无穷级数习题课4

1、一一 重点与难点重点与难点 1.1.无穷级数及其收敛、发散的概念；无穷级数及其收敛、发散的概念； 无穷级数的基本性质及收敛的必要条件；无穷级数的基本性质及收敛的必要条件； 正项级数正项级数的比较审敛法及几何级数和的比较审敛法及几何级数和 p-p-级数的收敛性；级数的收敛性； 正项级数正项级数的比值审敛法和根值审敛法；的比值审敛法和根值审敛法； 交错级数的莱布尼茨定理，级数绝对收敛和条件收敛的交错级数的莱布尼茨定理，级数绝对收敛和条件收敛的概念和判别方法。概念和判别方法。2. .理解函数项级数的收敛域与和函数的概念；理解函数项级数的收敛域与和函数的概念； 熟练掌握熟练掌握确定幂级数收敛域确定幂级

2、数收敛域的方法；的方法； 会求简单的幂级数的和函数；会求简单的幂级数的和函数； 3. .函数可展为幂级数的充要条件函数可展为幂级数的充要条件； 掌握掌握ex, ,sinx , cosx , ln(1+x) , (1+x) 的麦克劳林展开式的麦克劳林展开式 会用间接法把函数会用间接法把函数展开成展开成幂级数。幂级数。5. . 掌握傅立叶级数的收敛定理，熟练地把周期为掌握傅立叶级数的收敛定理，熟练地把周期为 2 （或（或2l ) )的的函数函数展开成展开成傅立叶级数；傅立叶级数； 掌握函数延拓思想，会把掌握函数延拓思想，会把0,0, (或或0,0,l ) )上的函数上的函数 展开成正弦展开成正弦级

3、数和余级数和余弦弦级数；级数； 会用傅立叶级数求某些简单的数项级数的和。会用傅立叶级数求某些简单的数项级数的和。4.一一 重点与难点重点与难点. . ._, _),0( , 3 ._ . _)0( 2._ _ 1120o1o1o时时它它发发散散时时它它收收敛敛；当当当当叫叫级级数数为为若若正正项项级级数数发发散散，其其和和序序列列有有界界项项和和条条件件是是它它的的前前收收敛敛的的正正项项级级数数要要条条件件是是定定义义的的。级级数数收收敛敛的的必必收收敛敛还还是是发发散散，是是用用级级数数 aarararaarnuuunnnnnnnn 充充 要要几何几何 |r| 1P 1比较法比较法比值法比

4、值法根值法根值法积分法积分法交错级数交错级数), 2 , 1( 1 nuunn.0lim nnu. u1 un+1._ _,_ 10_. _ 9._ , 1|lim 1lim 8 ._ ._ 711*o*o111o11o且且新新级级数数的的和和为为，则则其其乘乘积积是是新新级级数数，两两个个绝绝对对收收敛敛级级数数其其和和，且且后后，新新级级数数绝绝对对收收敛敛级级数数各各项项重重排排则则级级数数或或者者，若若有有对对级级数数条条件件收收敛敛，是是指指级级数数绝绝对对收收敛敛，是是指指级级数数 nnnnnnnnnnnnnnnnnnvsuuuuuuuu收敛收敛若若 | 1 nnu, | 1发散发

5、散若若 nnu收敛收敛而而 1 nnu必定发散必定发散仍然收敛仍然收敛不变不变 )()(1121122111vuvuvuvuvuvunnn s._ _)(2)_;_ _._ _)1(000收收敛敛区区间间的的方方法法是是求求幂幂级级数数是是求求它它的的收收敛敛区区间间的的方方法法收收敛敛半半径径的的方方法法是是求求幂幂级级数数 nnnnnnxxaxa,lim 1 nnnaa求求.先求出先求出R, 令令 y = xx0, , 0 nnnya的收敛区间的收敛区间.;1 , 0 R当当先考虑先考虑再换回再换回 x 的收敛区间。的收敛区间。2. 确定幂级数收敛域确定幂级数收敛域. 0 , R 当当;

6、, 0 R 当当:R再推得再推得.再考虑端点再考虑端点x=R处的敛散性处的敛散性.导导数数，则则在在该该邻邻域域内内的的某某邻邻域域内内具具有有任任意意阶阶在在设设0)(xxf.3. 函数可展为幂级数的充要条件函数可展为幂级数的充要条件200000000)(!2)()()()(! )( xxxfxxxfxfxxnxfnnn 称称 )( : )(的的泰泰勒勒公公式式中中的的余余项项件件是是可可展展为为幂幂级级数数的的充充要要条条xfxf).( 0)( nxRn 00时时，称称当当 x !)0(!2)0()0()0()(2 nnxnfxfxff 0! )0(nnnxnf nnxxnxf)(!)(0

7、0)(为函数为函数 f (x)的泰勒级数。的泰勒级数。为函数为函数 f (x)的麦克劳林级数。的麦克劳林级数。),( x1 , 1( x)1 , 1( x 1121)!12()1(nnnnx )!12()1( ! 5! 312153nxxxxnn 02)!2()1(nnnnx )!2()1( ! 4! 21242nxxxnn 11)1(nnnnx nxxxxnn 132)1( 32nnxnn 1!)1( )2)(1(1 nxnnxx!)1( )1( ! 2)1(12 . 0!nnnx ! ! 212nxxxn),( x xe xsin xcos )ln(1x )1(x),( x.4. 五个重要

8、函数的幂级数展开式五个重要函数的幂级数展开式._ _,_ ,_ )( , (3) nnbaxf其其中中系系数数是是：的的傅傅氏氏级级数数的的形形式式上上满满足足狄狄氏氏条条件件的的函函数数在在条条件件。展展为为傅傅氏氏级级数数的的上上满满足足狄狄氏氏条条件件是是它它可可在在上上满满足足狄狄氏氏条条件件是是指指在在_ ,)( (2) ._ _,)( )1( xfxff (x): 1o. 连续或只有连续或只有有限个第一类间断点；有限个第一类间断点；2o. 至多有有限个极值点。至多有有限个极值点。充充 分分 10)sincos(2nnnnxbnxaa.) , 2 , 1 , 0( dcos)(1 n

9、xnxxf), 2 , 1 ( dsin)(1 nxnxxf.5. .傅立叶级数傅立叶级数._ ,_ _,_ )( , )4( nnbaxfll其其中中系系数数的的形形式式是是：的的傅傅氏氏级级数数上上满满足足狄狄氏氏条条件件的的函函数数在在._ ._ )( , 0 )5( nbxf其其中中系系数数的的正正弦弦级级数数的的形形式式是是：上上函函数数在在 10)sincos(2nnnlxnblxnaa) , 2 , 1 , 0( dcos)(1 nxlxnxflll) , 2 , 1 ( dsin)(1 nxlxnxflll.5.傅立叶级数傅立叶级数 1sinnnnxb) , 2 , 1 ( d

10、sin)(2 0 nxnxxf._ )( , 0 (8)._ )( , 0 )7(._ )( , 0 (6) nnnaxflbxflaxf其其中中系系数数的的余余弦弦级级数数的的形形式式是是：上上函函数数在在其其中中系系数数的的正正弦弦级级数数的的形形式式是是：上上函函数数在在其其中中系系数数的的余余弦弦级级数数的的形形式式是是：函函数数在在 10cos2nnnxaa) , 2 , 1 , 0( dcos)(2 0 nxnxxf 1sinnnlxnb) , 2 , 1 ( dsin)(20 nxlxnxfll 10cos2nnlxnaa) , 2 , 1 , 0( dcos)(20 nxlxn

11、xfll.答：如果仅要求在有限区间内把非奇函数展开成正弦级数，答：如果仅要求在有限区间内把非奇函数展开成正弦级数， 是可以的。是可以的。例如：例如：. ) , 0()(上上展展开开成成正正弦弦级级数数在在把把xf),( 0( 新新函函数数在在内内补补充充函函数数的的定定义义，使使，可可以以在在这就是这就是奇延拓。奇延拓。把把F(x)按周期按周期2 延拓后展成正弦级数延拓后展成正弦级数. sin1 nnnxb则当则当 x (0, )时，这就是时，这就是 f (x)的的正弦级数。正弦级数。.采用采用奇延拓奇延拓的方法。的方法。. 0 ),(0 , 0 0 ),()(xxfxxxfxF即即：成成奇奇

12、函函数数 . (9) 奇函数以外的函数可以展开成正弦级数吗？奇函数以外的函数可以展开成正弦级数吗？）（收敛收敛则则收敛收敛若若）（收敛收敛可以可以则则发散发散发散发散若若）（发散发散则则发散发散收敛，收敛，若若）（收敛收敛收敛，则收敛，则若若）（收敛收敛收敛，则收敛，则若若）（收敛收敛，则级数，则级数若若）（收敛，则收敛，则若级数若级数 ., 7 . )( , , 6 .)( , 5 .| 4 .| 3 .0lim 2 . 0lim 1121o111o111o11o11o1o1o nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnuuvuvuvuvuuuuuuuuu一一 判断

13、是非判断是非（是是：；非非：, , 后者请举反例后者请举反例. .） 111)1(nnn.例：例：练习题解答练习题解答）（，则此级数收敛，则此级数收敛满足满足若正项级数若正项级数）（收敛收敛绝对绝对则则收敛收敛收敛收敛若若）（且和不变且和不变收敛收敛则则收敛收敛若若）（收敛收敛）（收敛收敛必必则则发散，发散，若若）（必发散必发散则则收敛收敛若若）（收敛收敛则则收敛收敛若若 .1 14 ., , 13 ., , 12 . )0001. 01( 11 .1 10 .1, 9 ., 811o11212o101o12o11o11o112o nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnuuu

14、babauunuuuuuu.例：例： 11nn111 nnuunn.1),(. , ,)(3xsxxxf函函数数为为若若它它的的付付立立叶叶级级数数的的和和 _,)25( s则则._) 3( s2._)6( _,)27( ),( 20)( 21 , 110 ,)( ssxsxfxxxxf则则为为弦弦级级数数的的和和函函数数的的余余，在在设设，.82.0.211.(正正)21( (0).二、填空题二、填空题三三 计算题计算题1 ).0( 11 1 aann的敛散性的敛散性判断级数判断级数:1 a当当, 111nnaa 收敛，收敛，因级数因级数 1 1 nna. 原原级级数数收收敛敛:1 a当当:

15、1 a当当. 021111limlim nnnu. 原原级级数数发发散散. 0111limlim nnnnau. 原原级级数数发发散散.解：解：2 . 1)sin( 12的敛散性的敛散性判断级数判断级数 nnnn , 1)sin( 22nnn 因为因为收敛，收敛，而级数而级数 12 1 nn. )sin(12绝绝对对收收敛敛 nnn 发散，发散，而而 1 1 nn. 原级数发散原级数发散.解：解：三三 计算题计算题. )!1( 1 nonnn 时，时，当当 用用级级数数理理论论证证明明：，考考虑虑级级数数 ! 1 nnnnnnnnu! !)1(! )1(limlim11nnnnuunnnnnn

16、 nnnn)1(lim 由比值法：由比值法：. ! 1收收敛敛级级数数 nnnn由收敛的必要条件：由收敛的必要条件：0lim nnu0!lim nnnn即即：. 1e1 解：解：3. )!1( 1 nonnn 时，时，当当 . tan)1( )1( ),2, 0( . ) , 2 , 1( 01211的敛散性的敛散性级数级数判断判断常数常数收敛收敛，且，且设设 nnnnnnnnnannuana 收敛，收敛，级数级数 1 nna. 12收敛收敛级数级数 nnannaunnnn tanlimlim 2 因因为为 . 121同同收收敛敛与与级级数数级级数数 nnnnau. )1( 1收敛收敛绝对绝对

17、级数级数 nnnu.解：解：4.) (2的子列的子列项和序列项和序列是前者前是前者前项和序列项和序列后者前后者前nmsnsm.（为什么？）（为什么？）. 2 11数数的的收收敛敛域域，并并求求其其和和函函求求级级数数 nnnnx, 21lim1 nnnaaR = 2解：解：发散，发散，时，时，当当 121 2 nnx.2)1( 2 11收敛收敛时，时，当当 nnnx).2 , 2 x收收敛敛域域： 112)(nnnnxxS设设 121nnnnxx)21ln(1xx 0 x 0 210 )21ln(1)(xxxxxS.展开式展开式4=（由原级数知（由原级数知.）5. 1 )( )2( )( (1

18、) 634)( 2处处的的泰泰勒勒级级数数在在的的麦麦克克劳劳林林级级数数；，试试求求：设设 xxfxfxxxxf解：解：.2133)( xxxf21121311)( )1(xxxf 0102)3(nnnnnxxnnnnx 0121)31()2 , 0( x.1)1(1)1(43)( )2( xxxf)1(11)1(411143 xx 00)1()1()41(43nnnnnxxnnnnx)1(14)1(301 )2 , 2( x.6解：解：. !)1)(1( )!1( 11的和的和的和函数，并求的和函数，并求求幂级数求幂级数 nnnnnnnnx, 01limlim 1 naannnn. R 1 )!1( )S(nnnnxx 01 !)1(nnnxn 0 !)1