知识与应用开始形成系统化和理论化则始于成系统化和理论化则始于1818世纪，伽伐尼、伏打、高斯

2、、富兰世纪，伽伐尼、伏打、高斯、富兰克林、卡文迪什、库仑等著名科学家对电磁现象所作的卓有成克林、卡文迪什、库仑等著名科学家对电磁现象所作的卓有成效的研究启动了电磁世界这一巨轮的运转。效的研究启动了电磁世界这一巨轮的运转。 1919世纪是电磁研究蓬勃开展的时代，法拉第、欧姆、傅立世纪是电磁研究蓬勃开展的时代，法拉第、欧姆、傅立叶、基尔霍夫、奥斯特、安培、毕奥、萨伐尔、麦克斯韦、斯叶、基尔霍夫、奥斯特、安培、毕奥、萨伐尔、麦克斯韦、斯托克斯、汤姆森、赫兹、楞次、雅可比、西门，单单从这些名托克斯、汤姆森、赫兹、楞次、雅可比、西门，单单从这些名字和科学家的阵容，你就可以感受到这一时期的电磁科学取得字和

3、科学家的阵容，你就可以感受到这一时期的电磁科学取得了多么辉煌的成就。了多么辉煌的成就。 伽利略、尤其是牛顿在引力方面所获得的成果曾经几乎覆伽利略、尤其是牛顿在引力方面所获得的成果曾经几乎覆盖了整个科学领域，它对人类科学技术的发展产生了巨大的影盖了整个科学领域，它对人类科学技术的发展产生了巨大的影响和推动。然而，这种并不直接接触、也不需要媒质而瞬时就响和推动。然而，这种并不直接接触、也不需要媒质而瞬时就能产生作用的牛顿引力的背后还隐藏着什么呢？能产生作用的牛顿引力的背后还隐藏着什么呢？1919世纪的许多世纪的许多科学家在被迫接受和承认牛顿引力的超距作用的同时，却拒不科学家在被迫接受和承认牛顿引力

4、的超距作用的同时，却拒不接受电力和磁力也是如此。于是，法拉第和麦克斯韦提出了场接受电力和磁力也是如此。于是，法拉第和麦克斯韦提出了场的概念，即场是以有限速度传播的能够作为物体间相互作用的的概念，即场是以有限速度传播的能够作为物体间相互作用的媒介。由此而出现的场论，看似毁坏了牛顿物理的根基，实则媒介。由此而出现的场论，看似毁坏了牛顿物理的根基，实则是开辟了通向电磁学、而后是相对论的道路。是开辟了通向电磁学、而后是相对论的道路。1919世纪，科学界将物质间的作用力归结为三大类：世纪，科学界将物质间的作用力归结为三大类：引力引力、电力电力 和和 磁力磁力 麦克斯韦的电磁理论这时就成为了电磁世界的理论

5、核心，麦克斯韦的电磁理论这时就成为了电磁世界的理论核心，他的伟大理论简明扼要并严格地统一了电与磁的关系，这看起他的伟大理论简明扼要并严格地统一了电与磁的关系，这看起来好像是简化了物理学的理论，但实际上却使问题变得更加复来好像是简化了物理学的理论，但实际上却使问题变得更加复杂了，因为它使伽利略和牛顿所构筑的宇宙图像杂了，因为它使伽利略和牛顿所构筑的宇宙图像“顿起祸端顿起祸端”。 20 20世纪以来，在对电磁场的理论和实验进行深入研世纪以来，在对电磁场的理论和实验进行深入研究的过程中，人们所提出的两个看似简单的问题使得电究的过程中，人们所提出的两个看似简单的问题使得电磁学理论沿着两个方向开始发展。

6、磁学理论沿着两个方向开始发展。 麦克斯韦的理论将电磁辐射作为纯粹的波来处理，但许麦克斯韦的理论将电磁辐射作为纯粹的波来处理，但许多实验却表明辐射并不连续。于是，普朗克假设，电磁波只多实验却表明辐射并不连续。于是，普朗克假设，电磁波只能是以一种能量包的形式被发射或吸收，他由此创立了量子能是以一种能量包的形式被发射或吸收，他由此创立了量子力学，这种能量包就被称为能量子。力学，这种能量包就被称为能量子。19051905年，爱因斯坦用光年，爱因斯坦用光量子理论成功地解释了光电效应，并指出所有物质和辐射都量子理论成功地解释了光电效应，并指出所有物质和辐射都具有波粒二象性。这一结论随后即从物理学家们的理论

7、分析具有波粒二象性。这一结论随后即从物理学家们的理论分析和精密实验中得到了证实，这个结论复活了牛顿的光微粒论和精密实验中得到了证实，这个结论复活了牛顿的光微粒论，同时也使力学与电磁学近二十年的明显对立消除了。，同时也使力学与电磁学近二十年的明显对立消除了。对于这个问题的研究产生了爱因斯坦的相对论。对于这个问题的研究产生了爱因斯坦的相对论。第一个问题第一个问题电磁辐射的本质是什么？电磁辐射的本质是什么？第二个问题第二个问题电磁波在什么媒质中传播？电磁波在什么媒质中传播？ 由此看来，在任何意义上，我们都不能轻视一个多世纪由此看来，在任何意义上，我们都不能轻视一个多世纪来电磁场理论对科学技术以及人类

8、社会所做出的巨大贡献。来电磁场理论对科学技术以及人类社会所做出的巨大贡献。可以毫不夸张地说，没有电磁场理论的发展，就不可能有现可以毫不夸张地说，没有电磁场理论的发展，就不可能有现代信息化社会的出现。由于电磁场理论对整个电子和信息技代信息化社会的出现。由于电磁场理论对整个电子和信息技术的发展所起到的如此强大的推动力，迫使人们必须去了解术的发展所起到的如此强大的推动力，迫使人们必须去了解并解决各种复杂条件下的电磁工程中的技术和设计问题，从并解决各种复杂条件下的电磁工程中的技术和设计问题，从这个意义上来说，学习电磁场理论就成为了整个行动的第一这个意义上来说，学习电磁场理论就成为了整个行动的第一步。步

9、。 麦克斯韦是继法拉第之后，集电磁学大成的伟大科学家。麦克斯韦是继法拉第之后，集电磁学大成的伟大科学家。他依据库仑、高斯、欧姆、安培、毕奥、萨伐尔、法拉第等前他依据库仑、高斯、欧姆、安培、毕奥、萨伐尔、法拉第等前人的一系列发现和实验成果，建立了第一个完整的电磁理论体人的一系列发现和实验成果，建立了第一个完整的电磁理论体系，不仅科学地预言了电磁波的存在，而且揭示了光、电、磁系，不仅科学地预言了电磁波的存在，而且揭示了光、电、磁现象的本质的统一性，完成了物理学的又一次大综合。这一理现象的本质的统一性，完成了物理学的又一次大综合。这一理论自然科学的成果，奠定了现代的电力工业、电子工业和无线论自然科学

10、的成果，奠定了现代的电力工业、电子工业和无线电工业的基础。电工业的基础。科学家小传科学家小传英国科学家英国科学家 詹姆斯詹姆斯.克拉克克拉克.麦克斯韦麦克斯韦 （James Clerk Maxwell 1831-1879） 电学是物理学的一个重要分枝，在它的发展过程中，很多电学是物理学的一个重要分枝，在它的发展过程中，很多物理学巨匠都曾作出过杰出的贡献。法国物理学家查利物理学巨匠都曾作出过杰出的贡献。法国物理学家查利奥古斯奥古斯丁丁库仑就是其中影响力非常巨大的一员。库仑就是其中影响力非常巨大的一员。 17851785年，库仑用自己发明的扭秤建立了静电学中著名的库年，库仑用自己发明的扭秤建立了静

11、电学中著名的库仑定律。同年，他在给法国科学院的仑定律。同年，他在给法国科学院的电力定律电力定律的论文中详的论文中详细地介绍了他的实验装置，测试经过和实验结果。细地介绍了他的实验装置，测试经过和实验结果。 法国物理学家法国物理学家 查利查利奥古斯丁奥古斯丁库库仑仑 （Charles Augustin de Coulomb 17361806） 法拉第法拉第17911791年年9 9月月2222日生在一个手工工人家庭，父亲是日生在一个手工工人家庭，父亲是一个铁匠，家里人没有特别的文化，而且颇为贫穷。一个铁匠，家里人没有特别的文化，而且颇为贫穷。 但由但由于他的勤学好问，于他的勤学好问，1812181

12、2年成为了伦敦皇家学院院长戴维的助手，年成为了伦敦皇家学院院长戴维的助手，他的科学研究道路由此而展开他的科学研究道路由此而展开 。法拉第所研究的课题广泛多样，按编年顺序排列法拉第所研究的课题广泛多样，按编年顺序排列, ,有如下各有如下各方面：铁合金研究（方面：铁合金研究（1818181818241824）；氯和碳的化合物（）；氯和碳的化合物（18201820）；）；电磁转动（电磁转动（18211821）；气体液化（）；气体液化（18231823，18451845）；光学玻璃（）；光学玻璃（1825182518311831）；苯的发明（）；苯的发明（18251825）；电磁感应现象（）；电磁感应

13、现象（18311831）；不同来）；不同来源的电的同一性（源的电的同一性（18321832）；电化学分解（）；电化学分解（18321832年起）；静电学，年起）；静电学，电介质（电介质（18351835年起）；气体放电（年起）；气体放电（18351835年）；光、电和磁（年）；光、电和磁（18451845年起）；抗磁性（年起）；抗磁性（18451845年起）；年起）； 射线振动思想射线振动思想 （18461846年起）；年起）；重力和电（重力和电（18491849年起）；时间和磁性（年起）；时间和磁性（18571857年起）。年起）。 英国科学家英国科学家 迈克尔迈克尔法拉第法拉第 (Mich

14、ael Faraday 17911867) 安培安培17751775年年1 1月月2222日生于里昂一个富商家庭。年少时就显日生于里昂一个富商家庭。年少时就显出数学才能。出数学才能。安培最主要的成就是安培最主要的成就是1820182018271827年对电磁作用的研究：年对电磁作用的研究：发现了安培定则发现了安培定则 发现电流的相互作用规律发现电流的相互作用规律 发明了电流计发明了电流计 提出分子电流假说提出分子电流假说 总结了电流元之间的作用规律总结了电流元之间的作用规律安培定律安培定律 法国物理学家法国物理学家 安培安培 (Andr Marie Amp 17751836年年) 赫兹生于汉堡

15、，早在少年时代就被光学和力学实验所吸赫兹生于汉堡，早在少年时代就被光学和力学实验所吸引。十九岁入德累斯顿工学院学工程，由于对自然科学的爱引。十九岁入德累斯顿工学院学工程，由于对自然科学的爱好，次年转入柏林大学，在物理学教授亥姆霍兹指导下学习好，次年转入柏林大学，在物理学教授亥姆霍兹指导下学习。18851885年任卡尔鲁厄大学物理学教授。年任卡尔鲁厄大学物理学教授。18891889年，接替克劳修年，接替克劳修斯担任波恩大学物理学教授，直到逝世。斯担任波恩大学物理学教授，直到逝世。赫兹对人类最伟大的贡献是用实验证实了电磁波的存在赫兹对人类最伟大的贡献是用实验证实了电磁波的存在。 德国物理学家德国物

16、理学家 赫兹赫兹 （(HeinrichRudolfHertz, 18571894)l课程的意义课程的意义工程意义；理论意义工程意义；理论意义电电电磁场电磁场电磁波电磁波 静态场静态场 时变场时变场空间空间 传播传播 介质介质 l课程的性质和地位课程的性质和地位电气信息类专业的电气信息类专业的 技术基础课技术基础课l学习内容学习内容l学习方法学习方法教材：教材：电磁场与电磁波基础电磁场与电磁波基础（第（第2版）版）刘岚刘岚 黄秋元黄秋元 程莉程莉 胡耀祖胡耀祖 编著编著 电子工业出版社电子工业出版社 20102010参考书：参考书：1.1.电磁场与电磁波理论基础电磁场与电磁波理论基础学习指导与习

17、题解答学习指导与习题解答 刘岚、黄秋元、胡耀祖、程莉编刘岚、黄秋元、胡耀祖、程莉编. . 武汉理工大学出版社，武汉理工大学出版社，200920092.2.电磁场与电磁波电磁场与电磁波谢处方，饶克谨编谢处方，饶克谨编. 高等教育出版社，高等教育出版社，200220023.3.电磁场与电磁波典型题解析及自测试题电磁场与电磁波典型题解析及自测试题 赵家升主编赵家升主编, ,西北工业大学出版社西北工业大学出版社,2002,20024.4.电磁波理论电磁波理论( (影印版影印版, ,英文英文),J.A.Kong),J.A.Kong编编 高等教育出版社，高等教育出版社，20022002第第1 1章章 矢量

18、分析与场论矢量分析与场论重点重点：1. 1. 标量、矢量，标量场、矢量场标量、矢量，标量场、矢量场3. 3. 通量与散度通量与散度 2. 2. 矢量的运算，坐标系矢量的运算，坐标系4. 4. 环量与旋度环量与旋度5. 5. 方向导数与梯度方向导数与梯度 7. 7. 斯托克斯定理斯托克斯定理 6. 6. 高斯散度定理高斯散度定理 8. 8. 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理 序：场与矢量序：场与矢量 我们周围的物理世界中存在着各种各样的场，例我们周围的物理世界中存在着各种各样的场，例如自由落体现象，说明存在一个重力场；指南针在地如自由落体现象，说明存在一个重力场；指南针在地球磁场中的偏转，说明存在一个磁

19、场；人们对冷暖的球磁场中的偏转，说明存在一个磁场；人们对冷暖的感觉说明空间分布着一个温度场等等。感觉说明空间分布着一个温度场等等。 场是一种特殊的物质，它是具有能量的，场中的场是一种特殊的物质，它是具有能量的，场中的每一点的某一种物理特性，都可以用一个确定的物理每一点的某一种物理特性，都可以用一个确定的物理量来描述。量来描述。 当对这些物理量的描述与空间坐标或方向性有关当对这些物理量的描述与空间坐标或方向性有关时，通常需要使用矢量来描述它们，这些矢量在空间时，通常需要使用矢量来描述它们，这些矢量在空间的分布就构成了所谓的矢量场。分析矢量场在空间的的分布就构成了所谓的矢量场。分析矢量场在空间的分

20、布和变化情况，需要应用矢量的分析方法和场论的分布和变化情况，需要应用矢量的分析方法和场论的基本概念。基本概念。 1.1 1.1 矢量的表示和运算矢量的表示和运算 1.1.标量标量 只有大小，不包含方向的物理量叫做标量只有大小，不包含方向的物理量叫做标量(Scalar) (Scalar) 。如：温度、电位、能量、长度、时间等。如：温度、电位、能量、长度、时间等。 既有大小，同时又包含方向的物理量称为矢量既有大小，同时又包含方向的物理量称为矢量(Vector) (Vector) 。如：力、速度、加速度等。如：力、速度、加速度等。 2. 矢量矢量根据国家有关符号使用标准，印刷时使用黑斜根据国家有关符

21、号使用标准，印刷时使用黑斜体字母来表示矢量。书写时，矢量表示为体字母来表示矢量。书写时，矢量表示为 。 A矢量的大小矢量的大小称为矢量的模称为矢量的模矢量的方向矢量的方向称为单位矢量称为单位矢量 矢量的表示矢量的表示xxyyzzAe Ae Ae Arrrr222xyzAAAArxyzeee、 、rrr3.矢量的表示矢量的表示 在三维空间中在三维空间中在一维坐标系中矢量表示为在一维坐标系中矢量表示为aAA e矢量的模矢量的模表示矢量的方向表示矢量的方向分别为矢量在笛卡儿坐标系中的分别为矢量在笛卡儿坐标系中的x x轴分量、轴分量、xAyAzAy y轴分量和轴分量和z z轴分量。轴分量。4.矢量的代

22、数运算矢量的代数运算 l矢量的加法和减法矢量的加法和减法 （平行四边形法则）（平行四边形法则）()()()xxxyyyzzzABABeABeABerrrrr()()()xxxyyyzzzABABeABeABerrrrrArBrABrrABrr5.标量与矢量相乘标量与矢量相乘 标量标量 乘以矢量乘以矢量 A ，其积仍为矢量，并满足以下关系，其积仍为矢量，并满足以下关系 xyzxyzAA eA eA e ,0() ,0aaAeAAe 设设两矢量进行标积后的结果变成了无方向性的两矢量进行标积后的结果变成了无方向性的6.6.矢量的标积矢量的标积 （Scalar ProductScalar Produc

23、t）cosxxyyzzA BABA BA BA Br rxxyyzzAe Ae Ae ArrrrxxyyzzBe Be Be Brrrr则则数量值数量值 !为矢量为矢量 与矢量与矢量 之间的夹角之间的夹角 ArBr物理意义物理意义 如果作用在某一物体上的力为如果作用在某一物体上的力为 ，当，当 A A 使该物体发生位移时，位移矢量为使该物体发生位移时，位移矢量为 ，则，则 表示表示力力 使物体位移所作的功。使物体位移所作的功。 B A B A 设设两矢量进行矢积后的结果仍为矢量两矢量进行矢积后的结果仍为矢量7.矢量的矢积矢量的矢积 （Vector Product）sinnA Be ABrrrx

24、xyyzzAe Ae Ae ArrrrxxyyzzBe Be Be Brrrr则则为矢量为矢量 与矢量与矢量 之间的夹角之间的夹角 ArBrnerrr为矢量A与矢量B所形成平面的法向单位矢量()()()yzzyxzxxzyxyyxzABA BA BeA BA BeA BA Be上式可上式可记为记为xyzxyzxyzeeeABAAABBB注注物理意义物理意义矢积的几何意义矢积的几何意义 以两矢量为邻边所围成的平以两矢量为邻边所围成的平行四边形的面积为矢积的大小，行四边形的面积为矢积的大小，以该平行四边形的法向为矢积的以该平行四边形的法向为矢积的方向。方向。 当当 表示力臂矢量时，则矢积表示作用于

25、物体的力矩。表示力臂矢量时，则矢积表示作用于物体的力矩。 表示作用在一物体上的力，而表示作用在一物体上的力，而 BA 常借助于画出其一系列等值间隔的等值面来直常借助于画出其一系列等值间隔的等值面来直观地表现标量场的空间分布情况。观地表现标量场的空间分布情况。 常借助于画出其场线（力线）的方法来形象和常借助于画出其场线（力线）的方法来形象和直观地描述矢量场在空间的分布情形或沿空间坐标直观地描述矢量场在空间的分布情形或沿空间坐标的变化情况。的变化情况。 8.标量场与矢量场标量场与矢量场 u=2u=2u=3u=3u=4u=4等值面等值面场线（力线）场线（力线）场既然是某种物理量的空间分布，就应服从因

26、果律。场既然是某种物理量的空间分布，就应服从因果律。其因，称之为场源，场都是由场源产生的。其因，称之为场源，场都是由场源产生的。其果，就是空间某种分布形式的场。其果，就是空间某种分布形式的场。 分析讨论一个场的时候，要注意场、场源和场分析讨论一个场的时候，要注意场、场源和场的环境这三者之间的关联性。如果能用一个数学关的环境这三者之间的关联性。如果能用一个数学关系来描述电磁场，那么这样的数学关系中一定包含系来描述电磁场，那么这样的数学关系中一定包含了体现场、场源和场的环境的相关因素。了体现场、场源和场的环境的相关因素。 在直角坐标系中，空间任意一点在直角坐标系中，空间任意一点M M的位置可以用三

27、个相互独立的变量的位置可以用三个相互独立的变量, , ,表示表示, ,记为记为(x,y,z).(x,y,z).它们的变化范围分别是：它们的变化范围分别是： 。 1.2 1.2 正交坐标系正交坐标系 (Quadrature Coordinate system(Quadrature Coordinate system） 考虑到被研究的物理量的空间分布及其变化规律不同，考虑到被研究的物理量的空间分布及其变化规律不同，或物体的几何形状不同等等，可采用直角坐标系、圆柱坐标或物体的几何形状不同等等，可采用直角坐标系、圆柱坐标系和球坐标系，这是最常用的三种正交坐标系。系和球坐标系，这是最常用的三种正交坐标系

28、。1.1.直角坐标系直角坐标系( (笛卡儿坐标系笛卡儿坐标系) )YZXM(x,y,z)0 任意一点的单位矢量亦即三个坐标轴的单位矢量，因任意一点的单位矢量亦即三个坐标轴的单位矢量，因为它们处于正交坐标系中，因此，它们相互垂直并遵循右为它们处于正交坐标系中，因此，它们相互垂直并遵循右手螺旋法则，即手螺旋法则，即 xyzyzxzxyeeeeeeeee0 xyyzzxeeeeee1xxyyzzeeeeee 在直角坐标系中，空间任一点在直角坐标系中，空间任一点 M M 的位置可用一矢量来的位置可用一矢量来表示，即表示，即 zzyyxxzyxAeAeAezeyexeAOMXZYM(x,y,z)0A在直

29、角坐标系下，任意矢量的线元可表示为在直角坐标系下，任意矢量的线元可表示为 在直角坐标系下，任意曲面上的面元可表示为在直角坐标系下，任意曲面上的面元可表示为 在直角坐标系下，任意体积元可表示为在直角坐标系下，任意体积元可表示为 xyzdldxedyedzexxyyzzdSdydzedSdxdzedSdxdyedVdxdydz点点 P(x0,y0,z0)0yy（平面）（平面） o x y z0 xx（平面）（平面）0zz（平面（平面）P 直角坐标系直角坐标系 xezeyex yz直角坐标系的长度元、面积元、体积元直角坐标系的长度元、面积元、体积元 odzd ydxzyeSxxdddyxeSzzdd

30、dzxeSyyddd 在圆柱坐标系中，空在圆柱坐标系中，空间任一点可用间任一点可用r, r, ,z,z三个坐标变量来表示，三个坐标变量来表示，点的位置在圆柱坐标系下点的位置在圆柱坐标系下可写为（可写为（r, r, ,z,z）。）。三个变量三个变量r, r, ,z ,z的变的变化范围分别是：化范围分别是：0 0 r r 0 0 2 2 2.2.圆柱坐标系圆柱坐标系圆柱坐标系的三个变量的单位矢量分别是圆柱坐标系的三个变量的单位矢量分别是 rzeee，它们始终保持相互正交，且符合右手螺旋法则，即它们始终保持相互正交，且符合右手螺旋法则，即 rzzrzreeeeeeeee空间任一点的位置可用单位矢量表

31、示为空间任一点的位置可用单位矢量表示为rzeeeOMArz圆柱坐标系变量与直角坐标系的关系是圆柱坐标系变量与直角坐标系的关系是rcos rsin 22yxrzyarctg在圆柱坐标系下，任意矢量的线元可表示为在圆柱坐标系下，任意矢量的线元可表示为 在圆柱坐标系下，任意曲面上的面元可表示为在圆柱坐标系下，任意曲面上的面元可表示为 在圆柱坐标系下，任意体积元可表示为在圆柱坐标系下，任意体积元可表示为 dzerdedreldzrrzdSdSdSdSrzdVdl dl dlrdrd dz3.3.球坐标系球坐标系 l球坐标系中，三个坐标球坐标系中，三个坐标变量分别为：变量分别为：R,R,， 这三个变量的

32、变化范围这三个变量的变化范围是：是： 0R0R 00 0 0 2 2 球坐标系的三个变量的单位矢量分别是球坐标系的三个变量的单位矢量分别是 Reee，它们始终保持相互正交，且符合右手螺旋法则，即它们始终保持相互正交，且符合右手螺旋法则，即 RRReeeeeeeee空间任一点的位置可用单位矢量表示为空间任一点的位置可用单位矢量表示为ReeeAR球坐标系变量与直角坐标系变量的关系为球坐标系变量与直角坐标系变量的关系为 Rsincos Rsinsin Rcos222zyxRzyxtg22xytg球坐标系变量与圆柱坐标系变量的关系为球坐标系变量与圆柱坐标系变量的关系为 rRsin zRcos22zrR

33、zrtg在球坐标系下，任意矢量的线元可表示为在球坐标系下，任意矢量的线元可表示为 在球坐标系下，六个坐标点组成的六面体的面积元在球坐标系下，六个坐标点组成的六面体的面积元可表示为可表示为 在球坐标系下，任意体积元可表示为在球坐标系下，任意体积元可表示为 dReRdedReldRsin2sinRdvdl dl dlRdRd d 2sinsinRRRRRdSdl dl eRd d edSdl dl eRdRd edSdl dl eRdRd e 球坐标系中的线元、面元和体积元球坐标系中的线元、面元和体积元圆柱坐标系与直角坐标系之间单位矢量的关系圆柱坐标系与直角坐标系之间单位矢量的关系 cossins

34、incosrxyxyeeeeeecossinsincosxryreeeeeezzee圆柱坐标系与球坐标系之间单位矢量的关系圆柱坐标系与球坐标系之间单位矢量的关系 sincoscossinRrzrzeeeeeesincoscossinrRzReeeeeeee球坐标与笛卡儿坐标系之间单位矢量的关系球坐标与笛卡儿坐标系之间单位矢量的关系 sincossinsincoscoscoscos sinsinsincosRxyzxyzxyeeeeeeeeeeesincoscoscossinsinsincos sincoscossinxRyRzReeeeeeeeeee+1.3 1.3 矢量函数的通量与散度矢量函

35、数的通量与散度(Flux and Divergence of Vector function(Flux and Divergence of Vector function）1.1.矢量的通量矢量的通量 为了研究矢量场的空间变化情况，我们需要引入矢量场为了研究矢量场的空间变化情况，我们需要引入矢量场的散度的概念。矢量函数的散度是一个标量函数，它表示矢的散度的概念。矢量函数的散度是一个标量函数，它表示矢量场中任意一点处，通量对体积的变化率，即描述了通量源量场中任意一点处，通量对体积的变化率，即描述了通量源的强度。的强度。 在研究电场、磁场时，可用一组曲线来形象地表示矢量在研究电场、磁场时，可用一组

36、曲线来形象地表示矢量场的空间分布，如电场的电力线、磁场中的磁力线等，它们场的空间分布，如电场的电力线、磁场中的磁力线等，它们都是带有方向的线，线上每一点的切线方向代表了这一点处都是带有方向的线，线上每一点的切线方向代表了这一点处矢量场的方向，这样的一些有方向的曲线叫矢量线。矢量场矢量场的方向，这样的一些有方向的曲线叫矢量线。矢量场中每一点都有唯一的一条矢量线通过，线的疏密表示该点矢中每一点都有唯一的一条矢量线通过，线的疏密表示该点矢量场的大小。量场的大小。 矢量线矢量线 借用矢量线的概念，通量可借用矢量线的概念，通量可以认为是矢量穿过曲面的矢量以认为是矢量穿过曲面的矢量线总数，矢量线也叫通量线

37、，穿线总数，矢量线也叫通量线，穿出的为正，穿入的为负。矢量场出的为正，穿入的为负。矢量场也可称为通量面密度矢量。也可称为通量面密度矢量。 通量的物理意义通量的物理意义矢量矢量 E E 沿有向曲面沿有向曲面S S 的面积分的面积分SEdS 0 0 ( (有正源有正源) ) 0 0 ( (有负源有负源) ) = = 0 0 ( (无源无源) )若若S 为闭合曲面为闭合曲面 ，可以根据净通量的大小判断闭合，可以根据净通量的大小判断闭合面中源的性质面中源的性质: :sdsE 如果包围点如果包围点P P的闭合面的闭合面 S S所围区域所围区域 V V以任意方式缩小为点以任意方式缩小为点P P时时, ,

38、通量与体积之比的极限存在，即通量与体积之比的极限存在，即V01divlimVSdAASzAyAxAzyxAAdiv2 2、散度、散度计算公式计算公式 如果此极限存在，则称此极限为矢量场在空间点处的如果此极限存在，则称此极限为矢量场在空间点处的散度（散度（divergencedivergence），记作：），记作：div div 称为称为哈密顿算子，它是一个矢性微分算子，即哈密顿算子，它是一个矢性微分算子，即式中式中zeyexezyx在在圆圆柱坐标系下柱坐标系下 1rzeeerrz 在球坐标系下在球坐标系下 11sinReeeRRR ()11divrzAr AAAArrrz22111div()(

39、sin)sinsinRAAAR AARRRR 在矢量场中，若在矢量场中，若 A= A= 0 0，称之为有源场，称之为有源场， 称为称为( (通量通量) )源密度；若矢量场中处处源密度；若矢量场中处处 A=0 A=0，称之为无源场。，称之为无源场。 散度代表矢量场的通量源的分布特性散度代表矢量场的通量源的分布特性 矢量的散度是一个标量，是空间坐标点的函数矢量的散度是一个标量，是空间坐标点的函数散度的物理意义散度的物理意义（无源）0A（正源）0 A（负源）0 AVnnVnSdVVdnAASA10lim 该公式表明了区域该公式表明了区域V V 中场中场A A与边界与边界S S上的场上的场A A之间的

40、关系。之间的关系。VSdVdASA 矢量函数的面积分与体积分的互换。矢量函数的面积分与体积分的互换。SvvdSAA10limdiv 由于由于 是通量源密度，是通量源密度，即穿过包围单位体积的闭合面即穿过包围单位体积的闭合面的通量，对的通量，对 体积分后，体积分后，穿出闭合面穿出闭合面S S的通量的通量AA3 3、高斯公式、高斯公式( (散度定理散度定理) )高斯公式高斯公式1.4 1.4 矢量函数的环量与旋度矢量函数的环量与旋度 ( (Circulation and and rotation of Vector function of Vector function）1.1.矢量的环量矢量的环

41、量 通量和散度是针对具有通量源的矢量场，并用来描述场通量和散度是针对具有通量源的矢量场，并用来描述场中的通量源与场点的关系的。而能够产生矢量场的源除了通中的通量源与场点的关系的。而能够产生矢量场的源除了通量源外，还有一类源，叫旋涡源。要讨论旋涡源所形成的场量源外，还有一类源，叫旋涡源。要讨论旋涡源所形成的场，就需要讨论矢量场的旋度，就需要讨论矢量场的旋度(rotation)(rotation)，而要讨论矢量函数，而要讨论矢量函数的旋度，必须先引入环量的概念。的旋度，必须先引入环量的概念。 矢量矢量 A A 沿空间有向闭合曲线沿空间有向闭合曲线 C C 的线积分的线积分cldAC称为矢量称为矢量

42、A A的环量的环量该环量表示绕线旋转趋势的大小。该环量表示绕线旋转趋势的大小。环量的计算环量的计算水流沿平行于水管轴线方向流动水流沿平行于水管轴线方向流动C=0C=0，无涡旋运动，无涡旋运动流体做涡旋运动流体做涡旋运动C C 0 0，有产生涡旋的源，有产生涡旋的源例：流速场例：流速场流速场流速场 环量是一个代数量（标量），其大小和正负与矢量场的分环量是一个代数量（标量），其大小和正负与矢量场的分布有关，而且与所取积分环绕方向有关。布有关，而且与所取积分环绕方向有关。 过点过点P P作一微小曲面作一微小曲面 S S, ,它的边界曲线记为它的边界曲线记为 L L, ,面的法线面的法线方与曲线绕向成

43、右手螺旋法则。当方与曲线绕向成右手螺旋法则。当 S S点点P P时时, ,存在极限环存在极限环量密度量密度LldSdSdCPS1lim取不同的路径，其环量密度不同。取不同的路径，其环量密度不同。旋度是一个矢量，模值等于环量密度的最大值；旋度是一个矢量，模值等于环量密度的最大值；方向为最大环量密度的方向。方向为最大环量密度的方向。AArot ndSdCeA rot 2.2.矢量的旋度矢量的旋度 (1) (1) 环量密度环量密度 (2) (2) 旋度旋度 它与环量密度的关系为它与环量密度的关系为在直角坐标系下在直角坐标系下zyxzyxzyxAAAeeeArot()()()yyzxzxxyzAAAA

44、AAAAeeeyzzxxy在圆柱坐标系下在圆柱坐标系下rzrzeeerrArzArAArot111()()()zrzrrzAAAAAAAeeerArzzrr rr在球坐标系下在球坐标系下2sinsinsinRRRRRARRReeerot(sin)sin1()()sinRRReAAAAReeAARARARRRR 矢量的旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数。矢量的旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数。 点点P的旋度的大小是该点环量密度的最大值。的旋度的大小是该点环量密度的最大值。 在矢量场中，若在矢量场中，若A=J 0,称之为旋度场称之为旋度场( (或涡旋场或涡旋场) )， J 称为旋度源称为旋度源( (

45、或涡旋源或涡旋源) )； 点点P的旋度的方向是该点最大环量密度的方向。的旋度的方向是该点最大环量密度的方向。 若矢量场处处若矢量场处处A=0，称之为无旋场。称之为无旋场。 (3) (3)旋度的物理意义旋度的物理意义旋度旋度的重要性质：任何一个矢量的旋度的散度恒等于的重要性质：任何一个矢量的旋度的散度恒等于0 0()0A A A 是环量密度，即围绕单位面积环是环量密度，即围绕单位面积环路上的环量。因此，其面积分后，环量为路上的环量。因此，其面积分后，环量为iiddlilSAA)(SAAdldSl)( 在电磁场理论中，在电磁场理论中，GaussGauss定理和定理和 StockesStockes定

46、理是两个非常定理是两个非常重要的定理。重要的定理。 矢量函数的线积分与面积分的互换矢量函数的线积分与面积分的互换 该公式表明了区域该公式表明了区域S S中场中场A与边界与边界L L上的场上的场A之间的关系之间的关系 (4) (4)斯托克斯斯托克斯(Stockes)(Stockes)定理定理 Stocke Stockes s定理定理1.5 1.5 标量函数的方向导数与梯度标量函数的方向导数与梯度( (Directivity derivative and and gradient of Scalar functionof Scalar function） 在一定条件下，矢量场是可以用标量（标量函数

47、）来在一定条件下，矢量场是可以用标量（标量函数）来描述的，这样就可以简化运算。由矢量和标量的定义可知描述的，这样就可以简化运算。由矢量和标量的定义可知，二者之间的差别就是，矢量有大小有方向，而标量有大，二者之间的差别就是，矢量有大小有方向，而标量有大小却无方向。那么，如果要用标量来描述矢量场，势必就小却无方向。那么，如果要用标量来描述矢量场，势必就需要给标量添加上方向因素后，这种描述才成立。但如何需要给标量添加上方向因素后，这种描述才成立。但如何给标量添加上方向因素呢？在标量场中，空间每一点都只给标量添加上方向因素呢？在标量场中，空间每一点都只能对应于一个数值，这个数值是用标量函数来描述的。在

48、能对应于一个数值，这个数值是用标量函数来描述的。在研究标量场时，我们常常关心的是标量函数值随空间位置研究标量场时，我们常常关心的是标量函数值随空间位置的变化规律，即标量函数最大变化率及其方向。这个标量的变化规律，即标量函数最大变化率及其方向。这个标量函数在空间中的最大变化率和最大变化率的方向正是我们函数在空间中的最大变化率和最大变化率的方向正是我们所需要的方向因素。所需要的方向因素。 1.1.标量函数的方向导数标量函数的方向导数（1 1）标量场）标量场-等值线等值线( (面面) )constzyxu),(其方程为其方程为等值线等值线标量场中每一点都有一个标量场中每一点都有一个等值面通过，且只有

49、一个。等值面通过，且只有一个。也就是说，等值面充满整也就是说，等值面充满整个标量场所在的空间，且个标量场所在的空间，且互不相交。互不相交。 等值面的性质等值面的性质u=2u=2u=3u=3u=4u=4等值面等值面（2 2）方向导数）方向导数 方向导数表示函数方向导数表示函数(x,y,z)(x,y,z)在一给定点处沿某一方向在一给定点处沿某一方向的标量函数的变化率。的标量函数的变化率。 式中式中coscoscoslcoscoscosyxllllll，222lxyzllllxyz e e e称为称为方向余弦方向余弦M（x,y,z）M（x+ x,y + y,z + z） 设一个标量函数设一个标量函数

50、(x,y,z), ,若函数若函数在点在点P可微可微, ,则则 在在点点P沿任意方向沿任意方向 的方向导数为的方向导数为: : l| co s(,)llGeGGel则有则有: :式中式中 分别是与分别是与x,y,z轴的夹角轴的夹角， 设设xyzGeeexyzcoscoscoslxyzeeeecoscoscoslxyz当当 , ,即即 与与 方向一致时方向一致时, , 为最大为最大. .0),(leGleGlxyzGeeegradxyz哈密顿算子哈密顿算子zeyexexxx式中式中 则可定义梯度则可定义梯度 (gradient)标量场的梯度是一个矢量标量场的梯度是一个矢量, ,是空间坐标点的函数是

51、空间坐标点的函数; ; 梯度的方向为该点最大方向导数的方向梯度的方向为该点最大方向导数的方向, ,即与等值线（面）即与等值线（面）相垂直的方向，它指向函数的增加方向相垂直的方向，它指向函数的增加方向. . 梯度的大小为该点标量函数梯度的大小为该点标量函数 的最大变化率，即该点最的最大变化率，即该点最 大方向导数大方向导数; ; 梯度的物理意义梯度的物理意义例例1 1 三维高度场的梯度三维高度场的梯度例例2 2 电位场的梯度电位场的梯度高度场的梯度高度场的梯度 与过该点的等高线垂直；与过该点的等高线垂直； 数值等于该点位移的最大变化率；数值等于该点位移的最大变化率； 指向地势升高的方向。指向地势

52、升高的方向。电位场的梯度电位场的梯度 与过该点的等位线垂直；与过该点的等位线垂直； 指向电位增加的方向。指向电位增加的方向。 数值等于该点的最大方向导数；数值等于该点的最大方向导数； 梯度的重要性质：梯度的重要性质：梯度的旋度恒等于梯度的旋度恒等于0 1.6 1.6 格林公式格林公式 （GreenGreens theorems theorem） 格林公式又称格林定理，是矢量分析中的重要公式。格林公式又称格林定理，是矢量分析中的重要公式。在电磁场理论中，在研究解的唯一性和电磁辐射及电磁波在电磁场理论中，在研究解的唯一性和电磁辐射及电磁波传播等问题中经常用到。传播等问题中经常用到。 A 令令 则则

53、2()A 根据散度定理根据散度定理 vssAdvA dSA ndS 第一格林公式第一格林公式 2()vsdvdsn 第二格林公式第二格林公式 22()()VsdVdSnn将上式将上式 中的中的 和和 互换互换 则则2()VsdVdSn将其与第一格林公式相减，就得到将其与第一格林公式相减，就得到 1.7 1.7 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理( (Helmholtz Helmholtz s Theorems Theorem) ) 1.矢量场的散度是一个标量函数，而矢量场的旋矢量场的散度是一个标量函数，而矢量场的旋度却是一个矢量函数度却是一个矢量函数 。散度和旋度的比较散度和旋度的比较 2.散度表示场中某点的通量密度，它是场中任一散度表示场中某点的通量密度，它是场中任一点通量源强度的量度；而旋度表示场中某点的最大环点通量源强度的量度；而旋度表示场中某点的最大环量强度，它是场中任一点处旋涡源强度的量度。量强度，它是场中任一点处旋涡源强度的量度。 3.散度由各场分量沿各自方向上的变化率来决定。散度由各场分量沿各自方向上的变化率来决定。 而旋度则由各场分量在与之正交方向上的变化率来决而旋度则由各场分量在与之正交方向上的变化率来决定。定。 通过比较说明通过比较说明