连续与间断的概念及连续函数的运算课件

1、连续与间断的概念及连续函数的连续与间断的概念及连续函数的运算运算 一、函数连续的概念二、函数间断点的概念三、连续函数的运算1. 增量的定义增量的定义. , , , 121221uuuuuuuuuu 即即记作记作的增量的增量就叫做变量就叫做变量终值与初值终值与初值变到终值变到终值从它的一个初值从它的一个初值设变量设变量增量可正可负增量可正可负. , 0时时当当 u , 121是是增增大大的的变变到到从从变变量量uuuuu , 0时时当当 u . 是减小的是减小的变量变量 u一、函数连续的概念一、函数连续的概念xy0 xy0).()( , )( )( , , )( 0000000 xfxxfyyx

2、xfxfyxxxxxxfy 对对应应的的增增量量为为数数则则函函变变到到相相应应地地从从函函数数时时变变到到在在这这邻邻域域内内从从当当自自变变量量定定义义的的某某一一个个邻邻域域内内有有在在点点设设函函数数0 xxx 0)(xfy x 0 xxx 0 x y y )(xfy 从几何上观察从几何上观察:2. 连续(continuous)的定义,0 xxx 设设),()(0 xfxfy ,00 xxx就就是是 ).()(00 xfxfy就就是是 定义定义1. )( , 0)()(limlim , )( 000000连续连续在点在点函数函数那么就称那么就称如果如果定义定义的某一个邻域内有的某一个邻

3、域内有在点在点设函数设函数xxfyxfxxfyxxfyxx 连续的定义还可以有其他表示形式连续的定义还可以有其他表示形式: 3定定义义定定义义 .)()( , 0, 0 )( 000 xfxfxxxxf恒有恒有时时使当使当连续连续在点在点定义定义2. )( ),()(lim , )( 0000连续连续在点在点函数函数那么就称那么就称如果如果定义定义的某一个邻域内有的某一个邻域内有在点在点设函数设函数xxfxfxfxxfyx 例例1. 0 , 0, 0, 0,1sin)( 连续连续处处在在试证函数试证函数 xxxxxxf证证 , 01sinlim0 xxx因为因为, 0)0( f又又由由定义定义

4、2知知.0)(处连续处连续在在函数函数 xxf),0()(lim0fxfx 3. 单侧连续(1) 左连续左连续: . )( ),()( ),( )()(lim 000000左左连连续续在在就就称称函函数数即即存存在在且且等等于于如如果果xxfxfxfxfxfxfxx (2) 右连续右连续: . )( ),()( ),( )()(lim 000000右右连连续续在在就就称称函函数数即即存存在在且且等等于于如如果果xxfxfxfxfxfxfxx .)()(00左连续又右连续左连续又右连续处既处既在在函数函数处连续处连续在在函数函数xxfxxf4. 连续函数(continuous function)

5、与连续区间 在区间上每一点都连续的函数在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间叫做在该区间上的连续函数上的连续函数, 或者说函数在该区间上连续或者说函数在该区间上连续.,)(,),(上连续上连续在闭区间在闭区间函数函数则称则称处左连续处左连续在右端点在右端点处右连续处右连续点点并且在左端并且在左端内连续内连续如果函数在开区间如果函数在开区间baxfbxaxba 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线. ;),(内是连续的内是连续的有理整函数在区间有理整函数在区间例例2 有关有理函数的讨论有关有理函数的讨论.:)( )( )1(多多项项式式有有理理整整函函数

6、数xf,R0 x ),()(lim 00 xfxfxx 都都有有:)()( )( )2(xQxPxF 有理分式函数有理分式函数 , 0)( 0时时当当 xQ ),()(lim 00 xFxFxx 都有都有故有理分式函数在其定义域内每一点连续故有理分式函数在其定义域内每一点连续.例例3.),(sin内连续内连续在区间在区间函数函数证明证明 xy证证),( x任任取取xxxysin)sin( )2cos(2sin2xxx , 1)2cos( xx 因因为为.2sin2xy 则则,0,时时当当对对任任意意的的 ,sin 有有,2sin2xxy 故故. 0,0yx 时时所所以以当当.),(sin都都是

7、是连连续续的的对对任任意意函函数数即即 xxy例例4.00, 20, 2)(的的连连续续性性处处在在讨讨论论函函数数 xxxxxxf解解)2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f )2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f 右连续但不左连续右连续但不左连续 ,.0)(处处不不连连续续在在点点故故函函数数 xxf例例5.00,0,cos)(,处连续处连续在在函数函数取何值时取何值时当当 xxxaxxxfa解解xxfxxcoslim)(lim00 , 1 )(lim)(lim00 xaxfxx , a ,)0(af 因为因为)0()00()00(fff 要使要使,1时时故当且仅

8、当故当且仅当 a.0)(处处连连续续在在函函数数 xxf, 1 a : )( ,)(0有以下三种情况之一有以下三种情况之一如果如果的某去心邻域内有定义的某去心邻域内有定义在点在点设函数设函数xfxxf; )1(0没有定义没有定义在在xx ; )(lim , )2(00不不存存在在但但有有定定义义虽虽然然在在xfxxxx );()(lim , )(lim , )3(0000 xfxfxfxxxxxx 但但存存在在且且有有定定义义虽虽然然在在 ).( )( , )( 00间间断断点点的的不不连连续续点点称称为为不不连连续续在在则则xfxxxf二、函数间断点的概念间断点间断点(point of di

9、scontinuity)的几种常见类型的几种常见类型1. 无穷间断点无穷间断点例例6 . 2 tan 处处在在正正切切函函数数 xxy)(lim2xfxxxtanlim2 , , , tan 2函函数数在在此此无无定定义义的的间间断断点点是是xx . tan 2的无穷间断点的无穷间断点是是xx 642246x107.552.52.557.510yO例例7.01sin)(处处在在函函数数 xxxfxy1sin ,0)(处没有定义处没有定义在在 xxf).11(1sinlim0之间来回振荡之间来回振荡和和在在不存在不存在且且 xx.0为振荡间断点为振荡间断点 x2. 振荡间断点振荡间断点oxy11

10、23. 可去间断点可去间断点例例8.11,1110, 1,2)(处处在在函数函数 xxxxxxxfxy 1xy2 , 1)1( f)(lim1xfx xx2lim1 , 2 )(lim1xfx )1(lim1xx , 2 2)(lim1 xfx . , 1称为可去间断点称为可去间断点是间断点是间断点 x说明说明 可去间断点只要改变或者补充间断处函数的可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义定义, , 则可使其变为连续点则可使其变为连续点.例例9 . 1 11 2处处在在函函数数 xxxy , 11 1 2无无定定义义处处函函数数在在 xxyx 11lim 21xxx但但, 2)1(lim1

11、xx若补充定义若补充定义: , 2 1 yx时时令令 , 1 连续连续则函数在则函数在 x . , 1称称为为可可去去间间断断点点是是函函数数的的间间断断点点 x例例10.00,10,)(处处在在函函数数 xxxxxxf . , 0称称为为跳跳跃跃间间断断点点为为函函数数的的间间断断点点 xoxy4. 跳跃间断点跳跃间断点)(lim0 xfx )(lim0 xx , 0 )(lim0 xfx )1(lim0 xx , 1 ,)(lim0不存在不存在xfx间断点的分类间断点的分类. )( , )( )( , )( 0000的的第第一一类类间间断断点点数数称称为为函函那那么么都都存存在在及及右右极

12、极限限但但左左极极限限的的间间断断点点是是函函数数如如果果xfxxfxfxfx 第一类间断点中第一类间断点中, 左左、右极限相等者称为右极限相等者称为可去间断点可去间断点, 不相等者称为跳跃间断点不相等者称为跳跃间断点. 不是第一类间断点的任何间断点不是第一类间断点的任何间断点, 称为第称为第二类间断点二类间断点.无穷间断点和振荡间断点属于第二类间断点无穷间断点和振荡间断点属于第二类间断点. . e11)( 1的的间间断断点点的的类类型型确确定定函函数数xxxf 例例1111解解 . 1 ,0 xx间断点为间断点为)(lim0 xfx因因为为, ; 0为无穷间断点为无穷间断点所以所以 x, ,

13、 . 1 为为跳跳跃跃间间断断点点所所以以 x xxx1lim 1因为因为, 0)(lim 1 xfx所所以以 xxx1lim 1因因为为, 1)(lim 1 xfx所所以以 , 0, 1)(是无理数时是无理数时当当是有理数时是有理数时当当xxxDy(1) (1) 狄利克雷函数狄利克雷函数 在定义域在定义域R内每一点处都间断内每一点处都间断, , 且都是第且都是第二类间断点二类间断点. . ,)()2(是无理数时是无理数时当当是有理数时是有理数时当当xxxxxf仅在仅在x=0处连续处连续, ,其余各点处处间断其余各点处处间断. .几个特殊函数的连续性几个特殊函数的连续性o1x2x3xyx xf

14、y , 1, 1)()3(是无理数时是无理数时当当是有理数时是有理数时当当xxxf 在定义域在定义域R内每一点处都间断内每一点处都间断, , 但其绝对但其绝对值处处连续值处处连续. .判断下列间断点类型判断下列间断点类型: :三、连续函数的运算定理定理1. ) 0)( ( )( , )(),(000连续连续都在点都在点时时当当及商及商积积、差差们的和们的和则它则它处连续处连续在点在点设函数设函数xxggfgfgfxxgxf 例如例如,),(cos,sin内连续内连续在在xx.csc,sec,cot,tan在其定义域内连续在其定义域内连续故故xxxx1.连续函数的四则运算连续函数的四则运算定理定

15、理2 . )( ),( )( , )( )( 1且且连连续续或或单单调调减减少少增增加加上上单单调调也也在在对对应应的的区区间间那那么么它它的的反反函函数数且且连连续续或或单单调调减减少少上上单单调调增增加加在在区区间间设设函函数数xyxIxxfyyIyfxIxfy 例如例如,2,2sin上上单单调调增增加加且且连连续续在在 xy. 1 , 1arcsin上上也也是是单单调调增增加加且且连连续续在在故故 xy2.反函数与复合函数的连续性反函数与复合函数的连续性; 1 , 1arccos上单调减少且连续上单调减少且连续在在同理同理 xy.,cotarc,arctan上上单单调调且且连连续续在在

16、xyxy总之总之, 反三角函数在其定义域内皆连续反三角函数在其定义域内皆连续.定理定理3).()(lim)(lim , )(,)(lim .)( , )( )( )( 0000000ufufxgfuuufuxgDxUxguufyxgfyuuxxxxgfo 则则连连续续在在点点而而函函数数若若复复合合而而成成数数与与函函由由函函数数设设函函数数关于定理关于定理3的说明的说明: . 3)1(0结结论论仍仍成成立立换换成成中中把把定定理理 xxx . lim , )( ,3)2(可可以以交交换换次次序序与与极极限限符符号号函函数数符符号号限限时时的的极极求求复复合合函函数数的的条条件件下下在在定定理

17、理fxgf例例12.)1ln(lim0 xxx 求求. 1 xxx10)1ln(lim 原式原式)1(limln10 xxx eln 解解例例13.93lim23 xxx求求解解 93lim23xxx 93lim23xxx 31lim3xx.66例例14.1elim0 xxx 求求. 1 )1ln(lim0yyy 原原式式解解,1eyx 令令),1ln(yx 则则. 0,0yx时时当当yyy10)1ln(1lim 同理可得同理可得.ln1lim0axaxx 定理定理4 . )( , )( ,)( , )( .)( , )( )( )( 000000也也连连续续在在则则复复合合函函数数连连续续在

18、在而而函函数数且且连连续续在在若若复复合合而而成成数数与与函函由由函函数数设设函函数数xxxgfyuuufyuxgxxxguDxUxguufyxgfygf 证证 , )( 300 xgu 中令中令在本节定理在本节定理, )(0连连续续在在点点此此时时xxxg ).()()(lim 000 xgfufxgfxx 则则定理得证定理得证.,), 0()0,(1内连续内连续在在 xxu,),(sin内内连连续续在在 uuy.), 0()0,(1sin内连续内连续在在 xy例例15解解 . 1sin 的的连连续续性性讨讨论论函函数数xy , 1 sin 1sin复复合合而而成成和和由由xuuyxy 根据定理根据定理4(1) 三角函数及反三角函数在它们的定义域内三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的是连续的 .)1, 0()2( aaayx指指数数函函数数;),(内单调且连续内单调且连续在在)1, 0(log)3( aaxya对对数数函函数数;), 0(内单调且连续内单调且连续在在3.初等函数的连续性初等函数的连续性基