郑州大学流体力学第7章理想流体多维流动基础ppt课件

1、第第 7 7 章章理想流体多维流动根底理想流体多维流动根底l在许多工程实践问题中，流动参数不仅在流动方向上发生变化，而且在许多工程实践问题中，流动参数不仅在流动方向上发生变化，而且在垂直于流动方向的横截面上也要发生变化。在垂直于流动方向的横截面上也要发生变化。l要研讨此类问题，就要用多维流动的分析方法。要研讨此类问题，就要用多维流动的分析方法。l本章主要讨论理想流体多维流动的根本规律，为处理工程实践中类似本章主要讨论理想流体多维流动的根本规律，为处理工程实践中类似的问题提供实际根据，也为进一步研讨粘性流体多维流动奠定必要的的问题提供实际根据，也为进一步研讨粘性流体多维流动奠定必要的根底。根底。

2、 l本章内容本章内容l7.1 微分方式的延续方程微分方式的延续方程 l7.2 流体微团运动分析流体微团运动分析 l7.3 理想流体运动微分方理想流体运动微分方程程 l7.4 起始条件起始条件 边境条件边境条件 l7.5 理想流体运动微分方理想流体运动微分方程的积分程的积分 l7.6 涡线涡线 涡管涡管 涡束涡束 涡通涡通量量l7.7 速度环量速度环量 斯托克斯定斯托克斯定理理l7.8 汤姆孙定理汤姆孙定理 亥姆霍兹亥姆霍兹定理定理 7.9 二维涡流二维涡流 7.10 速度势速度势 流函数流函数 流网流网7.11 简单的平面势流简单的平面势流 7.12 简单平面势流的叠加简单平面势流的叠加 7.

3、13 均匀等速流绕过圆柱体均匀等速流绕过圆柱体的平面流动的平面流动7.14 均匀等速流绕过圆柱体均匀等速流绕过圆柱体有环流的平面流动有环流的平面流动7.1 7.1 微分方式的延续方程微分方式的延续方程7.1 7.1 微分方式的延续方程微分方式的延续方程当把流体的流动看作是延续介质的流动，它必然遵守质量守当把流体的流动看作是延续介质的流动，它必然遵守质量守恒定律。恒定律。对于一定的控制体，必需满足对于一定的控制体，必需满足它表示在控制体内由于流体密度变化所引起的流体质量随时它表示在控制体内由于流体密度变化所引起的流体质量随时间的变化率等于单位时间内经过控制体的流体质量的净通间的变化率等于单位时间

4、内经过控制体的流体质量的净通量。量。 0nCVCSdVv dAt 7.1 7.1 微分方式的延续方程微分方式的延续方程直角坐标系中微分方式的延续性方直角坐标系中微分方式的延续性方程程在流场中取出微元六面体在流场中取出微元六面体ABCDEFGABCDEFG微元六面体中心点上流体质点的速微元六面体中心点上流体质点的速度为度为vxvx、vyvy、vzvz密度为密度为和和x x轴垂直的两个平面上的速度和密轴垂直的两个平面上的速度和密度度2dxx 2dxx 2xxv dxvx 2xxv dxvx 2222xxxxvvdxdxvvxxdxdxxx7.1 7.1 微分方式的延续方程微分方式的延续方程直角坐标

5、系中微分方式的延续性方程直角坐标系中微分方式的延续性方程在在x x方向上，方向上，dtdt时间内经过左面流入时间内经过左面流入的流体质量为：的流体质量为：dtdt时间经过右面流出的流体质量为：时间经过右面流出的流体质量为：那么那么dtdt时间内沿时间内沿x x轴经过微元体外表轴经过微元体外表的质量净通量为的质量净通量为2dxt 2dxt 2xxv dxvt 2xxv dxvt ddd d d22xxvxxvy z txx ddd d d22xxvxxvy z txx ddd d d()d d d dxxxvxvxy z tvx y z txxx 7.1 7.1 微分方式的延续方程微分方式的延续

6、方程直角坐标系中微分方式的延续性方程直角坐标系中微分方式的延续性方程在在x x方向上，方向上，dtdt时间内经过微元体外表的质量净通量为：时间内经过微元体外表的质量净通量为：同理可得，在同理可得，在dtdt时间内沿时间内沿y y轴和轴和z z轴方向流体质量的净通量分轴方向流体质量的净通量分别为：别为：在在dtdt时间内经过微元六面体的流体质量总变化为时间内经过微元六面体的流体质量总变化为ddd d d()d d d dxxxvxvxy z tvx y z txxx ()d d d d()d d d dyzvx y z tvx y z tyz d d d dyzxvvvx y z txyz 7.

7、1 7.1 微分方式的延续方程微分方式的延续方程直角坐标系中微分方式的延续性方程直角坐标系中微分方式的延续性方程在在dtdt时间内经过微元六面体的流体质量总变化为时间内经过微元六面体的流体质量总变化为开场瞬时流体的密度为开场瞬时流体的密度为，经过，经过dtdt时间后的密度为时间后的密度为在在dtdt时间内，六面体内因密度的变化而引起的质量变化为时间内，六面体内因密度的变化而引起的质量变化为 d d d dyzxvvvx y z txyz ttttzyxd)d,( tzyxtzyxzyxttddddddddddd nCSv dA CVdVt 7.1 7.1 微分方式的延续方程微分方式的延续方程直

8、角坐标系中微分方式的延续性方程直角坐标系中微分方式的延续性方程延续性方程表示了单位时间控制体内流体质量的增量等于流延续性方程表示了单位时间控制体内流体质量的增量等于流体在控制体外表上的净通量。体在控制体外表上的净通量。它适用于理想流体和粘性流体、定常流动和非定常流动。它适用于理想流体和粘性流体、定常流动和非定常流动。 d d d dd d d d0yzxvvvx y z tx y z ttxyz 0yzxvvvtxyz 可紧缩流体非定常三维流动的延续性方程可紧缩流体非定常三维流动的延续性方程 0vt 7.1 7.1 微分方式的延续方程微分方式的延续方程直角坐标系中微分方式的延续性方程直角坐标系

9、中微分方式的延续性方程定常定常不可紧缩定常不可紧缩定常物理意义：在同一时间内经过流场中任一封锁外表的体积流物理意义：在同一时间内经过流场中任一封锁外表的体积流量等于零，也就是说，在同一时间内流入的体积流量与流量等于零，也就是说，在同一时间内流入的体积流量与流出的体积流量相等。出的体积流量相等。 0yzxvvvtxyz 0t 0yzxvvvxyz const 0yzxvvvxyz 0vt 0v 0v 7.1 7.1 微分方式的延续方程微分方式的延续方程柱坐标系中微分方式的延续性方程柱坐标系中微分方式的延续性方程定常定常不可紧缩定常不可紧缩定常11()()()0rzrvvvtrrrz 10zrrv

10、vvvrrzr 11()()()0rzrvvvrrrz 7.1 7.1 微分方式的延续方程微分方式的延续方程球坐标系中微分方式的延续性方程球坐标系中微分方式的延续性方程定常定常不可紧缩定常不可紧缩定常22()(sin )()1110sinsinrvvv rtrrrr cot2110sinrrvvvvvrrrrr 22()(sin )()1110sinsinrvvv rrrrr 【例】知不可紧缩流体运动速度【例】知不可紧缩流体运动速度v在在x，y两个轴方向的分量两个轴方向的分量为为vx=2x2+y，vy=2y2+z。且在。且在z=0处，有处，有vz=0。试求。试求z轴轴方向的速度分量方向的速度分

11、量vz。 7.2 7.2 流体微团运动分析流体微团运动分析 7.2 7.2 流体微团运动分析流体微团运动分析流体与刚体的主要不同在于它具有流动性，极易变形。流体与刚体的主要不同在于它具有流动性，极易变形。流体微团在运动过程中不但象刚体那样可以有挪动和转动，流体微团在运动过程中不但象刚体那样可以有挪动和转动，而且还会发生变形运动。而且还会发生变形运动。普通情况下，流体微团的运动可以分解为挪动，转动和变形普通情况下，流体微团的运动可以分解为挪动，转动和变形运动。运动。 7.2 7.2 流体微团运动分析流体微团运动分析在流场中任取一微元平行六面体在流场中任取一微元平行六面体边长分别为边长分别为dxd

12、x、dydy、dzdz。t t瞬时瞬时A A点沿三个坐标轴的速度分量点沿三个坐标轴的速度分量为为vxvx、vyvy、vzvz。顶点顶点M M速度分量可按照泰勒级数展开，速度分量可按照泰勒级数展开，略去二阶以上无穷小项求得。略去二阶以上无穷小项求得。7.2 7.2 流体微团运动分析流体微团运动分析( , , )( , , )( , , )( , , )Axyzvx y zvx y z ivx y z jvx y z k (,)(,)(,)(,)Mxyzvxx yy zzvxx yy zz ivxx yy zz jvxx yy zz k xxxMxxyyzMyyzzzMzzvvvvvxyzxyzv

13、vvvvxyzxyzvvvvvxyzxyz 7.2 7.2 流体微团运动分析流体微团运动分析xxxMxxvzvyvvxxyvz 11212122xxMxxxxxvvzzvvvvzzxyyvyyx 11112222zzyyvvyyvvzxxxx 1122xxzxxxyMvyvvvxyvzxzvxxv 1122xyxzvyvvxvzxyz 7.2 7.2 流体微团运动分析流体微团运动分析1122112211221122yzxxyyzyzxxyyMxxMyyyzxxxvvvvxyzxvvvvvvvxyzxvvvvxvxvvvyzxyyzyyzvyzvyyzxxvz 21212121zMzyzzxyz

14、zzxvvvvzxyzxvvvzxvvvvzxyzyzyx 线速度线速度xyzvvv线变形速率线变形速率xxyyzzvxvyvz 剪切变形速率剪切变形速率121212yzxzxyyxzvvyzvvzxvvxy 旋转角速度旋转角速度121212yzxzxyyxzvvyzvvzxvvxy 7.2 7.2 流体微团运动分析流体微团运动分析在普通情况下，流体微团的运动可分解为三部分：在普通情况下，流体微团的运动可分解为三部分：以流体微团中某点的速度作整体平移运动以流体微团中某点的速度作整体平移运动线速度线速度绕经过该点轴的旋转运动绕经过该点轴的旋转运动旋转角速度旋转角速度微团本身的变形运动微团本身的变

15、形运动线变形速率、剪切变形速率线变形速率、剪切变形速率()()()()()()MxxxzyyzMyyyxzzxMzzzyxzyvvxyzzyvvyzxxzvvzxyyx 7.2 7.2 流体微团运动分析流体微团运动分析oxyoxy坐标面内，坐标面内，t t时辰矩形时辰矩形ABCDABCD的运动的运动xvyvyyxxvvxxvvxx yyyxxxvvvxyxyvvvxyxyyyxxvvyyvvyy x y 7.2 7.2 流体微团运动分析流体微团运动分析平移运动平移运动矩形矩形ABCDABCD各角点具有一样的速各角点具有一样的速度分量度分量vxvx、vyvy。导致矩形。导致矩形ABCDABCD平

16、移平移vxt, vxt, 上移上移vyt, vyt, ABCDABCD的外形不变。的外形不变。xvt yvt xvyvyyxxvvxxvvxx yyyxxxvvvxyxyvvvxyxyyyxxvvyyvvyy x y 7.2 7.2 流体微团运动分析流体微团运动分析线变形运动线变形运动x x方向的速度差方向的速度差y y方向的速度差方向的速度差ABAB、DCDC在在tt时间内伸长时间内伸长ADAD、BCBC在在tt时间内缩短时间内缩短xxBxAxCxDxvvvvxvvxxx yyDyAyCyByvvvvyvvyyyxvx tx yvy ty xvyvyyxxvvxxvvxx yyyxxxvvv

17、xyxyvvvxyxyyyxxvvyyvvyy x y xvx tx yvy ty x y 7.2 7.2 流体微团运动分析流体微团运动分析线变形运动线变形运动定义：单位时间内单位长度流体线段的伸长或缩短量为流体定义：单位时间内单位长度流体线段的伸长或缩短量为流体微团的线变形速率。微团的线变形速率。沿沿x x轴方向的线变形速率为轴方向的线变形速率为沿沿y y轴、轴、z z轴方向的线变形速率为轴方向的线变形速率为 xxxvvx tx txx yyvy zzvz xvx tx yvy ty x y 7.2 7.2 流体微团运动分析流体微团运动分析线变形运动线变形运动对于不可紧缩流体，上式等于零，是

18、不可紧缩流体的延续性对于不可紧缩流体，上式等于零，是不可紧缩流体的延续性方程，阐明流体微团在运动中体积不变。方程，阐明流体微团在运动中体积不变。三个方向的线变形速率之和所反映的本质是流体微团体积在三个方向的线变形速率之和所反映的本质是流体微团体积在单位时间的相对变化，称为流体微团的体积膨胀速率。单位时间的相对变化，称为流体微团的体积膨胀速率。不可紧缩流体的延续性方程也是流体不可紧缩的条件。不可紧缩流体的延续性方程也是流体不可紧缩的条件。yzxxyzvvvxyz 7.2 7.2 流体微团运动分析流体微团运动分析角变形运动角变形运动DxBxByAyyyyyxxAxCxyyCyDyvvvvvvvvv

19、vxvvxxxtanyyvvx txtxx tanxxvvy tytyy xvyvyyxxvvxxvvxx yyyxxxvvvxyxyvvvxyxyyyxxvvyyvvyy x y xvy ty yvx tx x y 7.2 7.2 流体微团运动分析流体微团运动分析角变形运动角变形运动角变形速度：两正交微元流体边的角变形速度：两正交微元流体边的夹角在单位时间内的变化量夹角在单位时间内的变化量剪切变形速率剪切变形速率该夹角变化的平均值在单位时间内该夹角变化的平均值在单位时间内的变化的变化角变形速度的平均值角变形速度的平均值12yxzvvxy 12yzxvvyz 12zxyvvzx yxvvtxy

20、 xvy ty yvx tx x y 7.2 7.2 流体微团运动分析流体微团运动分析旋转运动旋转运动 流体微团只发生角变形流体微团只发生角变形 流体微团只发生旋转，不发生角变形流体微团只发生旋转，不发生角变形 流体微团在发生角变形的同时，还要发生流体微团在发生角变形的同时，还要发生旋转运动旋转运动 xvy ty yvx tx x y 7.2 7.2 流体微团运动分析流体微团运动分析旋转运动旋转运动旋转角速度：单位时间角平分线的旋转量旋转角速度：单位时间角平分线的旋转量角平分线的旋转量角平分线的旋转量旋转角速度旋转角速度单位时间二直角边旋转角速度代数和的平均值单位时间二直角边旋转角速度代数和的

21、平均值12yxzvvxy 11142222yxzvvtxy 7.2 7.2 流体微团运动分析流体微团运动分析旋转运动旋转运动旋转角速度旋转角速度111222yyzzxxxyzvvvvvvyzzxxy 222xyz 12xyzijkv 7.2 7.2 流体微团运动分析流体微团运动分析111222111222yzxxyzyyzzxxxyzyyzzxxxyzvvvxyzvvvvvvyzzxxyvvvvvvyzzxxy ()()()()()()MxxxzyyzMyyyxzzxMzzzyxzyvvxyzzyvvyzxxzvvzxyyx 7.2 7.2 流体微团运动分析流体微团运动分析亥姆霍兹速度分解定理

22、亥姆霍兹速度分解定理 在普通情况下微小流体质团的运动可以分解为三部分：在普通情况下微小流体质团的运动可以分解为三部分：1 1随质团中某点基点一同前进的平移运动；随质团中某点基点一同前进的平移运动；2 2绕该点的旋转运动；绕该点的旋转运动；3 3含有线变形和角变形的变形运动。含有线变形和角变形的变形运动。微小流体质团的维长趋于零的极限是流体微团微小流体质团的维长趋于零的极限是流体微团流体微团的运动分解定理流体微团的运动分解定理7.2 7.2 流体微团运动分析流体微团运动分析亥姆霍兹速度分解定理对于流膂力学的开展有深远的影响：亥姆霍兹速度分解定理对于流膂力学的开展有深远的影响：由于把旋转运动从普通

23、运动中分别出来，才使我们有能够把由于把旋转运动从普通运动中分别出来，才使我们有能够把运动分成无旋运动和有旋运动；运动分成无旋运动和有旋运动；正是由于把流体的变形运动从普通运动中分别出来，才使我正是由于把流体的变形运动从普通运动中分别出来，才使我们有能够将流体变形速度与流体应力联络起来，这对于粘们有能够将流体变形速度与流体应力联络起来，这对于粘性流体运动规律的研讨有艰苦的影响。性流体运动规律的研讨有艰苦的影响。7.2 7.2 流体微团运动分析流体微团运动分析根据流体微团能否旋转可将流体的流动分为两大类根据流体微团能否旋转可将流体的流动分为两大类有旋流动有旋流动流体在流动中，假设流场中有假设干处流

24、体微团具有绕经过流体在流动中，假设流场中有假设干处流体微团具有绕经过其本身轴线的旋转运动，那么称为有旋流动。其本身轴线的旋转运动，那么称为有旋流动。流体微团的旋转角速度不等于零数学条件流体微团的旋转角速度不等于零数学条件无旋流动无旋流动 假设在整个流场中各处的流体微团均不绕本身轴线的旋转运假设在整个流场中各处的流体微团均不绕本身轴线的旋转运动，那么称为无旋流动。动，那么称为无旋流动。流体微团的旋转角速度等于零数学条件流体微团的旋转角速度等于零数学条件102v 102v 7.2 7.2 流体微团运动分析流体微团运动分析无旋流动无旋流动需求指出的是，有旋流动和无旋流动仅由流体微团本身能否需求指出的

25、是，有旋流动和无旋流动仅由流体微团本身能否发生旋转来决议，而与流体微团本身的运动轨迹无关。发生旋转来决议，而与流体微团本身的运动轨迹无关。 102v 0 0 xyz 0v yyzzxxvvvvvvyzzxxy【例】给定直角坐标系中速度场【例】给定直角坐标系中速度场vx=x2y+y2，vy=x2-xy2，vz=0。求各变形速度，并判别流场能否为不可紧缩流场。求各变形速度，并判别流场能否为不可紧缩流场。【例】给定两个流场：【例】给定两个流场： 1vx=-y，vy=x；vz=0； 2vx=-y/(x2+y2)，vy=x/(x2+y2)，vz=0。 求这两个流场的迹线和旋转角速度。求这两个流场的迹线和

26、旋转角速度。7.3 7.3 理想流体运动微分方程理想流体运动微分方程 7.3 7.3 理想流体运动微分方程理想流体运动微分方程理想流体运动微分方程式是研讨流体运动学的重要实际根底。理想流体运动微分方程式是研讨流体运动学的重要实际根底。可以用牛顿第二定律加以推导。可以用牛顿第二定律加以推导。在流场中取一平行六面体在流场中取一平行六面体边长分别为边长分别为dxdx，dydy，dz dz 中心点为中心点为A(x,y,z)A(x,y,z)中心点的压强为中心点的压强为p=p(x,y,z)p=p(x,y,z)密度为密度为=(x,y,z)=(x,y,z)因研讨的对象为理想流体，作用于六个面上的外表力只需压因

27、研讨的对象为理想流体，作用于六个面上的外表力只需压力力作用于微元体上的单位质量力沿三个坐标轴的分量分别为作用于微元体上的单位质量力沿三个坐标轴的分量分别为fxfx，fyfy，fz fz zyxA(x,y,z)2dxxpp2dxxppf7.3 7.3 理想流体运动微分方程理想流体运动微分方程微元体在质量力和外表力的作用下产生的加速度，根据牛顿微元体在质量力和外表力的作用下产生的加速度，根据牛顿第二定律第二定律 ：xxdvFmdt ()()22xxp dxp dxfdxdydzpdydzpdydzxxdvdxdydzdt zyxA(x,y,z)2dxxpp2dxxppf1xxdvpfxdt 1dv

28、fpdt 11yyzzdvpfydtdvpfzdt 7.3 7.3 理想流体运动微分方程理想流体运动微分方程理想流体运动微分方程式欧拉运动微分方程式。理想流体运动微分方程式欧拉运动微分方程式。表示了作用在单位质量流体上的质量力、外表力和惯性力相表示了作用在单位质量流体上的质量力、外表力和惯性力相平衡：在流场的某点，单位质量流体的当地加速度与迁移平衡：在流场的某点，单位质量流体的当地加速度与迁移加速度之和等于作用在它上面的重力与压力之和。加速度之和等于作用在它上面的重力与压力之和。该式推导过程中对流体的紧缩性没加限制，故可适用于理想该式推导过程中对流体的紧缩性没加限制，故可适用于理想的可压流体和

29、不可紧缩流体，适用于有旋流动和无旋流动。的可压流体和不可紧缩流体，适用于有旋流动和无旋流动。 111xxxxxxyzyyyyyxyzzzzzzxyzvvvvpfvvvxtxyzvvvvpfvvvytyyzvvvvpfvvvztxyz 1()vfpvvt 7.3 7.3 理想流体运动微分方程理想流体运动微分方程柱坐标系中的欧拉运动微分方程式柱坐标系中的欧拉运动微分方程式球坐标系中的欧拉运动微分方程式球坐标系中的欧拉运动微分方程式2111rrrrrzrrzzzzzrzzvvvvvpvvvftrrzrrvvvvvpvvftrrzrvvvvvpvvftrrzz 2221sincot1sincot1si

30、nsinrrrrrrrrrrvvvvvvvvpvftrrrrrvvvvvvvv vpvftrrrrrrvvvvvv vv vvpvftrrrrrr 7.3 7.3 理想流体运动微分方程理想流体运动微分方程兰姆方程可直接从微分方程中断定流动能否有旋兰姆方程可直接从微分方程中断定流动能否有旋1xxxxxyzxvvvvpvvvftxyzx 1zzxxxxyxyzzxyyvvvvpvvvftxyvvvvvvzxxxxx i j k 2122vvvfpt 212()2xyzzyxvvpvvftxx 212()2yzxxzyvvpvvftyy 212()2zxyyxzvvpvvftzz 7.3 7.3 理

31、想流体运动微分方程理想流体运动微分方程兰姆方程兰姆方程质量力有势质量力有势正压流场正压流场 222xFyzzyvvPvvxt xyzfffxyz 111FFFPPPpppxxyyzz 2122xyzzyxvvpvvftxx /FPdp 压强函数压强函数7.3 7.3 理想流体运动微分方程理想流体运动微分方程兰姆方程兰姆方程 222222222xFyzzyyFzxxzzFxyyxvvPvvxtvvPvvytvvPvvzt 222FvvPvt 7.4 7.4 起始条件起始条件 边境条件边境条件 7.4 7.4 起始条件起始条件 边境条件边境条件对于不可紧缩理想流体，未知量有对于不可紧缩理想流体，未

32、知量有vxvx、vyvy、vzvz、p p四个，除四个，除三个运动微分方程外，还有延续方程，联立可以求解；三个运动微分方程外，还有延续方程，联立可以求解；对于正压的理想流体，密度随压强变化，多了未知量对于正压的理想流体，密度随压强变化，多了未知量，需，需补充物态方程，方可求解；补充物态方程，方可求解；对于非正压的理想流体，密度随压强和温度变化，又多了未对于非正压的理想流体，密度随压强和温度变化，又多了未知量知量T T，还需补充能量方程，才干求解；，还需补充能量方程，才干求解；满足根本方程的解有无穷多，要得到给定流动确实定解，必满足根本方程的解有无穷多，要得到给定流动确实定解，必需给出它的定解条

33、件，包括起始条件和边境条件。需给出它的定解条件，包括起始条件和边境条件。7.4.1 7.4.1 起始条件起始条件方程组的解在起始瞬时方程组的解在起始瞬时t=0t=0应满足的条件，是起始瞬时应满足的条件，是起始瞬时流动参数在流场中的分布规律，即流动参数在流场中的分布规律，即起始条件是研讨非定常流动必不可少的定解条件，但在研讨起始条件是研讨非定常流动必不可少的定解条件，但在研讨定常流动时，可以不用给出。定常流动时，可以不用给出。( , )( , )( , )( , )( , )( , )xxyyzzvvx y zvvx y zvvx y zpp x y zx y zTT x y z 7.4.2 7

34、.4.2 边境条件边境条件方程组的解在流场边境上应满足的条件。方程组的解在流场边境上应满足的条件。边境条件可以是固体的，也可以是流体的；可以是运动学的、边境条件可以是固体的，也可以是流体的；可以是运动学的、动力学的，也可以是热力学的。动力学的，也可以是热力学的。7.4.2 7.4.2 边境条件边境条件固体壁面固体壁面理想流体沿固体壁面流动时，既不能穿过它，也不能脱离它理想流体沿固体壁面流动时，既不能穿过它，也不能脱离它构成空隙，壁面上流体质点的法向速度构成空隙，壁面上流体质点的法向速度vlnvln应等于对应点应等于对应点上壁面的法向速度上壁面的法向速度vbnvbn，即，即vln=vbnvln=

35、vbn。假设壁面静止不动，那么假设壁面静止不动，那么vln=0vln=0。流体与固壁的相互作用力也必沿壁面的法线方向。流体与固壁的相互作用力也必沿壁面的法线方向。7.4.2 7.4.2 边境条件边境条件流体交界面流体交界面假设在交界面上两种流体互不浸透，它们在同一点上的法向假设在交界面上两种流体互不浸透，它们在同一点上的法向速度应相等，通常两侧的温度也是延续的，即速度应相等，通常两侧的温度也是延续的，即v1n=v2nv1n=v2n，T1=T2T1=T2假设交界面是曲面，曲面两侧的压强应满足假设交界面是曲面，曲面两侧的压强应满足p1-p1-p2=(1/R1+1/R2)p2=(1/R1+1/R2)

36、假设交界面是平面，假设交界面是平面，R1=R2R1=R2，那么，那么p1=p2p1=p2假设交界面是自在外表，那么假设交界面是自在外表，那么p=pambp=pamb假设自在外表上是大气，那么假设自在外表上是大气，那么p=pap=pa7.4.2 7.4.2 边境条件边境条件无穷远处无穷远处普通给定该处流体的流速普通给定该处流体的流速vv、压强、压强p p 和密度和密度 。流道进出口处流道进出口处此处的条件需视详细情况而定，普通给出该处截面上的速度此处的条件需视详细情况而定，普通给出该处截面上的速度分布。分布。7.5 7.5 理想流体运动微分方程的积分理想流体运动微分方程的积分7.5.1 7.5.

37、1 欧拉积分欧拉积分正压的理想流体在有势的质量力作用下作定常无旋流动正压的理想流体在有势的质量力作用下作定常无旋流动在流场中任取一有向微元线段在流场中任取一有向微元线段222020202FFFvPxvPyvPz 222222222xFyzzyyFzxxzzFxyyxvvPvvxtvvPvvytvvPvvzt dx dy dz dldxidyjdzk 7.5.1 7.5.1 欧拉积分欧拉积分正压的理想流体在有势的质量力作用下作定常无旋流动时，正压的理想流体在有势的质量力作用下作定常无旋流动时，单位质量流体的动能单位质量流体的动能v2/2v2/2、质量力位势能、质量力位势能、压强势能、压强势能PF

38、PF之和在流场中坚持不变。之和在流场中坚持不变。2220222FFFvvvPdxPdyPdzxyz202FvdP 22FvPC 7.5.2 7.5.2 伯努利积分伯努利积分正压的理想流体在有势的质量力作用下作定常有旋流动。正压的理想流体在有势的质量力作用下作定常有旋流动。流线与迹线重合流线与迹线重合在流场中沿流线取一有向微元线段在流场中沿流线取一有向微元线段在三个坐标轴上的投影分别为在三个坐标轴上的投影分别为 222222222FyzzyFzxxzFxyyxvPvvxvPvvyvPvvz dldxidyjdzk 222222222FyzzyFzxyxxzFxyxzyv dtvvPvvxvPvv

39、yvPvvzdxdydzdtv dt xyzv dtvdxdydtdtzdv 7.5.2 7.5.2 伯努利积分伯努利积分正压的理想流体在有势的质量力作用下作定常有旋流动。正压的理想流体在有势的质量力作用下作定常有旋流动。正压的理想流体在有势的质量力作用下作定常有旋流动时，正压的理想流体在有势的质量力作用下作定常有旋流动时，单位质量流体的动能单位质量流体的动能v2/2v2/2、质量力位势能、质量力位势能、压强势能、压强势能PFPF之和沿同一流线坚持不变。之和沿同一流线坚持不变。普通情况下，沿不同流线，积分常数值不一样。普通情况下，沿不同流线，积分常数值不一样。 222222222FyzzyxF

40、zxxzyFxyyxzvPdxvvv dtxvPdyvvv dtyvPdzvvv dtz 202FvdP 22FvPC 7.5.2 7.5.2 伯努利积分伯努利积分正压的理想流体在有势的质量力作用下作定常有旋流动。正压的理想流体在有势的质量力作用下作定常有旋流动。 v2/2+PF=C v2/2+PF=C不可紧缩重力流体，假设取坐标轴不可紧缩重力流体，假设取坐标轴z z方向向上：方向向上： =gz PF=p/ v2/2+gz+p/=C =gz PF=p/ v2/2+gz+p/=C假设流动无旋，单位质量流体的动能、位势能、压强势能之假设流动无旋，单位质量流体的动能、位势能、压强势能之和在流场中坚持

41、不变；和在流场中坚持不变；假设流动有旋，这三项之和沿同一流线坚持不变。假设流动有旋，这三项之和沿同一流线坚持不变。7.5.2 7.5.2 伯努利积分伯努利积分正压的理想流体在有势的质量力作用下作定常有旋流动。正压的理想流体在有势的质量力作用下作定常有旋流动。 v2/2+PF=C v2/2+PF=C对于完全气体的绝热流动，质量力的作用可忽略不计：对于完全气体的绝热流动，质量力的作用可忽略不计：非粘性完全气体一维定常绝热流动的能量方程。假设流动无非粘性完全气体一维定常绝热流动的能量方程。假设流动无旋，单位质量气体的动能、压强势能之和在流场中坚持不旋，单位质量气体的动能、压强势能之和在流场中坚持不变

42、；假设流动有旋，这二项之和沿同一流线坚持不变。变；假设流动有旋，这二项之和沿同一流线坚持不变。1/C p 1 1/1/111/1FdpppPC pC 221vpC 7.5.3 7.5.3 非定常流动沿流线的积分非定常流动沿流线的积分沿流线取一有向微元线段沿流线取一有向微元线段 222222222xFyzzyyFzxxzyFxyyxvvPvvxtvvPvvytvvPvvzt /dlvdl v /xyzdxv dl vdyv dl vdzv dl v 222222222xFyzzyyFzxxzzFyzxyxyxvvPvvxtvvPvvytvvPdxdydzvdvvztlvvdlvvdlv 202F

43、vvdPdlt 7.5.3 7.5.3 非定常流动沿流线的积分非定常流动沿流线的积分不可紧缩重力流体不可紧缩重力流体非粘性不可紧缩重力流体非定常流动的能量方程。非粘性不可紧缩重力流体非定常流动的能量方程。即沿流线流体在即沿流线流体在1 1点处的总机械能等于在点处的总机械能等于在2 2点处的总机械能加点处的总机械能加上流动的非定常所需求的能量。上流动的非定常所需求的能量。202FvvdPdlt gz /FPp 212211221222LLvpvpvgzgzdlt 【例【例7-1】如下图为程度放置、间隙为】如下图为程度放置、间隙为、半径为、半径为r2的二圆盘，水由上圆的二圆盘，水由上圆盘中央半径为

44、盘中央半径为r1的小管以速度的小管以速度v1定常地流入，假设不计水流入的动量，定常地流入，假设不计水流入的动量，试求圆盘间水的压强沿径向的分布规律。试求圆盘间水的压强沿径向的分布规律。【例【例7-27-2】如下图为盛有液体的等截面】如下图为盛有液体的等截面U U型管，两端通大气，管内液柱总型管，两端通大气，管内液柱总长为长为l l。假设起始时辰液体两端自在面的高差为。假设起始时辰液体两端自在面的高差为h h，之后液柱将在管中，之后液柱将在管中振荡，其振荡规律如何？振荡，其振荡规律如何？7.6 7.6 涡线涡线 涡管涡管 涡束涡束 涡通量涡通量 7.6 7.6 涡线涡线 涡管涡管 涡束涡束 涡通

45、量涡通量 自然界中流体的流动绝大多数是有旋的自然界中流体的流动绝大多数是有旋的大气中的旋风、龙卷风，桥墩后的涡旋区；大气中的旋风、龙卷风，桥墩后的涡旋区；行进中的船舶后的尾涡区；行进中的船舶后的尾涡区；充溢微小涡旋的紊流流动；充溢微小涡旋的紊流流动；物体外表充溢微小涡旋的边境层流动；物体外表充溢微小涡旋的边境层流动；叶轮机械内流体的涡旋运动。叶轮机械内流体的涡旋运动。7.6 7.6 涡线涡线 涡管涡管 涡束涡束 涡通量涡通量 流体微团旋转角速度的矢量表示流体微团旋转角速度的矢量表示更普遍地用涡量来描画流体微团的旋转运动更普遍地用涡量来描画流体微团的旋转运动涡量的定义涡量的定义充溢涡量的流场称为

46、涡量场充溢涡量的流场称为涡量场12v 2vrotv yyzzxxxyzvvvvvvyzzxxy 7.6.1 7.6.1 涡线涡线在给定瞬时处处与涡量矢量相切的曲线。在给定瞬时处处与涡量矢量相切的曲线。沿该线各流体微团的瞬时转动轴线。沿该线各流体微团的瞬时转动轴线。涡线方程涡线方程 非定常流动，涡线的外形和位置是随时间变化的，积分涡线非定常流动，涡线的外形和位置是随时间变化的，积分涡线微分方程时，微分方程时，t t作为参变量；作为参变量；定常流动，涡线的外形和位置坚持不变，涡线微分方程中没定常流动，涡线的外形和位置坚持不变，涡线微分方程中没有时间变量有时间变量t t。( , , , )( , ,

47、 , )( , , , )xyzdxdydzx y z tx y z tx y z t7.6.2 7.6.2 涡管涡管 涡束涡束给定瞬时在涡量场中取一不是涡线的封锁曲线，经过封锁曲给定瞬时在涡量场中取一不是涡线的封锁曲线，经过封锁曲线的每一点作涡线，这些涡线构成的管状外表称为涡管；线的每一点作涡线，这些涡线构成的管状外表称为涡管；截面无限小的涡管称为微元涡管；截面无限小的涡管称为微元涡管；涡管中充溢着的作旋转运动的流体称为涡束；涡管中充溢着的作旋转运动的流体称为涡束；微元涡管中的涡束称为微元涡束或涡丝。微元涡管中的涡束称为微元涡束或涡丝。7.6.3 7.6.3 涡通量涡通量 在涡量场中取一微元

48、面积在涡量场中取一微元面积dAdA，其上流体微团的涡量为，其上流体微团的涡量为，那么经过微元面积的涡通量为那么经过微元面积的涡通量为经过面经过面A A的涡通量的涡通量涡通量又称涡旋强度，假设面涡通量又称涡旋强度，假设面A A是涡管的截面，那么称是涡管的截面，那么称J J为为涡管强度。涡管强度。AJdA dJdA 7.7 7.7 速度环量速度环量 斯托克斯定理斯托克斯定理 7.7.1 7.7.1 速度环量速度环量在流场的某封锁周线上，流体的速度矢量与该线微元有向线在流场的某封锁周线上，流体的速度矢量与该线微元有向线段的标积沿周线的线积分，定义为速度环量，用符号段的标积沿周线的线积分，定义为速度环

49、量，用符号表表示示速度环量是代数量，它的正负不仅与速度的方向有关，还与速度环量是代数量，它的正负不仅与速度的方向有关，还与线积分的绕行方向有关；线积分的绕行方向有关；规定：绕行的正方向为逆时针方向，即封锁周线所包围的面规定：绕行的正方向为逆时针方向，即封锁周线所包围的面积总在绕行前进方向的左侧；封锁周线所围曲面的法线正积总在绕行前进方向的左侧；封锁周线所围曲面的法线正方向与绕行的正方向构成右手螺旋系统。方向与绕行的正方向构成右手螺旋系统。()xyzv dlv dxv dyv dz 7.7.2 7.7.2 斯托克斯定理斯托克斯定理在涡量场中，沿恣意封锁周线的速度环量等于经过该周线所在涡量场中，沿

50、恣意封锁周线的速度环量等于经过该周线所张曲面的涡通量张曲面的涡通量斯托克斯定理的运用区域限制条件斯托克斯定理的运用区域限制条件区域内恣意封锁周线都能延续地收缩成一点而不越出流体的区域内恣意封锁周线都能延续地收缩成一点而不越出流体的边境边境这种区域称为单连通域这种区域称为单连通域否那么称为多连通域否那么称为多连通域KAv dldA 【例【例7-3】知二维流场的速度分布为】知二维流场的速度分布为vx=-6y，vy=8x，试求绕，试求绕圆圆x2+y2=R2的速度环量。的速度环量。【例【例7-4】在二元涡量场中，知圆心在坐标原点、半径】在二元涡量场中，知圆心在坐标原点、半径r=0.2m的圆区域内的圆区

51、域内流体的涡通量流体的涡通量J=0.8m2/s。假设流体微团在半径。假设流体微团在半径r处的速度分量处的速度分量v为为常数，它的值是多少？常数，它的值是多少？【例【例7-57-5】知理想流体的速度分布为】知理想流体的速度分布为 ，试求涡线方程以及沿封锁周线试求涡线方程以及沿封锁周线 的速度环的速度环量，其中量，其中a a、b b为常数。为常数。22,0 xyzvayzvv 222(0)xybz 7.8 7.8 汤姆孙定理汤姆孙定理 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理 7.8.1 7.8.1 汤姆孙定理汤姆孙定理正压的理想流体在有势的质量力作用下沿任何由流体质点组正压的理想流体在有势的质量力作用下沿任何由

52、流体质点组成的封锁周线的速度环量不随时间变化；成的封锁周线的速度环量不随时间变化；正压的理想流体在有势的质量力作用下，速度环量和涡旋不正压的理想流体在有势的质量力作用下，速度环量和涡旋不能自行产生，也不能自行消逝。能自行产生，也不能自行消逝。7.8.1 7.8.1 汤姆孙定理汤姆孙定理理想流体无粘性，不存在切应力，不能传送旋转运动；理想流体无粘性，不存在切应力，不能传送旋转运动；既不能使不旋转的流体微团旋转，也不能使旋转的流体微团既不能使不旋转的流体微团旋转，也不能使旋转的流体微团停顿旋转；停顿旋转；流场中原来有涡旋和速度环量的，将坚持有涡旋和速度环量；流场中原来有涡旋和速度环量的，将坚持有涡

53、旋和速度环量；原来没有涡旋和速度环量的，就永远没有涡旋和速度环量；原来没有涡旋和速度环量的，就永远没有涡旋和速度环量；流场中也会出现没有速度环量但有涡旋的情况，此时涡旋是流场中也会出现没有速度环量但有涡旋的情况，此时涡旋是成对出现的，每对涡旋的强度相等而旋转方向相反。成对出现的，每对涡旋的强度相等而旋转方向相反。7.8.2 7.8.2 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理亥姆霍兹第一定理亥姆霍兹第一定理在同一瞬时涡管各截面上的涡通量一样。在同一瞬时涡管各截面上的涡通量一样。涡管在流体中既不能开场，也不能终止，只能是自成封锁的涡管在流体中既不能开场，也不能终止，只能是自成封锁的管圈，或在边境上开场、终止。管

54、圈，或在边境上开场、终止。7.8.2 7.8.2 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理亥姆霍兹第二定理涡管守恒定理亥姆霍兹第二定理涡管守恒定理在有势的质量力作用下的正压理想流体中，涡管一直由一样在有势的质量力作用下的正压理想流体中，涡管一直由一样的流体质点组成。的流体质点组成。亥姆霍兹第三定理涡管强度守恒定理亥姆霍兹第三定理涡管强度守恒定理在有势的质量力作用下的正压理想流体中，涡管强度不随时在有势的质量力作用下的正压理想流体中，涡管强度不随时间变化。间变化。7.9 7.9 二维涡流二维涡流 7.9 7.9 二维涡流二维涡流设在重力作用下的不可紧缩理想流体中，有一无限长的涡通设在重力作用下的不可紧缩理想流体

55、中，有一无限长的涡通量为量为J J的垂直涡束，像刚体一样以等角速度的垂直涡束，像刚体一样以等角速度绕本身轴旋绕本身轴旋转；转；涡束周围的流体受涡束的诱导将绕涡束轴作对应的等速圆周涡束周围的流体受涡束的诱导将绕涡束轴作对应的等速圆周运动，根据斯托克斯定理运动，根据斯托克斯定理=J=J；由于直线涡束无限长，与涡束轴垂直的一切平面上的流动情由于直线涡束无限长，与涡束轴垂直的一切平面上的流动情况都一样，可只研讨其中一个平面的流动况都一样，可只研讨其中一个平面的流动 。7.9 7.9 二维涡流二维涡流涡束内的流动区域，称为涡核区。涡束内的流动区域，称为涡核区。有旋流动，其半径为有旋流动，其半径为rbrb

56、。涡束外的流动区域称为环流区涡束外的流动区域称为环流区 。由于沿区内恣意封锁曲线的速度环量都为零，故为无旋流动。由于沿区内恣意封锁曲线的速度环量都为零，故为无旋流动。7.9 7.9 二维涡流二维涡流环流区环流区 环流区的速度分布环流区的速度分布vr=0vr=0v=v=/(2r) (rrb)v=v=/(2r) (rrb)环流区内随半径的减小，流速升高。环流区内随半径的减小，流速升高。环流区的压强分布环流区的压强分布p+v2/2=pp+v2/2=pp=p-v2/2=p -2/(82r2)p=p-v2/2=p -2/(82r2)环流区内随半径的减小，压强降低。环流区内随半径的减小，压强降低。7.9

57、7.9 二维涡流二维涡流环流区环流区在与涡核交界处，流速到达该区的最高值，而压强那么是该在与涡核交界处，流速到达该区的最高值，而压强那么是该区的最低值。区的最低值。2bbvr 222228bbvpppr 7.9 7.9 二维涡流二维涡流涡核区涡核区 涡核区的速度分布涡核区的速度分布vr=0vr=0v=v=r (rrb)v=v=r (rrb)涡核区为有旋流动，伯努利方程的积分常数随流线而变，其涡核区为有旋流动，伯努利方程的积分常数随流线而变，其压强分布由欧拉运动微分方程推出：压强分布由欧拉运动微分方程推出：11xxxyyyxyvvpvvxyxvvpvvxyy yxbbbbvxvyrrppvvr

58、2222221122bbppvbprr 7.9 7.9 二维涡流二维涡流涡核区涡核区涡核中心的流速为零，压强最低涡核中心的流速为零，压强最低涡核区边缘至涡核中心的压强降涡核区边缘至涡核中心的压强降涡核区和环流区的压强降相等，都等于以它们交界处的速度涡核区和环流区的压强降相等，都等于以它们交界处的速度计算的动压头；计算的动压头；由于涡核区的压强比环流区的低，而涡核区又很小，径向压由于涡核区的压强比环流区的低，而涡核区又很小，径向压强梯度很大，故有向涡核中心的抽吸作用，涡旋越强，这强梯度很大，故有向涡核中心的抽吸作用，涡旋越强，这种作用越大，如龙卷风，具有极强的涡旋，有很大的破坏种作用越大，如龙卷

59、风，具有极强的涡旋，有很大的破坏力；力；在工程实践中，也有许多与涡流有关的安装。在工程实践中，也有许多与涡流有关的安装。2222221122bbppvbprr 2cbppv 212bcbbppvpp 7.10 7.10 速度势速度势 流函数流函数 流网流网 7.10 7.10 速度势速度势 流函数流函数 流网流网自然界中无旋流动是很少的自然界中无旋流动是很少的有许多有旋流动可以近似地视为无旋流动有许多有旋流动可以近似地视为无旋流动可以使繁琐的数学计算得到简化，处理工程实践问题；可以使繁琐的数学计算得到简化，处理工程实践问题；此类分析、计算方法曾经很成熟。此类分析、计算方法曾经很成熟。7.10.

60、1 7.10.1 速度势函数速度势函数 无旋流动无旋流动是是vxdx+vydy+vzdzvxdx+vydy+vzdz成为某函数成为某函数(x,y,z)(x,y,z)的全微分的充要条件的全微分的充要条件 d=vxdx+vydy+vzdz d=vxdx+vydy+vzdz流场的速度等于势函数流场的速度等于势函数的梯度，的梯度， 为速度势函数，简称速为速度势函数，简称速度势；度势；称无旋流动为有势流动，简称势流。称无旋流动为有势流动，简称势流。0v yyzzxxvvvvvvyzzxxyxyzvvvxyz xyzvv iv jv kijkgradxyz ddxdydzxyz 7.10.1 7.10.1