概率论与数理统计答案(三)

1、习题三1.将一硬币抛掷三次， 以X表示在三次中出现正面的次数，以Y表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值 .试写出X和Y的联合分布律.【解】X和Y的联合分布律如表:X012310O3 4X2 | X2 | 00 | 3C3j-父-父-=3/ 80318001111X - X =2 2 2 82.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取 4只球，以X表示取到黑球的只 数，以Y表示取到红球的只数.求X和Y的联合分布律.【解】X和Y的联合分布律如表:X0123000C2UC2 _ 3c4 一35C3UC2 _ 2 c43510c3Uc2LJc2 _ 6c4-35C3UC2UC2

2、_ 12c4-35C3UC2 =_2c4 - 352P(0黑,2红,2白尸C2LC2 / C4 = 35C3LJC2LJC2 _ 6c4-35C2UC2 _ 3c4 3503.设二维随机变量（X, Y）的联合分布函数为冗冗sin xsiny, 0 < x _ ,0 < y < -F (x, y) =47220,其他.w1内的概率.求二维随机变量（X, Y）在长方形域，0<xW - , - <y4 6- F 工 Ert. Tt Tt. Tt .【解】如图P0 <X E,<Y W公式(3.2)4 63冗冗冗冗兀，兀乐,"”（"-）阳 冗

3、 冗- 冗 冗冗= sin sin - -sin - sin - -sin 0 sin - sin0 sin 一434-6 一 3 一 6二刍、3-1).4说明：也可先求出密度函数，再求概率。204.设随机变量（X, Y）的分布密度f (x, y)=，Ae,3x*y),x 0,y 0, 其他.求：(1)(2)(3)【解】（1）常数A;随机变量(P0 H1 ,-be -beX, Y)的分布函数;0<Y<2.由 _ _ f (x,y)dxdy =得(2)0,0,其他 P0 三 X <1,0 <Y :二 2=P0 X <1,0 二 Y 三212s ,、c一= o 012

4、e牟x 4y)dxdy =(1e )(1 e ) ： 0.9499.5.设随机变量(X, Y)的概率密度为f (x, V)=3(6-x-y), 0<x<2, 2<y<4,其他.(1)(2)(3)(4)确定常数k;求 P Xv 1, Yv 3;求 PX<1.5;求 PX+YW4.【解】（1）由性质有A=12由定义，有y xF(x, y) ! j f(u,v)dudv(11x)(1-e'y)y 0,x 0,j- j-f(x, y)dxdy =2 k(6 一一二一一二一0 - 2R8x - y)dydx =8k =1,13(2) PX ；1,Y < 3 -

5、 j-j-f (x,y)dydx1 313二0 28 k(6xy)dydx=8(3) PX <1.5 =f (x, y)dxdyMa 口 f (x, y)dxdyx .1.51.54 1di27=0 dx.2-(6-x-y)dy =.832 PX+YM4= 口 f (x,y)dxdy如图b口 f (x, y)dxdyX Y .4D2y4Q0.2）上服从均匀分布,24 _x 12=0dx2 -(6-x-y)dy = -. 83题5图6.设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在（0Y的密度函数为fY (y) = *5eyy 0,其他.求：（1） X与Y的联合分布密度；（2） PY小.题6图【解

6、】（1）因X在（0, 0.2）上服从均匀分布，所以 X的密度函数为fx(x)= 0.2, 0，0 : x : 0.2,其他.所以5e-y fY(y)=八 0,y 0, 其他.f (x ,y X Y独立 fx xdfY y ()5e3y=0.20,25e'y0,0 :二 x :二 0.2>y0,其他.(2) P(Y <X) = H f (x,y)dxdy如图 口25e-dxdyyD0.2 x0.2=L dx 10 25e ydy = (-5e+5)dx-1=e : 0.3679.x 0, y 0, 其他.7 .设二维随机变量(X，Y)的联合分布函数为4xA-4xx-2 yxF

7、 (x，V)(1e )(1 -e ),=30,求(X，Y)的联合分布密度【解】f (x, y)=：2F(x, y)8e44xy).x :y0,x 0, y 0, 其他.8 .设二维随机变量(X，Y)的概率密度为f (x，y)4.8y(2-x), 0 < x < 1,0 < y < x,0,其他.求边缘概率密度.【解】fX(x) =_ f (x, y)dy0<x<1, 其他.x x22I f 4.8y(2-x)dy 2.4x (2-x),=0 0=，10,0,fy( y) = 一 f (x, y)dx="8V(2一*2), 0,0,0< y&l

8、t;1, 其他.芳XO1¥题8图9.设二维随机变量(X, Y)的概率密度为o%题9图f (x,求边缘概率密度.【解】fX(x) = f。(x, y)dy '-oO,dyIe，=5 x=4io,10,fY(y)= JLf(x，y)dx-od f y _y=/ dxyeio,口e , 0<x<y,y)= 0,其他.,x>0,其他. y>o,其他.巡蓼10.设二维随机变量(X, Y)的概率密度为f (x, y)=(1)试确定常数c;(2)求边缘概率密度.-be -be0x题10图222 jj /cx y, x M y M1, 、0,其他.f (x, y)dx

9、dy如图 1 f(x,y)dxdy=dx-i21得 c = 21.4(2) fx(x)：i-f (x, y)dy:2 cx ydy = c = 1. x2124(1-x ),-1 < x < 1,1 212 .212 x ydy xx2 48其他.0,0,fY(y)；f(x,y)dxf Jy 21721x2ydx7=，十4 y r-0,20,5中,0 < y < 1,其他.11.设随机变量（X, Y）的概率密度为f (x, V)=，1, y <x,0<x<1,0,其他.求条件概率密度fY x (y I x), fxiY (x I y).【解】fX(x)

10、 = f(x, y)dyjQO题11图0 : x ： 1, 其他.x1dy =2x,二70,fY(y)=1 1f 1dx = 1 + y,J1_ f(x,y)dx = 1dx=1 -y,0,其他.所以fYix(y |x)f(x,y)fx(x)1=2x'0,| y|: x <1,其他., y x x < 1,1 -y£ / 、 f(x, y) 1.f XY (x 1 y)=1",-y < x < 1,fY (y)1 + y0, 其他.12.袋中有五个号码1,2, 3, 4, 5,从中任取三个，记这三个号码中最小的号码为X,最大的号码为Y.(1)

11、求X与Y的联合概率分布；(2) X与Y是否相互独立？【解】(1) X与Y的联合分布律如下表345PX =为11 _ 1C! 一而22C(一行3_3_C5 - 1061020U c5 -10_2_ _2C3 - 10310300J£C2 -10110PY=yi1103106101,、PX -1,Y-3,10,616(2)因 PX =1PY =3= 一 式一=10 10 100故X与丫不独立(2) X与Y是否相互独立?【解】(1) X和Y的边缘分布如下表258P Y=yi0.40.150.300.350.80.80.050.120.030.2PX =Xi0.20.420.38(2)因 P

12、X =2LPY =0.4 = 0.2 x 0.8 = 0.16 # 0.15 = P(X =2,Y = 0.4),故X与Y不独立|14.设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在(01)上服从均匀分布，Y的概率密度为fY (y)=2e 0,_y/2y 0,其他.(1)求X和Y的联合概率密度；(2)设含有a的二次方程为a2+2Xa+Y=0,试求a有实根的概率.阿因f'HefY(y) = 20,其他.1 _e 故 f(x,y)X,Y独立 fX(x)|_fY(y) =<20,-y/20 ：二 x ： 1, y 0,其他.题14图2(2)万程a +2Xa +Y =0有实根的条件是2 =(2X

13、) -4Y0故从而方程有实根的概率为:x2w,PX2 -Y = f (x, y)dxdyx2 _y1x2=0dx 0-e-y/2dy2=1一，2""(1)-中(0) = 0.1445.15 .设X和Y分别表示两个不同电子器件的寿命(以小时计) ，并设X和Y相互独立，且服 从同一分布，其概率密度为f 詈 x 1000,0, 其他.求Z=X/Y的概率密度.X【解】如图,Z的分布函数FZ（Z）= PZ wz =P£ Z当 zwo时，Fz（Z） =0(2)当 0Vz<1 时，(这时当 x=1000 时,y=1°°°)(如图 a)L ,

14、、IO6Fz(z)Lyxxyz-beyz 1062 dxdy = £dy 1032 dxz题15图（3）当z>l时，（这时当y二103时，x=103z）（如图b）dx106Fz (z) =-2 dxdy =x x yyj yz_注/103=hF 10y1-, z>1, 2zfz(z) = E，0<z<1,0,其他.fz(z)12z2,z -1,0,0 :二 z ：二 1,其他.16 .设某种型号的电子管的寿命 （以小时计）近似地服从N（ 160, 202）分布.随机地选取4 只, 求其中没有一只寿命小于180的概率.【解】设这四只寿命为Xi(i=1,2,3,4

15、),则XiN ( 160, 202), 从而Pmin(Xi,X2,X3,X4)P180Xj之间独立 PX >180LPX2 之 180PX3 _180LPX4 _180=1 -P X1 < 1 8 0的 X <J 8 0日X<_182/1：180=1 PXi ：二1804 = 14富 180-160.20=1 -：'(1)4 =(0.158)4 =0.00063.17 .设X, Y是相互独立的随机变量，其分布律分别为P X=k= p ( k), k=0, 1PY=r=q (r), r=0, 1证明随机变量Z=X+Y的分布律为2,2,PZ=i= Z p(k)q(i

16、 -k), k =0i=01, 2,【证明】因X和Y所有可能值都是非负整数, 所以Z =i =X Y =i=X =0,Y =i UX =1,Y = i -1UUX =i,Y =0PZ =i =£ PX =k,Y =i kX,Y相互独立 工 P X =k|_PY = i -k k z0k=0C p(k)q(i -k) k 018 .设X, Y是相互独立的随机变量，它们都服从参数为 n, p的二项分布.证明Z=X+Y服从参数为2n, p的二项分布.【证明】方法一：X+Y可能取值为0, 1, 2,，2n.kPX Y =k =" PX =i,Y =kii z0方法二：设 也因他；卬

17、晨，；”均服从两点分布（参数为 p）,则X=国+的，Y=岗也'+曲，X+Y= 岗+.+ 同+岗 '也，+jn',所以，X+Y服从参数为（2n,p）的二项分布.19.设随机变量（X, Y）的分布律为012345000.010.030.050.070.0910.010.020.040.050.060.0820.010.030.050.050.050.0630.010.020.040.060.060.05(1)求 PX=2 | Y=2 , PY=3 | X=0;(2) 求V=max (X, Y)的分布律；(3) 求U=min (X, Y)的分布律；=£P(X = i

18、)|_PY = k -ii=0piqn _Lk -ik _i n_k ip q=£Ynk 2n _kp qi =02n)k 2n_kp q【解】(1) PX =2|Y =2=PX =2,Y %PY = 2PX =2,Y =2-5、PX =i,Y =2i =00.05 10.25 - 2PY =3|X =0=PY = 3, X = 0PX =0(4) 求W=X+Y的分布律.0.010.03PX =0,Y =333' PX =0,Y = jj=0(2) PV =i =Pmax( X,Y) =i = PX =i,Y 二 i P X < i,Y = ii 4i=、PX =i,Y

19、 =k八 PX =k,Y =i, i =0,1, 2,3, 4,k =0k=0所以V的分布律为V=max(X,Y)012345P00.040.160.280.240.28PU=i =Pmin( X,Y)3i =0, 1, 2,3"PX =i,Y _i PX i,Y =i=，PX =i,Y =k % PX =k,Y =i小题20图U=min( X,Y)0123P0.280.300.250.17k41k 4日(4)类似上述过程，有W=X+Y012345678P00.020.060.130.190.240.190.120.0520.雷达的圆形屏幕半径为R,设目标出现点(X, Y)在屏幕上服

20、从均匀分布(1)求 PY>0 | Y>X;(2) 设M=maxX, Y,求 PM>0.【解】因(X, Y)的联合概率密度为f (x, y)=TR2'0,x2 y2 < R2,其他.(1) PY 0|Y X=PY 0,Y XPY X.f(x,y)d。y 0 y x.f(x,y)d。y xtR2rdrtR2 rdr3/81/2(2) PM 0 =Pmax( X,Y) . 0 = 1 - Pmax( X,Y)工 0，、1= 1-PX < 0,Y 三 0=1 - f(x,y)d。=1 x：w4y-£021.设平面区域D由曲线y=1/x及直线y=0, x=

21、1,x=e2所围成，二维随机变量(X, Y) 在区域D上服从均匀分布，求(X, Y)关于X的边缘概率密度在 x=2处的值为多少？题21图e2 12【解】区域D的面积为 &= f 1dx=lnx： =2. (X,Y)的联合密度函数为 1 x1, f(x,y) = 20,(X, Y)关于X的边缘密度函数为其他.1 1/x 11dy , fX (x) = P 2 y 2x0,1MxM e2, 其他. ,1所以 fX (2).4y1y2y3PX=xi= Pixix21/81/8PY=yj= pj1/6122.设随机变量X和Y相互独立，下表列出了二维随机变量(X, Y)联合分布律及关于 X和Y的

22、边缘分布律中的部分数值.试将其余数值填入表中的空白处2【解】因 PY =yj = Pj 八 P X = xi,Y = yj,i 1故 PY =y =PX =x,Y =y PX =x2,Y =y1,、1从而 PX =x1,Y = y1:624而 X与 Y独立，故 PX =xiLPY = yj =PX =xi,Y = yi,从而 P X = x11,、1PX =x,Y = yi二624rr11即：PX =x1/-24 6又 PX 二为= PX =x,Y 二 y1 PX =x1,Y =y2 P X =x1,Y = y3,11,、= 24+8+PX =XY = y3,1从而 PX =x1,Y = y3

23、=.一一13同理 PY=y2PX =x2,Y = yz=328一3 一 .111又“ PY = yj =1,故 PY = y3 =1j4623一一3同理 PX =x2=-.从而,、，、，、111PX =x2,Y = y3 =PY=y3-PX =" = 丫3二-石3 12 4故y1y2y3PX =x = Pi1111x12481241313X2-='一=8844py =yj = pj111162323.设某班车起点立上客人数X服从参数为 NQ0)的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为p (0<p<1),且中途下车与否相互独立，以 Y表示在中途下车的人数，求： (1)

24、在发 车时有n个乘客的条件下，中途有 m人下车的概率；(2)二维随机变量(X, Y)的概 率分布.【解】(1) PY =m|X =n =Cmpm(1-p)num,0m £n,n =0,1,2,3.(2) PX = n, Y = m = PX = nl_lPY = m | X = nmmn m=G p (1 - P)-Ley n, n < m < n,n = 0,1,2,.1 12 ),、，24.设随机变量X和Y独立，其中X的概率分布为 X，而Y的概率留度为f(y),03 0.7 ,求随机变量U=X+Y的概率密度g(u).【解】设F (y)是Y的分布函数，则由全概率公式，知 U=X+Y的分布函数为G(u)=PX Y < u =0.3PX Y < u| X =1 0.7PX Y < u |X =2= 0.3PY <u -1| X =1 0.7PY < u - 2 | X =2由于X和Y独立，可见G(u) =0.3PY < u -1 0.7PY < u -2-0.3F(u -1) 0.7F(u -2).由此，得U的概率密度为g(u)=G (u) =0.3F (u -1) 0.7F (u