连续函数的运算与初等函数的连续性(4)课件

1、第八节连续函数的运算及初等函数的连续性一、四则运算的连续性一、四则运算的连续性二、反函数与复合函数的连续性二、反函数与复合函数的连续性三、初等函数的连续性三、初等函数的连续性四、小结思考题四、小结思考题一、四则运算的连续性一、四则运算的连续性定理定理1 1.)0)()()(),()(),()(,)(),(000处处也也连连续续在在点点则则处处连连续续在在点点若若函函数数xxgxgxfxgxfxgxfxxgxf 例如例如,),(cos,sin内内连连续续在在 xx.csc,sec,cot,tan在在其其定定义义域域内内连连续续故故xxxx二、反函数与复合函数的连续性二、反函数与复合函数的连续性定

2、理定理2 2 严格单调的连续函数必有严格单调的连严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数续反函数. .例如例如,2,2sin上单调增加且连续上单调增加且连续在在 xy. 1 , 1arcsin上也是单调增加且连续上也是单调增加且连续在在故故 xy;1 , 1arccos上上单单调调减减少少且且连连续续在在同同理理 xy.,cot,arctan上上单单调调且且连连续续在在 xarcyxy反三角函数在其定义域内皆连续反三角函数在其定义域内皆连续.定理定理3 3).(lim)()(lim,)(,)(lim000 xfafxfaufaxxxxxxx 则则有有连连续续在在点点函函数数若若证证,)(连连

3、续续在在点点auuf .)()(, 0, 0成成立立恒恒有有时时使使当当 afufau,)(lim0axxx 又又,0, 0, 00时时使使当当对对于于 xx.)(成立成立恒有恒有 auax将上两步合起来将上两步合起来:,0, 0, 00时时使使当当 xx)()()()(afxfafuf .成立成立 )()(lim0afxfxx ).(lim0 xxx 意义意义1.极限符号可以与函数符号互换极限符号可以与函数符号互换;.)(. 2的的理理论论依依据据变变量量代代换换xu 例例1 1.)1ln(lim0 xxx 求求. 1 xxx10)1ln(lim 原原式式)1(limln10 xxx eln

4、 解解).(lim)()(lim00 xfafxfxxxx例例2 2.1lim0 xexx 求求. 1 )1ln(lim0yyy 原原式式解解,1yex 令令),1ln(yx 则则. 0,0yx时时当当yyy10)1ln(1lim 同理可得同理可得.ln1lim0axaxx .)(,)(,)(,)(00000也也连连续续在在点点则则复复合合函函数数连连续续在在点点而而函函数数且且连连续续在在点点设设函函数数xxxfyuuufyuxxxxu 定理定理4 4注意注意定理定理4是定理是定理3的特殊情况的特殊情况.例如例如,), 0()0,(1内内连连续续在在 xu,),(sin内内连连续续在在 uy

5、.), 0()0,(1sin内内连连续续在在 xy三、初等函数的连续性三、初等函数的连续性三角函数及反三角函数在它们的定义域内是三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的连续的.)1, 0( aaayx指指数数函函数数;),(内单调且连续内单调且连续在在)1, 0(log aaxya对对数数函函数数;), 0(内单调且连续内单调且连续在在定理定理5 5 基本初等函数在定义域内是连续的基本初等函数在定义域内是连续的. . xy xaalog ,uay .log xua ,), 0(内内连连续续在在 ,不不同同值值讨讨论论 (均在其定义域内连续均在其定义域内连续 )定理定理6 6 一切初等函数在

6、其一切初等函数在其定义区间定义区间内都是连内都是连续的续的. .定义区间是指包含在定义域内的区间定义区间是指包含在定义域内的区间. .1. 初等函数仅在其定义区间内连续初等函数仅在其定义区间内连续, 在在其定义域内不一定连续其定义域内不一定连续;例如例如, 1cos xy,4,2, 0: xD这些孤立点的邻域内没有定义这些孤立点的邻域内没有定义.,)1(32 xxy, 1, 0: xxD及及在在0点的邻域内没有定义点的邻域内没有定义.), 1上连续上连续函数在区间函数在区间注意注意例例3 3. 1sinlim1 xxe求求1sin1 e原式原式. 1sin e例例4 4.11lim20 xxx

7、 求求解解解解)11()11)(11(lim2220 xxxxx原原式式11lim20 xxx20 . 0 )()()(lim000定义区间定义区间 xxfxfxx注意注意2. 初等函数求极限的方法：初等函数求极限的方法：代入法代入法.称形如称形如y=f (x)g(x)的函数为幂指函数的函数为幂指函数, 其中其中f (x)0. 根据对数恒等式根据对数恒等式 y=elny, y 0, 有有f (x)gx = eg(x) lnf (x),即即, 当当f (x), g(x)均连续时均连续时, f (x)g (x)也连续也连续.则则)(0)(00)()(limxgxgxxxfxf)()(lim ),(

8、)(lim0000 xgxgxfxfxxxx若补充：补充：xxx)2(lim0120例例若 limf (x) = A 0. limg(x) = B, 存在.)()(limxgxf则)(ln)(limxfxgeABelnBAxxxx102sinlim例例.= 21 = 21)1 (lim, 22sinlim00 xxxxx四、小结思考题四、小结思考题连续函数的和差积商的连续性连续函数的和差积商的连续性.复合函数的连续性复合函数的连续性.初等函数的连续性初等函数的连续性.定义区间与定义域的区别定义区间与定义域的区别;求极限的又一种方法求极限的又一种方法.两个定理两个定理; 两点意义两点意义.反函数

9、的连续性反函数的连续性.思考题思考题 设设xxfsgn)( ，21)(xxg ，试试研研究究复复合合函函数数)(xgf与与)(xfg的的连连续续性性.思考题解答思考题解答21)(xxg )1sgn()(2xxgf 1 2sgn1)(xxfg 0, 10, 2xx在在),( 上上处处处处连连续续)(xgf在在)0 ,( ), 0( 上上处处处处连连续续)(xfg0 x是它的可去间断点是它的可去间断点 0, 10, 00, 1)(xxxxf一一、 填填空空题题：1 1、 43lim20 xxx_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .2 2、 xxx11lim0_ _ _ _ _ _

10、 _ _ _ _ _ _ _. .3 3、 )2cos2ln(lim6xx _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .4 4、 xxx24tancos22lim _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .5 5、 tett1lim2_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. . 6 6、设设,0,0,)( xxaxexfx 当当 a_ _ _ _ _ _时时，)(xf在在 ),( 上上连连续续 . .练练 习习 题题7 7、 函数函数61)(24 xxxxxf的连续区间为的连续区间为 _. _.8 8、 设设 时时当当时时当当1,11,2cos)(xxxxxf确定确定 )(lim21xfx_; ; )(lim1xfx_._.二、二、 计算下列各极限：计算下列各极限：1 1、axaxax sinsinlim； 2 2、xxxcot20)tan31(lim ；3 3、1)1232(lim xxxx；三、三、 设设 0),ln(0,10,)(22xxxbxxxaxf已知已知)(xf在在 0 x处连续，试确处连续，试确 定定a和和b的值的值. .四、四、 设函数设函数)(xf在在0 x处连续，且处连续，且0)0( f, ,已知已知)()(xfxg ，试证函数，试证函数)(xg在在0 x处也